1、 - 1 - 湖南省长沙市 2017 届高三数学第八次月考试题 文 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 1, 2 , 3 , 4 , | 3 A B x y x? ? ? ?，则 AB? （ ） A ? ?1,2 B ? ?1,2,3 C ? ?4,5 D ? ?3,4,5 2、复数 iz 1? 的虚部等于（ ） iDCiBA ? 11 3、 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的广告支出 m 与销售额 t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据： t 30 40 p
2、50 70 m 2 4 5 6 8 经测算，年销售额 t 与年广告支出 m 满足线性回归方程 6.5 17.5tm? ?，则 p 的值为（ ） 4 5 5 0 5 5 6 0A B C D 4、下列说法正确的是（ ） A “若 1?a ，则 12?a ”的否命题是“若 1?a ，则 12?a ”， B “x”是“112x?”的充要条件； C “若 3tan ? ，则 3? ”是真命题； D ? ?0,0 ?x ，使得 00 43 xx ? 成立。 5欧阳修卖炭翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见 “ 行行出状元 ” ，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜
3、 钱是直径为 1.5cm圆，中间有边长为 0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴 的大小忽略不计） 正好落入孔中的概率为（ ） A49?B94?C49?D94?6.按下图所示的程序框图运算：若输出 k 2，则输入 x 的取值范围是 （ ） - 2 - ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 , 2 5 3 0 , 3 2 2 8 , 5 7 3 0 , 5 7A B C D 7、设四边形 ABCD 为平行四边形， 6, 4AB AD? 若点 M、 N 满足 3BM MC? ， 2DN NC? ,则 AM NM?（ ） A 20 B 15 C 9 D 6 8、若 0 1, 1a
4、 b c? ? ? ?，则（ ） l o g l o g l o g l o gc c c c a b a bA a b B a b b a C b c D c c? ? ? ?9、已知函数 ? ? 2 s i n 2 c o s ( 0 )f x w x w x w? ? ?在区间( , )34? 上单调递增，则 w 的取值范围是（ ） A (0,1 B 1,2) C 1 ,2)3 D (2, )? 10.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积 为（ ） A 43 B 83 C 4 D 163 11、设 A 、 B 分别为双曲线 22: 1( 0 , 0 )xyC a bab? ? ?
5、 ?的左、右顶点， P 是双曲线 C 上异于 A 、 B 的任一点，设直线 ,APBP 的斜率分别为 ,mn，则 2 ln lna mnb ?取得最小值时，双曲线 C 的离心 率为（ ） 开始 输入 x k=0 x=2x+1 k=k+1 x115? . O D A B 输出 x,k 结束 否 是 输出 k - 3 - 频 率 /组 距X需 求 量100 1101201301401500.0300.0250.0200.0150.010A. 2 B. 3 C. 2 D. 6 12、 已知函数 ? ?xxxf ln?，若关于 x 的方程 ? ? ? ? ? ? 012 ? mxfmxf 恰好有 4
6、个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ） ? ? ? ? ? ? ? ?,2,1,0 eDeeCeBeA ， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13若 变量xy，满足 约束条件02143yxyxy?， 则z x y?的 最小值是 14 、设 ABC? 的内角 ,ABC 的 对 边 的 长 分 别 为 ,abc ， 已 知5 , 2 , 3 s in 5 s ina b c a A B? ? ? ?，则角 C 的大小是 15.已知 P 为圆 C ： 1)2()2( 22 ? yx 上任一点， Q 为直线 : 2 0l x y? ?
7、 ? 上任一点， O为原点，则 |OP OQ? 的最小值为 _ 16、 函数 ? ?xfy? 图像上不同两点 ? ? ? ?2211 , yxByxA 处的切线的斜率分别是 BAkk, ，规定? ? 2, AB kkBA BA ? 叫做曲线 ? ?xfy? 在点 BA, 之间的“平方弯曲度”，设曲线 xey x? 上不同两点 ? ? ? ?2211 , yxByxA ，且 121 ?xx ，则 ? ?BA,? 的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 12 分） 已知各项为正的数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，
8、数列 ?na 满足 2 2nnn aaS ?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设数列 ?nb 满足21( 1)n nb a? ?，它的前 n 项和为 nT ，求证：对任意正整数 n，都有 1nT? 18、（本小题满分 12 分） 经销商经销某种农 产品，在一个销售季度内，每- 4 - 售出 1t （即 1 吨）该产品获利润 500 元， 未售出的产品，每 1t 亏损 300 元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如下。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品，以 X （单位： ,100 150tX?） 表示下一个销售季度内的需求量。 T （单位：元）
9、表示下一个销售季度内销售该农产品的利润。 （ 1）将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不小于 57000元的概率。 19（本小题满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 的边长为 4， ? 60BAD ，AC BD O?将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到三棱锥 ACDB? ，点 M 是棱 BC 的中点， 22?DM (I)求证： OD 平面 ABC ； ( )求直线 MD 与平面 ABD 所成角的正 弦。 20、 （本小题满分 12分） 如图，曲线 ? 由曲线 ? ?0,01:22221 ? ybabyaxC和曲线1: 22222 ? byaxC ? ?0,0,
10、0 ? yba 组成，其中点 21,FF 为曲线 1C 所在圆锥曲线的焦点，点43,FF 为曲线 2C 所在圆锥曲线的焦 点，已知 )0,6()0,2( 42 FF 。 （ 1） 求曲线 1C 和 2C 的方程 （ 2） 如图，作直线 l 平行于曲线 2C 的渐近线，交曲线 1C 于点 BA, ，求证：弦 AB 的中点 M必在曲线 2C 的另 一条渐近线上。 （ 3） 若直线 1l 过点 4F 交曲线 1C 于点 DC, ，求 1CDF? 面积的最大值。 - 5 - 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? 2xf x e ax? ? ?，（ e 是自然对数的底数， aR? ） （ 1
11、）求函数 ?fx的单调递增区间； （ 2）若 k 为整数， 1a? ，且当 0x? 时， ? ? 11kx fxx? ? 恒成立，其中 ? ?fx 为?fx的导函数，求 k 的最大值。 请考生在第（ 22）、（ 23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22. （本小题 满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 - 6 - 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为2 cos( ) 1 04? ? ?，曲线C的参数方程是244
12、xtyt? ? ?（t为参数） . （ 1）求直线l和曲线C的普通方程； （ 2）设直线 和曲线 交于,AB两点，求11A MB?. 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知关于 x 的不等式 |x 3| |x m| 2m 的解集为 R （ ）求 m 的最大 值； （ ）已知 a 0， b 0， c 0，且 a b c m, 求 4a2 9b2 c2的最小值及此时 a， b， c 的值 - 7 - 2017 届周南中学第一次模拟考试文科数学学答案 一 选择题答案 1.B 2C 3D 4C 5A 6C 7C 8B 9 A 10A 11C 12 D 11 题提示：（ 由已知 2
13、2bmn a?设 ? ?0b tta? 构造函数 ? ? ? ?2 2 ln 0h t t tt? ? ? ? ? ? ? 222122 tht t t t ? ? ? 故 1t? 时， ?ht取最小值 2 22 11b ea? ? ? ? 12 题提示： （ 作出函数 ? ?10ln1lnxxxxxxxf 的大致图像 则 em? ） 二填空题： 13 : -2 14: 32? 15 : 3 2 1? 16 : 212? 16 题的提示：（ 1 ? xey ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2221221 11,21212121?xxxxxxxxeeeexexexxeeBA? 设 ?
14、?021 ? teet xx 构造函数 ? ? ? ?0222 ? ttt tth于是 ? ?2122221221 ? ttth） 三：解答题 解：（ I）由 22 nnn aaS ?可得： 22 n n nS a a? 当 1?n 时，由 12112 aaa ? ，且 0?na 可 得： 11?a ? 1 分 当 2?n 时， nnn aaS ? 22 ? 21 1 12 n n nS a a? ? ? ? 3 分 由 -得： 22112 n n n n na a a a a? ? ? ?， - 8 - 即： 11( )( 1) 0n n n na a a a? ? ? ?，? 4 分 数列
15、 ?na 为正项数列， 1 0nnaa? 所以 1 10nnaa? ? ? ? 5 分 所以 ?na 为以 1 1a? 为首项，公差为 1 的等差数列， nan? （ *nN? ）? 6 分 （ II）由已知：2)1( 1? nbn? 7 分 由111)1( 1)1( 1 2 ? nnnnn（ *Nn? ）? 9 分 可知： 11111)111()3121()2111()1(13121222?nnnnT n? 11 分 所以对任意正整数，都有 1nT? 成立? ? 12 分 18 题解：（ 1）当 100 130x? 时， ? ? ? ?5 0 0 1 3 0 3 0 0 8 0 0 3 9
16、0 0 0T X X X? ? ? ? ? ? ? ? 当 130 150x? 时， 130 500 65000T ? ? ? 故 8 0 0 3 9 0 0 0 1 0 0 1 3 06 5 0 0 0 1 3 0 1 5 0XXT X? ? ? ? ? 6 分 (2)当 57000T? 时， 120 150X? ，根据直方图可估计利润 T 不小于 57000元的概率为 0.7 ? 12 分 19 解：（ ）证明： ABCD 是菱形， AD DC? ,OD AC? ? 1 分 ADC? 中， ? 120,4 A D CDCAD , ? 2?OD 又 M 是 BC 中点， 22,2 ? DMO
17、DOM 2 2 2 ,O D O M M D D O O M? ? ? ? ? 4 分 ,OM AC? 面 ,A B C O M A C O O D? ? ?面 ABC ? 6 分 （ ） ABM? 中， ? 120,2,4 ABMBMAB - 9 - 32120.21 ? ? S inBMABS ABM 由 （ ）得 OD? 面 ABC 13M A B D D A B M A B MV V O D S? ? ? ? ? ? ?分8.334? . 设 M 到平面 ABD 的距离为 h ，直线 MD 与平面 ABD 所成的角为 ? 分的距离是到易知12.1442,7212334723131721422211422,4,4?MDhS inhhhSVSdBDABDADABABDABDMABD?20 题解：（ 1） 1620364 222222 ? bababa)0(11620),0(11620 222221 ? yyxCyyxC 的方程是曲线的方程是曲线 ? 3 分 （ 2） 设 ? ? ? ?2211 , yxByxA 由等差法得 ? ? ?52454201621212121 ?OMkyyxxxxyy 525 52 ? OMk故弦 AB 的中点 M 必在曲线 2C 的另一条渐近线
