1、第六章第六章 弯曲应力弯曲应力第第6 6章章 弯曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力QxMxPPaaABCD 纯弯曲纯弯曲 横力弯曲横力弯曲 横截面上同时存在弯矩和剪力横截面上同时存在弯矩和剪力横截面上只有弯矩并无剪力横截面上只有弯矩并无剪力)()(21QfMfPPPa第六章第六章 弯曲应力弯曲应力dA从三方面来考虑：从三方面来考虑：第六章第六章 弯曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的 平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。变形后的
2、轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力中性层：中性层：梁中纤维即不伸梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。长也不缩短的那层。中性轴：中性轴：中性层与横截面中性层与横截面的交线。的交线。：中性层的曲率半径。中性层的曲率半径。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力ddd)(yy距中性层为距中性层为 y 处的纤维处的纤维 的的线应变：线应变：bb第六章第六章 弯曲应力弯曲应力再作再作单向受力假设单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。：假设各纵向纤维之间互不挤压。yEE 第六章第六章 弯曲应力弯曲应力)1(0dAANxyz)3(dMAyMAz)2(0dAyAzMMzydAyEE第
3、六章第六章 弯曲应力弯曲应力0ddAAxAyEAN0dAAySz 00ddAyEzAzMAAy0yzIMAyEAyEyAyMAAAzddd2AyIAzd21MEIz第六章第六章 弯曲应力弯曲应力1MEIzEyM yIz抗弯刚度抗弯刚度zEI 横截面应力分布横截面应力分布:第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 中性层的曲率公式中性层的曲率公式:1MEIz 正应力计算公式正应力计算公式:EyM yIz 应用条件应用条件:pmax 中性轴过横截面的形心中性轴过横截面的形心Sz 0第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 1.1.静矩和形心静矩和形心一、静矩一、静矩分别为图形对分别为图形对z 轴和轴和 y 轴的静矩。
4、轴的静矩。AzSAySAyAzd,dzyOdAyzCyCzC由平面图形的形心公式由平面图形的形心公式:二、形心二、形心AAzzAAyyACACd,dASzASyyCzc,AzSAySCyCz,轴过形心轴过形心 对该轴静矩为零对该轴静矩为零 第六章第六章 弯曲应力弯曲应力Ozyydyzhyb122计算由抛物线、计算由抛物线、y 轴和轴和 z 轴所围成的轴所围成的平面图形对平面图形对 y 轴和轴和 z 轴的静矩，并确轴的静矩，并确定图形的形心坐标。定图形的形心坐标。解：取微分面积如图示解：取微分面积如图示4d)1(dd20022hbybyhyyyzAySbbAz154d)1(21d2202222b
5、hybyhAzSbAy32d)1(d022hbybyhAAbA第六章第六章 弯曲应力弯曲应力Ozyzhyb122,52,83hASzbASyyCzCCyCzC154d)1(21d2202222bhybyhAzSbAy32d)1(d022hbybyhAAbA第六章第六章 弯曲应力弯曲应力三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心1 1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：轴静矩的代数和，即：niiiyniiizzASyAS11,其中：其中：Ai，yi，zi 分别代表第分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标
6、，个图形的面积和形心坐标，n为分割成的简单图形的个数。为分割成的简单图形的个数。2 2、组合图形的形心坐标、组合图形的形心坐标AzAASzAyAASyniiiycniiizc11,第六章第六章 弯曲应力弯曲应力Cz求所示图形的形心位置求所示图形的形心位置解：建立图示坐标系，并将图形解：建立图示坐标系，并将图形分成两部分。分成两部分。1002014020C21mm200010020A22mm280014020Amm1501zmm702z212211AAzAzAAzAziiiCmm3.1032800200070280015020000Cy由于由于 z 轴是对称轴轴是对称轴第六章第六章 弯曲应力弯曲
7、应力求图示红色部分的面积对求图示红色部分的面积对 y 轴的静矩。轴的静矩。b2h2hya解：解：Sbhaahay242b ha2422第六章第六章 弯曲应力弯曲应力一、惯性矩一、惯性矩定义：图形面积对某轴的二次矩定义：图形面积对某轴的二次矩AzIAyIAyAzd,d22zyOdAyz其中其中iy、iz 分别为平面图形对分别为平面图形对 z 轴和轴和 y 轴的轴的惯性半径。惯性半径。工程中常把惯性矩表示为平面图形的工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积面积与某一长度平方的乘积,即即22,yyzzAiIAiI或或AIiAIizzyy,第六章第六章 弯曲应力弯曲应力其中其中iy、i
8、z分别为平面图形对分别为平面图形对z 轴和轴和 y 轴的轴的 惯性半径惯性半径。（4 4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和惯性矩之和:（5 5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积方的乘积,即即22yyzzAiIAiI或或AIiAIiyyzzniyiynizizIIII11,第六章第六章 弯曲应力弯曲应力二、极惯性矩二、极惯性矩定义：图形面积对某定义：图形面积对某点点的二次矩的二次矩AIApd2又又222zy yzAApIIAzyAId)(d222zyO
9、dAyz第六章第六章 弯曲应力弯曲应力求图示矩形对对称轴求图示矩形对对称轴y、z 的惯性矩。的惯性矩。b2h2hyzzdz解：取微分面积如图示解：取微分面积如图示12dd32222bhzbzAzIhhAy同理可得：同理可得：123hbIz第六章第六章 弯曲应力弯曲应力求图示圆平面对求图示圆平面对y、z 的惯性矩。的惯性矩。Cyzd解：由上一章可知解：由上一章可知32d42dAIAp又又zypIIIzyII 644dIIzy第六章第六章 弯曲应力弯曲应力一、惯性积一、惯性积定义：图形对一对相互垂直的轴的矩定义：图形对一对相互垂直的轴的矩AyzIAyzd如果所选的正交坐标轴中，有一个坐如果所选的正
10、交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标系的惯性积必等于零。标系的惯性积必等于零。0dAyzIAyzOyzdAdAzyOdAyz第六章第六章 弯曲应力弯曲应力二、几个主要定义二、几个主要定义(1)主惯性轴主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的的惯性积惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。称为主惯性轴。因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。图形的主惯性轴。(2)主惯性矩主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯
11、性矩称为平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力(3)形心主惯性轴形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。心主惯性矩。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力yCzCzyOdAyCbyCazzCAzyAzAyAzyIAyIAzIddd22AcczyAczAcyAzyIAyIAzIccc
12、cddd22yyazzbcc,第六章第六章 弯曲应力弯曲应力yyazzbcc,AzAyId2()yaAcA2dyAayAaAcAcAA222dddIa Azc2AczAyIcd2yCzCzyOdAyCbyCazzC第六章第六章 弯曲应力弯曲应力abAIIAaIIAbIICCCCzyyzzzyy22平行移轴公式：平行移轴公式：yCzCzyOdAyCbyCazzC第六章第六章 弯曲应力弯曲应力求图示图形对其形心轴求图示图形对其形心轴 y 的惯性矩。的惯性矩。4hdb4h4h4hd第六章第六章 弯曲应力弯曲应力4hdb4h4h4hdyzC解解：（1）将图形分割为三部分）将图形分割为三部分（2）计算三
13、部分对形心主惯）计算三部分对形心主惯 性轴的形心惯性矩。性轴的形心惯性矩。1231bhIy6464446422422432dhddhdIIyy（3 3）计算组合图形的形心惯性矩）计算组合图形的形心惯性矩6464122243321dhdbhIIIIyyyy第六章第六章 弯曲应力弯曲应力试计算试计算T形截面的形心主惯性矩。形截面的形心主惯性矩。3003027050yzC1C2yCC解解：（1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。)mm(90270503030015027050030300212211AAzAzAzc由对称性可知由对称性可知:0cy第六章第六章 弯曲应力弯曲应力3003
14、027050yzC1C2yCC（2）利用平行移轴公式，分别计算两部分对）利用平行移轴公式，分别计算两部分对 yc 的惯性矩。的惯性矩。)mm(1036.79030300303001214723cyI)mm(1031.16027050270501214823cyI)mm(1005.248ccCyyyIII)mm(1003.750270121300301214733CzI第六章第六章 弯曲应力弯曲应力EyMyIz上式是在上式是在和和 的基础上推导的，实验的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使对于横力弯曲，
15、由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。横截面发生翘曲，不再保持为平面。弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度度5倍倍(即即l5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。以应用于横力弯曲的梁中。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力WMyIMzmaxmaxmaxmax 强度计算强度计算抗弯截面系数抗弯截面系数maxyIWz62
16、1223bhhbhW3226434dddWzdzbh第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 WMmaxmax强度条件为：强度条件为：ccttmaxmax,第六章第六章 弯曲应力弯曲应力两矩形截面梁，尺寸和材料的许两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比两者许可载荷之比 P1P2？Pzhbz1P2P(a)(b)第六章第六章 弯曲应力弯曲应力P62222max2maxhblPWMz62111max1maxbhlPWMz由得maxmax:12PPhb12hbz1P2P(a)(b)第六章第六章
17、 弯曲应力弯曲应力已知：已知：P=10kN，a=1.2m =10MPa，h/b=2试：选择梁的截面尺寸。试：选择梁的截面尺寸。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力AFBFmKN6mKN12mKN12M解：解：由对称性，可得：由对称性，可得：kN25BAFF WMmaxmax 3363maxm102.110101012MW32632bbhmm6.121bmm2.2432 bh2mm250125第六章第六章 弯曲应力弯曲应力MxPl已知：已知：l=1.2m,=170MPa，18号工字钢，不计自重。号工字钢，不计自重。求：求：P 的最大许可值。的最大许可值。解：解：作弯矩图作弯矩图mN2.1|maxPPl
18、M4331085.1mm10185WkN2.262.1170185maxP WMmax WMmaxmax第六章第六章 弯曲应力弯曲应力P2yz1yC 已知：图示梁的截面为已知：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为力分别为 t和和 c，则，则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少？的最佳比值为多少？解：解：21ctyy1maxtztIyM2maxczcIyM第六章第六章 弯曲应力弯曲应力已知：已知：P1=8kN，P2=20kN，a=0.6m，IZ=5.33106mm4 b=240MPa，bc=600MPa，安全系数，安全系数 n=4。试：校核梁的强度
19、。试：校核梁的强度。aaaP1=8kNP2=20kN402yz801y第六章第六章 弯曲应力弯曲应力aaaP1=8kNP2=20kN402yz801ymkN6.3mkN8.4M解解：（：（1 1）作弯矩图作弯矩图kN6kN22BAFFmNk8.4AMmNk6.3CM由图可得危险截面弯矩：由图可得危险截面弯矩：许用应力为：许用应力为：MPa150MPa60nnccbt第六章第六章 弯曲应力弯曲应力aaaP1=8kNP2=20kN402yz801ymkN6.3mkN8.4MMPa721czAcIyMMPa362tzAtIyM截面截面 C 下边缘：下边缘：MPa541tzCtIyM故：满足强度要求故
20、：满足强度要求截面截面 A：第六章第六章 弯曲应力弯曲应力一、矩形截面梁的剪应力一、矩形截面梁的剪应力Pq(x)xdxMQMMdQ2h2h2b2byyzC y Q假设假设:(y)/截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布思考思考:能否假设能否假设 (y)沿截面高度均匀分布沿截面高度均匀分布?第六章第六章 弯曲应力弯曲应力12MMdM y*y xmn12QQdxb()y mn12mnNN+dNzzAzASIMAyIMANdd11zzSIMMNNdd0dd0 xbNNNFx面积面积 A A1 1 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩zSzzzzbIQSxMbISdd第六章第六章
21、弯曲应力弯曲应力Cy2h2h2b2bQO max zzzzbIQSxMbISdd)4(2)2(21)2(22yhbyhyhbSz123bhIz)41(2322hybhQbhQ23max第六章第六章 弯曲应力弯曲应力二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力HhyzmaxzzbIQS)(翼缘翼缘:)(822hHSzzIhHQ4)()(第六章第六章 弯曲应力弯曲应力Hhyzmax腹板腹板:)4(2)(82222yhbhHBSz)4(2)(82222yhbhHBbIQz888)(822min22maxBhBHbIQhbBBHbIQzzminmaxQQ)97.095.0(1bhQ第六章第六章 弯
22、曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力max43QAyZZQ SIb*下面求最大剪应力：下面求最大剪应力：第六章第六章 弯曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力例例6：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径，试求最小直径 dmin。ABkN/m20q第六章第六章 弯曲应力弯曲应力ABkN/m20q解：解：kN40maxQMqlmax2840kN mmaxmax MWz由正应力强度条件：由正应力强度条件：63310160321040dmm137dmaxmax 43QA6231010041040
23、34dmm1.26d由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：mm137mind第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 WMmaxmax弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件:合理安排梁的受力情况，以降低合理安排梁的受力情况，以降低 Mmax 的值；的值；采用合理的截面形状，以提高采用合理的截面形状，以提高 W 的值，充分的值，充分 利用材料的性能。利用材料的性能。第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 一一.合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况合理布置支座的位置合理布置支座的位置lABqABxqlxMx8/2ql20214.0ql20214.0ql20214.0qlMxx=0.207l，最大弯矩减小最大弯矩减小
24、 83%第六章第六章 弯曲应力弯曲应力M4/FlM8/Fl合理布置支座的位置合理布置支座的位置第六章第六章 弯曲应力弯曲应力 二二.选择合理的截面形状选择合理的截面形状 WMmaxmax W 的值越大越有利的值越大越有利 从经济角度考虑从经济角度考虑 A 的值越小越经济的值越小越经济AW 综合考虑，系数综合考虑，系数 较大，则截面较为合理较大，则截面较为合理第六章第六章 弯曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力横截面尺寸沿着梁轴线变化的梁横截面尺寸沿着梁轴线变化的梁 变截面梁变截面梁当梁的各横截面上最大正应力都等于材料的许用应力时当梁的各横截面上最大正应力都等于材料的许用应力时 等强度梁
25、。等强度梁。三三.等强度梁的概念等强度梁的概念)()(maxxWxM)()(xMxW第六章第六章 弯曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力第六章第六章 弯曲应力弯曲应力解：由题意可知解：由题意可知WWWzzz123即即:3266)2(332dabbAAA123:24222bad:bada063001193.0794 1 112.:.图示三种截面梁，材质、截面内图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同。全相同。求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。dab2b第六章第六章 弯曲应力弯曲应力解：任取一微段为研究对象解：任取一微段为研究对象xxd图示
26、木梁，已知下边缘纵向总伸长为图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求：载荷求：载荷 P 的大小。的大小。2m2mABCP2003002/0d)(lACxx2/0d)(lxEx2/0d)(lxEWxM2/0d2lxEWPxWPl162)kN(1501051063.02.041616310222lWEPAC第六章第六章 弯曲应力弯曲应力dhb我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。比例接近最佳比值。解：解：6)(6222bdbbhW02622bdbW3db dbdh32222bh第六章第六章 弯曲应力弯曲应力若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度最佳长度 a 为多少？为多少？解：主梁解：主梁 AB 的最大弯矩的最大弯矩)(4max1alPM副梁副梁 CD 的最大弯矩的最大弯矩4max2aPMPlaPa44()由由:max2max1MM2/laAB2l2a2l2aCDP第六章第六章 弯曲应力弯曲应力
