1、 - 1 - 衡水中学 2016-2017 学年度数学（理科）试卷周测 4 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 1,3,4,5A? ，集合 2 | 4 5 0 B x Z x x? ? ? ? ?，则 AB的子集个数为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 2.如图，复平面上的点 1 2 3 4, , ,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数 z 所对应的点为 1Z ，则复数 zi? （ i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A 1Z B 2Z C
2、3Z D 4Z 3.下列四个函数中，在 0x? 处取得极值的函数是（ ） 3yx? ； 2 1yx?； |yx? ； 2xy? A B C D 4.已知变量 ,xy满足： 202 3 00xyxyx? ? ?，则 2( 2) xyz ? 的最大值为（ ） A 2 B 22 C. 2 D 4 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） - 2 - A 5 B 6 C.7 D 8 6.两个等差数列的前 n 项和之比为 5 1021nn? ，则它们的第 7 项之比为（ ） A 2 B 3 C. 4513 D 7027 7.在某次联考数学测试中，学生成绩 ? 服从正态分布 2(100, )? ，
3、( 0)? ，若 ? 在 (80,120) 内的概率为 0.8，则落在 (0,80) 内的概率为（ ） A 0.05 B 0.1 C. 0.15 D 0.2 8.函数 ( ) s i n ( 0 , 0 )f x A x A? ? ?的部分图象如图所示，(1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 1 5 )f f f f? ? ? ?的值为（ ） A 0 B 32 C. 62 D 2? 9.若 7 2 80 1 2 8(1 ) (1 2 )x x a a x a x a x? ? ? ? ? ? ?，则 1 2 7a a a? ? ? 的值是（ ） A -2 B -3 C. 125 D -1
4、31 10.已知圆 1C ： 2220x cx y? ? ?，圆 2C ： 2220x cx y? ? ?，椭圆 C ： 221xyab?，若圆12,CC都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） - 3 - A 1 ,1)2 B 1(0, 2 C. 2 ,1)2 D 2(0, 2 11.定义在 R 上的函数 ()fx对任意 1 2 1 2, ( )x x x x? 都有 1212( ) ( ) 0f x f xxx? ? ，且函数( 1)y f x?的图象关于 (1,0) 成中心对称，若 ,st满足不等式 22( 2 ) ( 2 )f s s f t t? ? ? ?，则当 14s? 时， 2t
5、sst? 的取值范围是（ ） A 1 3, )2? B 1 3, 2? C. 1 5, )2? D 1 5, 2? 12.正三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ，此时四面体 ABCD 外接球表面积为（ ） A 7? B 19? C. 7 76 ? D 19 196 ? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 14.已知向量 AB 与 AC 的夹角为 60 ，且 | | | | 2AB AC?，若 AP AB AC?且 AP BC? ，则实数 ?
6、的值为 15.已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的半焦距为 c ，过右焦点且斜率为 1 的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线 2 4y cx? 的准线被双曲线截得的弦长是 2223 be （ e 为双曲线的离心率），则 e 的值为 - 4 - 16.用 ()gn 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数，例如： 9 的因数有 1,3,9， (9) 9g ? ，10 的因数有 1,2,5,10， (10) 5g ? ，那么 2015(1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 1 )g g g g? ? ? ? ? ? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70
7、分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在锐角 ABC? 中，角 ,ABC 所对的 边分别为 ,abc，已知 7a? ， 3b? ，7 sin sin 2 3BA? （ 1）求角 A 的大小； （ 2）求 ABC? 的面积 18. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这 10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图 . 为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场” . （ 1）当 3ab?时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 n ，比
8、较 ,mn的大小关系； （ 2）在这 10 个卖场中，随机选取 2 个卖场，记 X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 X 的分布列和数学期望； （ 3）若 1a? ，记乙型号电视机销售量的方差为 2s ，根据茎叶图推断 b 为何值时， 2s 达到最小值（只需写出结论） 19. 如图 1，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， 60BAD?， DE AB? 于点 E ，将 ADE? 沿 DE折起到 1ADE? 的位置，使 1AD DC? ，如图 2 - 5 - （ 1）求证： 1AE? 平 面 BCDE ； （ 2）求二面角 1E AB C?的余弦值； （ 3）判断在线段 EB 上是否存
9、在一点 P ，使平面 1ADP? 平面 1ABC ？若存在，求出 EPPB 的值；若不存在，说明理由 20. 如图，已知 椭圆 2 2 14x y?，点 ,AB是它的两个顶点，过原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交于点 D ，且与椭圆相交于 ,EF两点 （ 1）若 6ED DF? ，求 k 的值； （ 2）求四边形 AEBF 面积的最大值 21. 设函数 2( ) ( 2 ) lnf x x a x a x? ? ? ? （ 1）求函数 ()fx的单调区间； （ 2）若函数 ()fx有两个零点，求满足条件的最小正整数 a 的值； （ 3）若方程 ( ) ( )f x c c R?，
10、有两个不相等的实数根 12,xx，比较 12()2xxf ? 与 0 的大小 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 - 6 - 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为232252xtyt? ? ?（ t 为参数），在 以坐标原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆 C 的方程为 2 5sin? （ 1）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （ 2）若点 P 的坐标为 (3, 5) ，圆 C 与直线 l 交于 ,AB两点，求 | | | |PA PB? 的值 23. 选修 4-
11、5：不等式选讲 （ 1）已知函数 ( ) | 1 | | 3 |f x x x? ? ? ?，求 x 的取值范围，使 ()fx为常函数； （ 2）若 ,x y z R? ， 2 2 2 1x y z? ? ? ，求 2 2 5m x y z? ? ?的最大值 附加题： 1.已知椭圆 ? ： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?，过点 2( ,1)2Q 作圆 221xy?的切线，切点分 别为 ,ST，直线 ST 恰好经过 ? 的右顶点和上顶点 （ 1）求椭圆 ? 的方程； （ 2）如图，过椭圆 ? 的右焦点 F 作两条互相垂直的弦 ,ABCD 设 ,ABCD 的中点分别为 ,MN，证明
12、：直线 MN 必过定点，并求此定点坐标； 若直线 ,ABCD 的斜率均存在时，求由 , , ,ACBD 四点构成的四边形面积的取值范围 2已知函数 ()xf x e? （ e 为自然对数的底数， 2.71828e? ）， () 2ag x x b?， ( , )ab R? （ 1）若 ( ) ( ) ( )h x f x g x? ， 1 2ab? ，求 ()hx 在 0,1 上的最大值 ()a? 的表达式； （ 2）若 4a? 时，方程 ( ) ( )f x g x? 在 0,2 上恰有两个相异实根，求实根 b 的取值范围； - 7 - （ 3）若 152b? ， *aN? ，求使 ()fx
13、的图象恒在 ()gx图象上方的最大正整数 a 3.2015 男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以 9 连胜的不败战绩赢得第 28 届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一 1 张直通里约奥运会的入场券，赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛 MVP（最有价值球员），下表是易建联在这 9 场比赛中投篮的统计数据 注：（ 1）表中 b 表示出手 b 次命中 a 次； （ 2） %TS （真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为： %TS? 2+?全 场 得 分（ 投 篮 出 手 次 数 0.44 罚 球 出 手 次 数 ） （ 1）从上述 9 场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中 %TS 超过 50%
14、的概率； （ 2）从上述 9 场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中 %TS 至少有一场超过 60%的概率； - 8 - （ 3）用 x 来表示易建联某场的得分，用 v 来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断 v 与 x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由 - 9 - 试卷答案 一、选择题 1-5:CBCDB 6-10: BBACB 11、 12： DA 二、填空题 13. 334 14. 1 15. 26 16. 3 142015? 三、解答题 17.在 ABC? 中，由正弦定理 sin sinabAB? ， 得： 73sin sinAB? ，即 7 s
15、in 3sinBA? ， 又 因为 7 sin sin 2 3BA?， 解得 3sin 2A? ， 因为 ABC? 为锐角三角形， 所以 3A ? . （ 2）在 ABC? 中，由余弦定理 2 2 2cos 2b c aA bc? ， 得 21 9 726cc? ，即 2 3 2 0cc? ? ? ， 解得 1c? 或 2c? ， 当 1c? 时，因为 2 2 2 7c o s 02 1 4a c bB ac? ? ? ? 所以角 B 为钝角，不符合题意，舍去， 当 2c? 时，因为 2 2 2 7c o s 02 1 4a c bB ac? ? ?，且 bc? ， ba? ， 所以 ABC?
16、 为锐角三角形，符合题意， - 10 - 所以 ABC? 的面积 1 1 3 3 3s in 3 22 2 2 2S b c A? ? ? ? ? ? 18.（ 1）根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为 1 0 1 0 1 4 1 8 2 2 2 5 2 7 3 0 4 1 4 3 2410? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 乙组数据的平均数为 1 0 1 8 2 0 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 3 3 4 3 2 6 . 510? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由茎叶图，如甲型号电视机的“星级卖场”的个数 5m? ， 乙型号电视机的“星级卖场”的个数 5n? ， 所以
17、mn? （ 2）由题意， X 的所有可能取值为 0,1,2 且 0255210 2( 0 ) 9CCPX C? ? ?， 1155210 5( 1) 9CCPX C? ? ?， 2055210 2( 2 ) 9CCPX C? ? ?， 所有 X 的分布列 为： 所有 2 5 20 1 2 19 9 9EX ? ? ? ? ? ? ?. （ 3）解：当 0b? 时， 2s 达到最小值 . 19.（ 1）证明：因为 DE BE? ， /BE DC ， 所以 DE DC? ， 又因为 1AD DC? ， 1AD DE D? ， 所以 DC? 平面 1ADE ， 所以 1DC AE? . 又因为 1AE DE? ， DC DE D? ， 所以 1AE? 平面 BCDE . （ 2）解：因为 1AE? 平面 BCDE ， DE BE? ，所以 1AE，
