1、 第 1 页（共 13 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十二 极值与最值（学生版） 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2017新课标）若2x 是函数 21 ( )(1) x f xxaxe 的极值点，则( )f x的极小值为( ) A1 B 3 2e C 3 5e D1 2 （2013安徽）若函数 32 ( )f xxaxbxc有极值点 1 x， 2 x，且 11 ()f xx，则关于x的 方程 2 3( ( )2( )0f xaf xb的不同实根个数是( ) A3 B4 C5 D6 3 （2013辽宁）设函数( )f x满足
2、2 ( )2( ) x e x fxxf x x ，f（2） 2 8 e ，则0 x 时，( )(f x ) A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 4 （2016四川）已知a为函数 3 ( )12f xxx的极小值点，则(a ) A4 B2 C4 D2 5 （2015新课标）设函数( )(21) x f xexaxa，其中1a ，若存在唯一的整数 0 x使 得 0 ()0f x，则a的取值范围是( ) A 3 ,1) 2e B 33 , ) 24e C 33 , ) 24e D 3 ,1) 2e 6 （2013浙江）已知e为自然对数的底数，
3、设函数( )(1)(1) (1,2) xk f xexk，则( ) A当1k 时，( )f x在1x 处取得极小值 B当1k 时，( )f x在1x 处取得极大值 C当2k 时，( )f x在1x 处取得极小值 D当2k 时，( )f x在1x 处取得极大值 7 （2013福建）设函数( )f x的定义域为R， 00 (0)x x 是( )f x的极大值点，以下结论一定 第 2 页（共 13 页） 正确的是( ) AxR ， 0 ( )()f xf x B 0 x是()fx的极小值点 C 0 x是( )f x的极小值点 D 0 x是()fx的极小值点 8 （2013湖北）已知函数( )()f
4、xx lnxax有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A(,0) B 1 (0, ) 2 C(0,1) D(0,) 9 （2013安徽）已知函数 32 ( )f xxaxbxc有两个极值点 1 x， 2 x，若 112 ()f xxx， 则关于x的方程 2 3( ( )2( )0f xaf xb的不同实根个数为( ) A3 B4 C5 D6 10 （2013湖北）已知a为常数，函数( )()f xx lnxax有两个极值点 1 x， 212 ()(xxx ) A 12 1 ()0,() 2 f xf x B 12 1 ()0,() 2 f xf x C 12 1 ()0,() 2 f xf
5、 x D 12 1 ()0,() 2 f xf x 11 （2011福建）若0a ，0b ，且函数 32 ( )422f xxaxbx在1x 处有极值，则ab 的最大值等于( ) A2 B3 C6 D9 12 （2008广东）设aR，若函数 x yeax，xR，有大于零的极值点，则( ) A1a B1a C 1 a e D 1 a e 13 （2011湖南）设直线xt与函数 2 ( )f xx，( )g xlnx的图象分别交于点M，N，则 当|MN达到最小时t的值为( ) A1 B 1 2 C 5 2 D 2 2 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 14 （2018江苏）若函数 32
6、( )21()f xxaxaR在(0,)内有且只有一个零点，则( )f x 在 1，1上的最大值与最小值的和为 15 （2018新课标）已知函数( )2sinsin2f xxx，则( )f x的最小值是 16 （2013新课标） 若函数 22 ( )(1)()f xxxaxb的图象关于直线2x 对称， 则( )f x 的最大值为 第 3 页（共 13 页） 第 4 页（共 13 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十二 极值与最值（教师版） 一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题） 1 （2017新课标）若2x 是函数 21 ( )(1) x f
7、 xxaxe 的极值点，则( )f x的极小值为 （ ） A1 B 3 2e C 3 5e D1 【答案】A 【解析】函数 21 ( )(1) x f xxaxe ，可得 121 ( )(2)(1) xx f xxa exaxe ， 2x 是函数 21 ( )(1) x f xxaxe 的极值点， 可得： 33 ( 2)( 4)(421)0fa eae ，即4(32 )0aa 解得1a 可得 121 ( )(21)(1) xx f xxexxe 21 (2) x xxe ，函数的极值点为：2x ，1x ， 当2x 或1x 时，( )0fx函数是增函数，( 2,1)x 时，函数是减函数， 1x
8、时，函数取得极小值：f（1） 21 1 (11 1)1e 故选A 2 （2013安徽）若函数 32 ( )f xxaxbxc有极值点 1 x， 2 x，且 11 ()f xx，则关于x的 方程 2 3( ( )2( )0f xaf xb的不同实根个数是( ) A3 B4 C5 D6 【答案】A 【解析】 2 ( )32f xxaxb， 1 x， 2 x是方程 2 320 xaxb的两根， 由 2 3( ( )2( )0f xaf xb，得 1 xx，或 2 xx， 即 2 3( ( )2( )0f xaf xb的根为 1 ( )f xx或 22 ()f xx的解 如图所示 第 5 页（共 13
9、 页） ， 由图象可知 1 ( )f xx有 2 个解， 2 ( )f xx有 1 个解，因此 2 3( ( )2( )0f xaf xb的不同实 根个数为 3 3（2013辽宁） 设函数( )f x满足 2 ( )2( ) x e x fxxf x x ，f（2） 2 8 e ， 则0 x 时，( )f x ( ) A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 【答案】D 【解析】函数( )f x满足 2 ( )2( ) x e x fxxf x x ， 2 ( ) x e x f x x 令 2 ( )( )F xx f x，则( ) x e
10、F x x ，F（2）4 f（2） 2 2 e 由 2 ( )2( ) x e x fxxf x x ，得 3 2 ( ) ( ) x eF x fx x ， 令( )2 ( ) x xeF x，则 (2) ( )2( ) x x ex xeF x x ( ) x在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增， ( ) x的最小值为（2） 2 2eF（2）0( ) 0 x 又0 x ，( ) 0fx ( )f x在(0,)单调递增( )f x既无极大值也无极小值 4 （2016四川）已知a为函数 3 ( )12f xxx的极小值点，则(a ) A4 B2 C4 D2 【答案】D 【解析】 2 (
11、 )312f xx；2x 时，( )0fx，22x 时，( )0fx，2x 时，( )0fx； 2x是( )f x的极小值点；又a为( )f x的极小值点；2a故选D 5 （2015新课标）设函数( )(21) x f xexaxa，其中1a ，若存在唯一的整数 0 x使 得 0 ()0f x，则a的取值范围是( ) 第 6 页（共 13 页） A 3 ,1) 2e B 33 , ) 24e C 33 , ) 24e D 3 ,1) 2e 【答案】D 【解析】设( )(21) x g xex，yaxa， 由题意知存在唯一的整数 0 x使得 0 ()g x在直线yaxa的下方， ( )(21)2
12、(21) xxx g xexeex， 当 1 2 x 时，( )0g x，当 1 2 x 时，( )0g x， 当 1 2 x 时，( )g x取最小值 1 2 2e ， 当0 x 时，(0)1g ，当1x 时，g（1）0e， 直线yaxa恒过定点(1,0)且斜率为a， 故(0)1ag 且 1 ( 1)3geaa ，解得 3 1 2 a e 6 （2013浙江）已知e为自然对数的底数，设函数( )(1)(1) (1,2) xk f xexk，则( ) A当1k 时，( )f x在1x 处取得极小值 B当1k 时，( )f x在1x 处取得极大值 C当2k 时，( )f x在1x 处取得极小值
13、D当2k 时，( )f x在1x 处取得极大值 【答案】C 【解析】当1k 时，函数( )(1)(1) x f xex 求导函数可得( )(1)(1)(1) xxx fxe xexe， f （1）10e ， f （2） 2 210e ，则( )f x在在1x 处与在2x 处均取不到极值， 第 7 页（共 13 页） 当2k 时， 函数 2 ( )(1)(1) x f xex 2 ( )(1)2(1)(1)(1)(2) xxxx fxe xexxxee， 当1x ，( )0fx，且当1x 时，( )0fx，当 0 1xx时 0 (x为极大值点） ，( )0fx， 故函数( )f x在(1,)上是
14、增函数； 在 0 (x，1)上是减函数，从而函数( )f x在1x 取得极小值对照选项故选C 7 （2013福建）设函数( )f x的定义域为R， 00 (0)x x 是( )f x的极大值点，以下结论一定 正确的是( ) AxR ， 0 ( )()f xf x B 0 x是()fx的极小值点 C 0 x是( )f x的极小值点 D 0 x是()fx的极小值点 【答案】D 【解析】对于A项， 00 (0)x x 是( )f x的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整 个定义域上值最大，故A错误； 对于B:()fx是把( )f x的图象关于y轴对称，因此， 0 x是()fx的极大值点，故B
15、错误； 对于C:( )f x是把( )f x的图象关于x轴对称，因此， 0 x是( )f x的极小值点，故C错误； 对于D:()fx是把( )f x的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此 0 x是()fx的极小值 点，故D正确 8 （2013湖北）已知函数( )()f xx lnxax有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A(,0) B 1 (0, ) 2 C(0,1) D(0,) 【答案】B 【解析】函数( )()f xx lnxax，则 1 ( )()21fxlnxaxxalnxax x ， 第 8 页（共 13 页） 令( )210fxlnxax 得21lnxax，函数( )()f x
16、x lnxax有两个极值点， 等价于( )21fxlnxax有两个零点，等价于函数ylnx与21yax的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当 1 2 a 时，直线21yax与ylnx的图象相切， 由图可知，当 1 0 2 a时，ylnx与21yax的图象有两个交点 则实数a的取值范围是 1 (0, ) 2 简解：函数( )()f xx lnxax，则 1 ( )()21fxlnxaxxalnxax x ， 令( )210fxlnxax 得21lnxax，可得 1 2 lnx a x 有两个不同的解， 设 1 ( ) lnx g x x ，则 2 ( ) lnx g x
17、x ，当1x 时，( )g x递减，01x时，( )g x递增， 可得g（1）取得极大值 1，作出( )yg x的图象，可得021a，即 1 0 2 a，故选B 9 （2013安徽）已知函数 32 ( )f xxaxbxc有两个极值点 1 x， 2 x，若 112 ()f xxx， 则关于x的方程 2 3( ( )2( )0f xaf xb的不同实根个数为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】A 第 9 页（共 13 页） 【解析】函数 32 ( )f xxaxbxc有两个极值点 1 x， 2 x， 2 ( )320f xxaxb 有两个不相等的实数根， 2 4120ab解得 22 2412
18、3 63 aabaab x 12 xx， 2 1 3 3 aab x ， 2 2 3 3 aab x 而方程 2 3( ( )2( )0f xaf xb的10，此方程有两解且 1 ( )f xx或 2 x 不妨取 12 0 xx， 1 ()0f x 把( )yf x向下平移 1 x个单位即可得到 1 ( )yf xx的图象， 11 ()f xx，可知方程 1 ( )f xx有两解 把( )yf x向下平移 2 x个单位即可得到 2 ( )yf xx的图象， 11 ()f xx， 12 ()0f xx， 可知方程 2 ( )f xx只有一解 综上可知：方程 1 ( )f xx或 2 ( )f x
19、x只有 3 个实数解即关于x的方程 2 3( ( )2( )0f xaf xb的只有 3 不同实根故选A 10 （2013湖北）已知a为常数，函数( )()f xx lnxax有两个极值点 1 x， 212 ()(xxx ) A 12 1 ()0,() 2 f xf x B 12 1 ()0,() 2 f xf x C 12 1 ()0,() 2 f xf x D 12 1 ()0,() 2 f xf x 【答案】D 第 10 页（共 13 页） 【解析】( )12fxlnxax ，(0)x 令( )0fx，由题意可得21lnxax有两个解 1 x， 2 x函数( )12g xlnxax 有且
20、只有 两个零点( )g x在(0,)上的唯一的极值不等于 0 112 ( )2 ax g xa xx 当0a时，( )0g x，( )fx单调递增，因此( )( )g xfx至多有一个零点，不符合题意， 应舍去 当0a 时，令( )0g x，解得 1 2 x a ， 1 (0,) 2 x a ，( )0g x，函数( )g x单调递增； 1 (,) 2 x a 时，( )0g x，函数( )g x单调 递减 1 2 x a 是函数( )g x的极大值点，则 1 ()0 2 g a ，即 1 1 1(2 )0 2 lnlna a ， (2 )0lna，021a ，即 1 0 2 a 故当 1 0
21、 2 a时，( )0g x 有两个根 1 x， 2 x，且 12 1 2 xx a ，又g（1）120a ， 12 1 1 2 xx a ，从而可知函数( )f x在区间 1 (0,)x上递减，在区间 1 (x， 2) x上递增，在区 间 2 (x，)上递减 1 ()f xf（1）0a ， 2 ()f xf（1） 1 2 a 故选D 11 （2011福建）若0a ，0b ，且函数 32 ( )422f xxaxbx在1x 处有极值，则ab 的最大值等于( ) A2 B3 C6 D9 【答案】D 【解析】 2 ( )1222f xxaxb，又因为在1x 处有极值，6ab， 0a ，0b ， 2
22、()9 2 ab ab ，当且仅当3ab时取等号，所以ab的最大值等于 9 故选D 12 （2008广东）设aR，若函数 x yeax，xR，有大于零的极值点，则( ) A1a B1a C 1 a e D 1 a e 【答案】A 第 11 页（共 13 页） 【解析】 x yeax， x yea 由题意知0 x ea有大于 0 的实根，令 1 x ye， 2 ya ，则两曲线交点在第一象限， 结合图象易得11aa ，故选：A 13 （2011湖南）设直线xt与函数 2 ( )f xx，( )g xlnx的图象分别交于点M，N，则 当|MN达到最小时t的值为( ) A1 B 1 2 C 5 2
23、D 2 2 【答案】D 【解析】设函数 2 ( )( )yf xg xxlnx，求导数得 2 121 2 x yx xx 当 2 0 2 x时，0y，函数在 2 (0,) 2 上为单调减函数， 当 2 2 x 时，0y，函数在 2 (,) 2 上为单调增函数 所以当 2 2 x 时，所设函数的最小值为 11 2 22 ln 所求t的值为 2 2 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 14 （2018江苏）若函数 32 ( )21()f xxaxaR在(0,)内有且只有一个零点，则( )f x 在 1，1上的最大值与最小值的和为 【答案】-3 【解析】函数 32 ( )21()f xxax
24、aR在(0,)内有且只有一个零点， ( )2 (3)fxxxa ，(0,)x， 当0a时，( )2 (3)0fxxxa，函数( )f x在(0,)上单调递增，(0)1f， ( )f x在(0,)上没有零点，舍去； 第 12 页（共 13 页） 当0a 时，( )2 (3)0fxxxa的解为 3 a x ， ( )f x在(0,) 3 a 上递减，在( 3 a ，)递增， 又( )f x只有一个零点， 3 ( )10 327 aa f ，解得3a ， 32 ( )231f xxx，( )6 (1)fxx x， 1x ，1，( )0fx的解集为( 1,0)， ( )f x在( 1,0)上递增，在(
25、0,1)上递减，( 1)4f ，(0)1f，f（1）0， ( )( 1)4 min f xf ，( )(0)1 max f xf，( )f x在 1，1上的最大值与最小值的和为： ( )( )413 maxmin f xf x 15 （2018新课标）已知函数( )2sinsin2f xxx，则( )f x的最小值是 【答案】 3 3 2 【解析】由题意可得2T是( )2sinsin2f xxx的一个周期， 故只需考虑( )2sinsin2f xxx在0，2 )上的值域， 先来求该函数在0，2 )上的极值点，求导数可得( )2cos2cos2fxxx 2 2cos2(2cos1)2(2cos1
26、)(cos1)xxxx， 令( )0fx可解得 1 cos 2 x 或cos1x ，可得此时 3 x ，或 5 3 ； 2sinsin2yxx的最小值只能在点 3 x ，或 5 3 和边界点0 x 中取到， 计算可得(f 3 3 ) 32 ，( )0f，(f 53 3 ) 32 ，(0)0f，函数的最小值为 3 3 2 16 （2013新课标） 若函数 22 ( )(1)()f xxxaxb的图象关于直线2x 对称， 则( )f x 的最大值为 【答案】16 【解析】函数 22 ( )(1)()f xxxaxb的图象关于直线2x 对称， ( 1)( 3)0ff且f（1）( 5)0f， 即 22
27、 1 ( 3) ( 3)( 3)0ab 且 22 1 ( 5) ( 5)( 5)0ab ， 解之得 8 15 a b ，因此， 22432 ( )(1)(815)814815f xxxxxxxx， 求导数，得 32 ( )424288f xxxx， 第 13 页（共 13 页） 令( )0fx，得 1 25x ， 2 2x ， 3 25x ， 当(, 25)x 时，( )0fx；当( 25x ，2)时，( )0fx； 当( 2, 25)x 时，( )0fx； 当( 25x ，)时，( )0fx ( )f x在区间(, 25) 、( 2, 25) 上是增函数，在区间( 25 ，2)、( 25 ， )上是减函数 又( 25)( 25)16ff ，( )f x的最大值为 16故答案为：16
