1、 - 1 - 2018 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数学 （文科） 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2 | 6 0A x x x? ? ? ?， |3 1xBx?， 则 AB? （ ） A (1,2) B (1,3) C (0,2) D (0,3) 2.设复数 z 满足 zi 3 i? ? ? ， 则 z? （ ） A 13i? B 1 3i? C 1 3i? D 13i? 3.等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 已知 2 1 32S a a? ， 4 1a?
2、， 则 4S? （ ） A 78 B 158 C 14 D 15 4.执行下面的程序框图，如果输入的 1, 2, 3a b n? ? ?， 则输出的 S? （ ） A 5 B 6 C.8 D 13 5.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取 100 位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是 4 0 , 5 0 ),5 0 , 6 0 ),6 0 , 7 0 ),7 0 , 8 0 ),8 0 , 9 0 ),9 0 ,1 0 0 ， 则- 2 - 估计该次数学成绩的中位数是 （ ） A 71.5 B 71.8 C.72 D 75 6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来
3、就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称把干支顺序相配正好六十为一 周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支如：公元 1984 年农历为甲子年、公元 1985 年农历为乙丑年，公元 1986 年农历为丙寅年则公元 2047 年农历为（ ） A乙丑年 B丙寅年 C.丁卯年 D戊辰年 7.已知 O 为坐标原点 ， F 为抛物线 2:8C y x? 的焦点 ， 过 F 作直线 l 与 C 交于 ,AB两点 若| | 10AB? ， 则 OAB? 重心的横坐标为 （ ） A
4、43 B 2 C. 83 D 3 8.已知函数 2( ) sinf x x? ， 则下列说法正确的是 （ ） A ()fx的最小正周期为 2? B ()fx在区间 , 22? 上是增函数 C. ()fx的图像关于点 ( ,0)4? 对称 D ()fx的图像关于直线 2x ? 对称 9.甲乙两人被安排在某月 1 日至 4 日值班，每人各值班两天，则甲、乙均不连续值班的概率为（ ） A 16 B 13 C. 23 D 12 10.如图，网络纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体 是（ ） - 3 - A三棱锥 B四棱锥 C.三棱柱 D四棱柱 11.已知圆 22:1O x
5、 y? 若 ,AB是圆 O 上不同两点 ， 以 AB 为边作等边 ABC? ， 则 |OC 的最大值是 （ ） A 262? B 3 C. 2 D 31? 12.已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 外接球的表面积为 8? ， 90BAC? ? ? 若 ,EF分别为棱11,BCBC 上的动点 ， 且 1BE CF? ，则 直线 EF 被该三棱柱外接球球面截得的线段长为 （ ） A 22 B 2 C.4 D不是定值 第 卷 二、填空题：本题共 4 小题，每 题小 5 分，共 20 分 13.已知向量 (2,4)a? ， ( 1, )bm? 若 /ab， 则 ab? 14.若 ,xy满足约束条
6、件 222022xyyxy?， 则 z x y? 的最大值为 - 4 - 15.已知数列 na 满足 1 1a? ， 112n n n na a a a? ， 则 6a? 16.已知 ()fx是 R 上的偶函数 ， 且 2 , 0 1() 1( ) 1, 12 xxxfx x? ? ?若关于 x 的方程22 ( ) ( ) 0f x af x?有三个不相等的实数根 ， 则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. ABC? 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc， 已知 3cos 2c B b a? （ 1）求 C ； （ 2）如图，若
7、 ab? ， D 为 ABC? 外一点 ， /AD BC ， 2AD CD?， 求四边形 ABCD 的面积 18.某公司 为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y （单位： t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 13 年的宣传费 ix 和年销售量iy ( 1,2, ,13)i? 数据作了初步处理 ， 得到下面的散点图及一些统计量的值 由散点图知 ， 按 byax? 建立 y 关于 x 的回归方程是合理的 令 1x? ， 则 y a b? ， 经计算得如下数据 ： - 5 - x y ? 131 13iii yy? ?13 221 13( )
8、ii ? ?13 221 13( )ii yy? ?10.15 109.94 0.16 -2.10 0.21 21.22 （ 1）根据以上信息，建立 y 关于 ? 的回归方程 ； （ 2）已知这种产品的年利润 z 与 ,xy的关系为 10z y x? 根据 （ 1）的结果，求当年宣传费 20x? 时 ， 年利润的预报值是多少 ？ 附 ： 对于一组数据 ( , )( 1, 2, , )iiu i n? ? ， 其回归直线 u? ? ? 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1221niiiniiu nuu nu? ?， u? ? ? 19.如图，四棱锥 E ABCD? 中 ， 底面 ABCD 是平行
9、四边形 ， ,MN分别为 ,BCDE 中点 （ 1）证明： /CN 平面 AEM ； （ 2）若 ABE? 是等边三角形 ， 平面 ABE? 平面 BCE ， CE BE? ， 2BE EC?， 求三棱锥 N AEM? 的体积 20.已知两定点 1( 2,0)A? ， 2(2,0)A ， 动点 M 使直线 12,MA MA 的斜率的乘积为 14? （ 1）求动点 M 的轨迹 E 的方程 ； （ 2）过点 ( 3,0)F? 的直线与 E 交于 ,PQ两点 ， 是否存在常数 ? ， 使得 |PQ FP FQ?？并说明理由 21.已知函数 ()xpx e? ， ( ) ln( 1)q x x? （
10、1）若 ( ) ( ) ( )f x p x aq x?在定义域上是增函数 ， 求 a 的取值 范围 ； - 6 - （ 2）若存在 bZ? ， 使得 21( ) ( 1) ( )2q x b x p x? ? ?， 求 b 的值 ， 并说明理由 （二）选考题：共 10 分请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 ， 曲线 C 的参数方程为 3cos3sinxy?（ ? 是参数 ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴 ， 建立极坐标系 ， 直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 13? （
11、1）求 l 的直角坐标方程和 C 的普通方程 ； （ 2） l 与 C 相交于 ,AB两点 ， 设点 P 为 C 上异于 ,AB的一点 ， 当 PAB? 面积最大时 ， 求点 P到 l 的距离 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | | | 1 |f x x a x? ? ? ? （ 1）当 2a? 时 ， 求不等 式 ( ) 4fx? 的解集 ； （ 2）若 2( ) 2 1f x a a? ? ?， 求 a 的取值范围 - 7 - 试卷答案 一、选择题 1-5:DBDCC 6-10:CBDBA 11、 12： CA 二、填空题 13. 10? 14.4 15. 111 16.
12、 (0,2 3,4 三、解答题 17.解：（ 1）在 ABC? 中 ， 由正弦定理得 3s in c o s s in s in2C B B A?， 又 ()A B C? ? ? ， 所以 3s in c o s s in s in ( )2C B B B C? ? ?， 故 3sin cos sin2C B B? sin co s co s sinB C B C?， 所以 3sin cos sin2B C B? ， 又 (0, )B ? ， 所以 sin 0B? ， 故 3cos 2C? ， 又 (0, )C ? ， 所以 6C ? （ 2）因为 /AD BC ， 故 6CAD ACB ?
13、? ? ?， 在 ACD? 中 ， 2AD CD?， 所以 6ACD CAD ? ? ? ?， 故 23ADC ?， 所以 2 2 2 22 2 2 2 2 c o s 1 23AC ? ? ? ? ? ?， 又 6ACB ?， AC BC? ， 所以 211s i n 32 6 4A C BS A C B C A C? ? ? ? ?， 又 12s in 323A C DS C D A D ? ? ? ?， 所以四边形 ABCD 的面积为 33? - 8 - 18.解：（ 1）13113 2211313( )iiiiiyyb? ? 2.10 100.21? ?， 1 0 9 .9 4 1 0
14、 0 .1 6 1 1 1 .5 4a y b ? ? ? ? ? ?， 则 y 关于 ? 的回归方程为 111.54 10y ? ? （ 2）依题意 1 0 1 0 (1 1 1 .5 4 1 0 )z y x x? ? ? ? ? ?1001115.4 xx? ? ?， 当 20x? 时 ， 1090.4z? ， 所以年利润的预报值是 1090.4. 19.解：（ 1）取 AE 中点 F ， 连结 ,MFFN 因为 AED? 中 ， ,FN分别为 EA ED、 中点 ， 所以 1/2FN AD 又因为四边形 ABCD 是平行四边形 ， 所以 /BC AD 又 M 是 BC 中点 ， 所以
15、1/2MC AD ， 所以 /FN MC 所以四边形 FMCN 为平行四边形 ， 所以 /CN MF ， 又 CN? 平面 AEM ， MF? 平面 AEM ， 所以 /CN 平面 AEM （ 2）取 BE 中点 H ， 连结 AH ， 则 AH BE? ， 因为平面 ABE? 平面 BCE ， 平面 ABE 平面 BCE BE? ， AH? 平面 ABE ， 所以 AH? 平面 BCE 又由 （ 1）知 /CN 平面 AEM ， 所以 N A E M C A E M A M E CV V V? ? ? 又因为 M 为 BC 中点 ， 所以 1133A M E C M E CV S A H?
16、? ?1 1 1 12 3 2 2BECS A H? ? ? ? ? 32 2 3 3? ? ? ? 所以三棱锥 N AEM? 的体积为 33 - 9 - 20.解：（ 1）设 ( , )Mxy ， 由1214A M A Mkk? ? ， 得 12 2 4yyxx? ? ? ， 即 2 2 14x y? 所以动点 M 的轨迹方程是 2 2 1( 2)4x yx? ? ? ? （ 2）因为 2x? ， 当直线 PQ 的斜率为 0 时，与曲线 C 没有交点 ， 不合题意 ， 故可设直线 PQ 的方程为 3x ty? ， 联立 224 4 03xyx ty? ? ? ?， 消去 x 得 22( 4
17、) 2 3 1 0t y ty? ? ? ?， 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y， 则12 2234tyy t?，12 2 1 4yy t? ?， 2212 24 (1 )| | 1 | | 4tP Q t y y t ? ? ? ? ? 12( 3 )( 3 )F P F Q x x? ? ? ? 221 2 1 2 21(1 ) 4ty y t y y t ? ? ? ? ? ? 故存在实数 4? ， 使得 | | 4PQ FP FQ? ? ? 恒成立 21.解：（ 1）因为 ( ) ln( 1)xf x e a x? ? ?在定义域上为增函数 所以 ( ) 01x af x e x? ? ?在 ( 1, )? ? 上恒成立 ， 即 ( 1) xa x e? ? 在 ( 1, )? ? 上恒成立 令 ( ) ( 1) xu x x e? ? ， ( 1)x? ， 则 ( ) ( 2) 0xu x x e? ? ? ?， - 10 - 所以 ()ux在 ( 1, )? ? 上为减函数 ， 故 ( ) ( 1) 0u x u? ? ?， 所以 0a? 故 a 的取值范围为 0, )? （ 2）
