1、 - 1 - 开始 结束 01Sn?， 1SSn? 2nn? 输出 S Y N n a （第 6 题） 江苏省海安中学 2018 届高三数学下学期开学考试试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70分 请 将答案 填 写在答题 卡 相应位置上） 1. 函数 ? ?( ) sin 2 4f x x?的最小正周期为 2. 某同学在 7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表 示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数 .则这 7 天 该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 已知复数 125 2 i 6 9 izz? ? ? ?， （
2、i 是虚数单位）， 12iz z z? ? ? ，则 复数 z 的摸为 4. 分别在集合 A? 1， 2， 3， 4和 集合 B? 5， 6， 7， 8中 各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为 5. 已知曲线 4( 0)yxx?的一条切线斜率为 4? ，则切点的横坐标 为 6 如图是计算 101121k k? ?的值的一个流程图，则常数 a 的取 值范围是 7. 在平面直角坐标系 xOy 中， 设点的集合 ? ?2 2 2( ) ( 1 ) ( 1 )A x y x y a? ? ? ? ?， ， 3( , ) 4 020xB x y x yx y a? ? ? ? ? ? ? ， ，且 AB
3、? ，则实数 a 的取值范围是 8. 若等比数列 ?na 的各项均为正数，且 510 11 9 12 2ea a a a?，则 1 2 20ln ln lna a a? ? ?的值为 9. 设 0 2? ? ? ，且 1 1 3c o s c o s ( )7 1 4? ? ? ? ?， ，则 tan? 的值为 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 (m， n)在圆 224xy?外，则直线 4mx ny?与椭圆22 154yx ? 的公 共点的个数为 6 7 8 5 5 6 3 4 0 1 （第 2 题） - 2 - A Q P C N B M D （第 16 题） 11 在等腰梯形 A
4、BCD 中，已知 AB/DC， 2AB? ， 1BC? ， 60ABC? ? ? 点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 23BE BC? ， 16DF DC? ，则 AEAF? 的值为 12 设 0 0 2 1m n m n? ? ? ?， ， ，则 224m n mn? 的最大值与最小值之和为 13. 设函数 ()y f x? 是定义域为 R，周期为 2 的周期函数，且当 ? ?11x?， 时， 2( ) 1f x x? ；已知 函数 lg | | 0()10xxgxx? ?， ， 则函数 ( ) ( )y f x g x?在区间 ? ?5 10?， 内零点的个数为 14. 设
5、函数 2( ) ( )f x x b x c b c? ? ? ? R，对任意的 x?R ，都有 ()fx? ()fx成立若对满足题设条件的任意 b， c，不等式 22( ) ( ) ( )f c f b M c b? 恒成立，则实数 M的最小值为 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 解答时应写出 必要的 文字 说明、证明过程或演算步骤） 15 在 ABC? 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 cos cos sinA B Ca b c? （ 1） 证明： sin sin sinA B C? ； （ 2） 若 2 2 2 65b c a bc? ? ? ，求
6、 tanB 的值 16 如图，一个平面与四面体 ABCD 的棱 AB， BC， CD， DA 分别相交于点 M， N， P， Q， 且截面四边形 MNPQ 是正方形 （ 1）求证： AC / 平面 MNPQ； （ 2）求证： AC BD? ，并求异面直线 MP 与 BD 所成角的值 17 在某商业区周边有两条公路 12 ll， ，在点 O 处交汇，该商业区为圆心角3?，半径 3km 的扇形 .现规划在该商业区外修建一条公路 AB，与 12 ll， 分别交于 A， B，要求 AB 与扇形弧相切，切点 T 不在 12 ll， 上 - 3 - （ 1）设 km kmO A a O B b?， ，试用
7、 a， b 表示新建公路 AB 的长度，求出 a， b 满足的关系式，并写出 a， b 的范围； （ 2）设 AOT ?，试用 ? 表示新建公路 AB 的长度，并且确定 A， B 的位置，使得新建公路 AB 的长度最短 18. 在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 T 的中心在原点，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，椭圆 T 上的 点到右焦点的距离的最小值为 23? （ 1）求椭圆 T 的方程； （ 2）设点 A， B 分别是椭圆 T 的左右顶点，点 Q 是 x 轴上且在椭圆 T 外的一点，过 Q 作直线 交椭圆 T 于 C， D 两点（异于 A， B），设直线 AC 与 BD 相交于点 P，记
8、直线 PA， PB， PQ 的斜率分别为 k1， k2， k3，求证： k3是 k1， k2的等差中项 - 4 - 19 已知二次函数 g（ x）对任意实数 x 都满足 ? ? ? ? 21 1 2 1g x g x x x? ? ? ? ? ?，且 ? ?11g ? 令 ? ?19( ) l n ( 0 )28f x g x m x m x? ? ? ? ? ?R ， （ 1）求 g(x)的表达式； （ 2） 若 0x? 使 ( ) 0fx 成立 ， 求 实 数 m 的取值范围 ；（ 3） 设 1em? ， ( ) ( ) ( 1)H x f x m x? ? ?， 证明 :对 121 x
9、x m?， ， ， 恒有 12| ( ) ( ) | 1.H x H x? 20 下述数阵称为 “ 森德拉姆筛 ” ，记为 S其特点是每行每列都是等差数列，第 i 行第 j 列的数记为 Aij 1 4 7 10 13 ? 4 8 12 16 20 ? 7 12 17 22 27 ? 10 16 22 28 34 ? 13 20 27 34 41 ? ? ? ? ? （ 1） 证明：存在常数 *C?N ， 对任 意正整数 i， j，ijAC?总 是 合 数 ； （ 2） 设 S 中主对角线上的数 1， 8， 17， 28， 41，? 组成数列 nb 试证不存在 正整数 k和 m(1 )km? ，
10、 使得 1 kmb b b， ， 成等比数列 ； （ 3）对于 （ 2）中的 数列 nb ，是否存在 正整数 p 和 r (1 150)rp? ? ? ， 使得1 rpb b b， ，成等差数列若存在，写出 pr， 的一组解（不必写出推理过程） ；若不存在，请说明理由 数学附加题 21【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分 请在 答卷- 5 - 卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 B 选修 4 2：矩阵与变换 已知矩阵 11A ?24?.求 A 的特征值和特征向量 . C 选修 4 4： 坐标系 与 参数方程 已知曲
11、线 1C 的极坐标方程为 6cos? ，曲线 2C 的极坐标方程为 4?（ ? R） ，曲线 1C ，2C 相交于 A， B 两点，求线段 AB 的长度 . 22. 在 1 2 3 9， ， ， ， 这 9 个自然数中，任取 3 个 不同的 数 （ 1） 求这 3 个数中 至少 有 1 个 数 是偶数的概率； （ 2） 求 这 3 个数 的和为 18 的概率； （ 3） 设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1 2 3， ， ，则有两组相邻的数 1 2，- 6 - 和 2 3， ，此时 ? 的值是 2）求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 ?E? 23 设数列 na 是等比数列， 311 2 3 2CAmmma ?， 公比 q 是 ? ?4214x x?的展开式中的第二项（按x 的降幂排列） （ 1）用 n， x 表示数列的通项 na 及前 n 项和 nS ； （ 2）若 1212C C C nn n n n nA S S S? ? ? ?，用 n， x 表示 nA - 7 - - 8 - - 9 - - 10 -
