1、 - 1 - 湖南省长沙市岳麓区 2017 届高三数学月考试卷（七）文 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 8 页时量 120 分钟，满分 150 分 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 (1)设集合 M x|x|0， f( ln 5) f(ln 5) (eln 5 1) 4， 选 B. (9)若实数数列： 1， a1， a2， a3， 81 成等比数列，则圆锥曲线 x2 y2a2 1 的离心率是(D) (A)13或 10 (B) 10或 2 23 (C)2 23 (D) 10 【解析】因为
2、 1， a1， a2， a3， 81 成等比数列 ， 所以 a22 1 ( 81) 81， a2 9(等- 3 - 比数列的奇数项同号 )， 所以圆锥曲线的方程为 x2 y29 1， 其中 a 1， b 3， c 1 9 10，离心率为 e ca 10， 故选 D. (10)四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示，四棱锥 P ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E、 F 分别是棱 AB、 CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2，则该球表面积为 (A) (A)12 (B)24 (C)36 (D)48 【解析】由三视图可知 ， 该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥 P
3、 ABCD，其中 ， 底面 ABCD 为正方形 ， PA底面 ABCD， PA AB a， 该四棱锥外接球的球心为 PC 的中点O， 由直观图可知 O 到线段 EF 的距离为 a2， 球的半径 R 3a2 ， 所以 ， 直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 R2 ? ?a22 2a 2 2， 即 a 2， R 3a2 3， 所以该球的表面积为 S 4 R2 12 ， 故选 A. (11)设正实数 x， y， z 满足 x2 3xy 4y2 z 0，则当 xyz 取得最大值时， 2x 1y 2z的最大值为 (B) (A)0 (B)1 (C)94 (D)3 【解析】 x2 3xy 4y2 z 0
4、， z x2 3xy 4y2， 又 x， y， z 均为正实数 ， xyz xyx2 3xy 4y2 1xy4yx 3 12 xy 4yx 3 1(当且仅当 x 2y 时取“” )， (xyz)max 1， 此时 ， x 2y. z x2 3xy 4y2 (2y)2 3 2y y 4y2 2y2， 2x 1y 2z 1y 1y 1y2 ? ?1y 12 1 1， 当且仅当 y 1 时取得“” ， 满足题意 2x 1y 2z的最大值为 1.故选 B. (12)已知 a， b是实数， 1和 1是函数 f(x) x3 ax2 bx的两个极值点，设 h(x) f(f(x) c，其中 c ( 2， 2)
5、，函数 y h(x)的零点个 数为 (D) (A)8 (B)11 (C)10 (D)9 【解析】 f( x) 3x2 2ax b， 由题意 ， 1 和 1 是方程 3x2 2ax b 0 的两根 ， - 4 - 所以有 1 ( 1) 2a3 ， 1 ( 1) b3， 求得 a 0， b 3， 所以 f(x) x3 3x， 若令f(x) t， 则 h(x) f(t) c， 考查方程 f(x) d， d ( 2， 2)的根的情况 ， 因为 f( 2) d 2 d0， 函数 f(x)的图象是连续不断的 ， 所以 f(x) d 在 ( 2， 1)内有唯一零点 ， 同理可以判断 f(x) d 在 ( 1
6、， 1)， (1， 2)内各有唯一的零点 ， 所以得到方程 f(x) d， d ( 2， 2)的根有 3 个；再看函数 y h(x)的零点 ， 当 c ( 2， 2)时 ， f(t) c 有三个不同的根 x1， x2， x3， 且 x1， x2， x3 ( 2， 2)， 而f(x) t 有三个不同的根 ， 所以函数 y h(x)有 9 个零点 . 故选 D. 选择题答题卡 题 号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 答 案 A B D C C C B B D A B D 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 (13) (21)题
7、为必考题 ， 每个试题考生都必须作答第 (22) (23)题为选考题 ， 考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 (13)有三张卡片，分别写有 1 和 2, 1 和 3， 2 和 3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_1 和 3_ 【解析】先从丙说的可得丙拿的 是 1 和 2， 或 1 和 3， 再由乙说的可得乙拿的是 2 和 3，再从甲说的可得甲拿的是 1 和 3. (14)已知 ABC 的
8、外接圆半径为 8，且 sin A sin B sin C 2 3 4，则 ABC 的面积为 _454 15_ 【解析】因为 sin A sin B sin C 2 3 4， 由正弦定理得 a b c 2 3 4， 所以由余弦定理得 cos A 78， cos B 1116， cos C 14， 所以 sin A 1564， sin B 135256，sin C 1516， 所以三角形面积为 S 2R2sin Asin Bsin C 454 15. (15)已知 O 为三角形 ABC 的外心， AB 2a， AC 2a， BAC 120，若 AO xAB yAC ，则3x 6y 的最小值为 _6
9、 2 2_ 【解析】 AO xAB yAC ， AO AB xAB 2 yAB AC ?4a2x 2y 2a2 ， 同理 AO AC xAB AC yAC 2? 2x 4a2y 2a2 ， 联立 ， 可得?x 2a2 13a2y a2 23， 3x 6y 2a2 1a2 2a2 4 6 2a2 1a2 6 2 2a2 1a2 6 2 2， 当且仅当 2a2 1a2?a ? ?1214时 ， 等号成立 ， 即 3x 6y 的最小值是 6 2 2. - 5 - (16)设函数 y? x3 x2， x0)， 则 Q( t， f( t)， f( t) ( t)3 ( t)2 t3 t2， 因为 POQ
10、 是以 O 为直角顶点的直角三角形 ， 所以 OP OQ ， OP OQ 0， 即 t2 f(t)(t3 t2) 0(1)， 当 00，所以函数 g(x)在区间 )e， 上为增函数 ， g(x) g(e) e 1， 由题意有 1a (t 1)ln te 1， 所以有 00， b0，记“关于 x 的方程 f(x) 0 有一个大于 1 的根和一个小于 1 的根”为事件 B，求 B 发生的概率 【解析】 ( )因为 a 有 3 种取法 ， b 有 5 种取法 ， 则对应的函数有 3 5 15 个 (2 分 ) 因为函数 f(x)的图象关于直线 x 2ba 对称 ， 若事件 A 发生 ， 则 a 0
11、且 2ba 1.(3 分 ) 数对 (a， b)的取值为 (1， 1)， (2， 1)， (2， 1)， (3， 1)， (3， 1)共 5 种 (5 分 ) 所以 P(A) 515 13.(6 分 ) ( )集合 (a， b)|a 4b 6 0， a0， b0对应的平面区域为 Rt AOB， 如图其中点- 6 - A(6， 0)， B? ?0， 32 ， 则 AOB 的面积为 12 32 6 92.(8 分 ) 若事件 B 发生 ， 则 f(1)0， b0)的上焦点为 F，上顶点为 A，点 B 为双曲线虚轴- 7 - 的左端点 . 已知 C1的离心率为 2 33 ，且 ABF 的面积 S 1
12、 32 . ( )求双曲线 C1的方程； ( )设抛 物线 C2的顶点在坐标原点，焦点为 F，动直线 l 与 C2相切于点 P，与 C2的准线相交于点 Q. 试推断以线段 PQ 为直径的圆是否恒经过 y 轴上的某个定点 M？若是，求出定点 M的坐标；若不是，请说明理由 【解析】 ( )由已知 ca 2 33 ， 即 2a 3c， 则 4a2 3c2， 即 4a2 3(a2 b2)， 得 a 3b，c 2b.(2 分 ) 又 12(c a)b 1 32 ， 则 (2b 3b)b 2 3， 得 b 1.(4 分 ) 从而 a 3， c 2， 所以双曲线 C1的方程为 y23 x2 1.(5 分 )
13、 ( )由题设 ， 抛物线 C2的方程为 x2 8y， 准线方程为 y 2.(7 分 ) 由 y 18x2， 得 y 14x.设点 P? ?x0，18x20 ， 则直线 l 的方程为 y 18x20 14x0(x x0)， 即 y 14x0x 18x20.联立 y 2， 得 Q? ?x20 162x0 ， 2 .(9 分 ) 假设存在定点 M(0， m)满足题设条件 ， 则 MP MQ 0 对任意点 P 恒成立 因为 MP (x0， 18x20 m)， MQ ? ?x20 162x0 ， 2 m ， 则x20 162 (m 2)?18x20 m 0， 即 2 m8 x20 m(m 2) 8 0
14、 对任意实数 x0恒成立 (11 分 ) 所以?2 m 0m（ m 2） 8 0， 即 m 2. 故以 PQ 为直径的圆恒经过 y 轴上的定点 M(0， 2) (12分 ) (21)(本小题满分 12 分 ) 已知 f(x) ex， g(x) x2 2x a， a R. ( )讨论函数 h(x) f(x)g(x)的单调性； ( )记 (x)?f（ x）， x0，设 A(x1， (x1)， B(x2， (x2)为函数 (x)图象上的两点，且 x10 时，若 (x)在 A， B 处的切线相互垂直，求证 x2 x1 1； ( )若在点 A， B 处的切线重合，求 a 的取值范围 【解析】 ( )h(
15、x) ex( x2 2x a)， 则 h( x) exx2 (a 2)(2 分 ) 当 a 2 0 即 a 2 时 ， h (x) 0， h(x)在 R 上单调递减； (3 分 ) 当 a 20 即 a 2 时 ， h (x) exx2 (a 2) ex(x a 2)(x a 2)， 此时 h(x)在 ( ， a 2)和 ( a 2， )上都是单调递减的 ， 在 ( a 2， a 2) 上是单调递增的； (5 分 ) ( )( )g( x) 2x 2， 据题意有 ( 2x1 2)( 2x2 2) 1， 又 00 且 2x2 20 在 ( ， 0)上恒成立 ， 则 q(x)在 ( ， 0)上单调
16、递增 ?q(x)0， ?p(x)在 ( ， 0)上单调递 增 ， 则 p(x)0， ?r(x)在 ( ， 0)上单调递增 ， ?r(x)0 在 ( ， 0)恒成立 即当 x ( ， 0)时 p(x)的值域是 (0， 7) 故 4a 4 (0， 7)? 1a34， 即为所求 (12 分 ) 请考生在 (22)、 (23)两题中任选一题作答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题记分 (22)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参 数方程为?x m 22 ty 22 t(t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos2 3 2sin2 12，且曲线 C 的左焦点 F在直线 l 上 ( )若直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 |FA| FB|的值； ( )求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值 【解析】 ( )易知曲线 C 的标准方程为 x21
