1、 - 1 - 陕西省黄陵中学 2018届高三数学下学期开学考试试题 理（重点班） 第 卷 选择题（满分 60分） 一、 选择题：本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 | 1 A x y x? ? ?， | 2 , xB y y x A? ? ?，则 AB? （ ） A ( ,1)? B 0,1 C (0,1 D 0,2) 2.已知函数 32() 2bf x x x? ，则 0b? 是 ()fx在 0x? 处取得极小值的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3.已知 1
2、z 与 2z 是共轭虚数，有 4 个命题 12zz? ； 1 2 1 2zz zz? ； 12z z R?；2212zz? ，一定正确的是（ ） A B C D 4. s in( ) ( ( , 0 ) (0 , )xf x xx ? ? ?大致的图象是（ ） A B C. D 5.若 x ， y 满足约束条件2 0,1 0,5 0,yxyxy? ? ? ? ?则 yx 的最大值是（ ） A 32 B 1 C 2 D 3 6.已知锐角 ? 满足 cos 2 cos( )4?，则 sin2? 等于（ ） A 2? B 12? C 22D 22?7. 5( )( )x y x y?的展开式中， 2
3、4xy的系数为（ ） A 10? B 5? C 5 D 10 - 2 - 8.数列 ?na 中，已知 1 1S? ， 2 2S? ，且 1123n n nS S S?，（ 2n? 且 *nN? ），则此数列为（ ） A等差数列 B等比数列 C从第二项起为等差数列 D从第二项起为等比数列 9.已知平面向量 a ， b ， e 满足 1e? ， 1ae? ， 2be? ? ， 2ab?，则 ab? 的最大值为（ ） A -1 B -2 C. 52? D 54? 10.已知实数 x ， y 满足约束条件5001 202xyyxyx? ? ? ? ? ? ? ?，若不等式? ? ? ?221 2 4
4、2 0a x xy a y? ? ? ? ?恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） A 73 B 53 C. 5 D 6 11.已知函数 ? ? ? ? ?22ln 1f x x x a x a R? ? ? ?，若 ? ? 0fx? 在 01x?恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A 2a? B 1a? C. 12a? D 24a?12.已知直线 l 与曲线 326 13 9y x x x? ? ? ?相交，交点依次为 A ， B ， C ，且5AB BC?，则直线 l 的方程为（ ） A 23yx? ? B 23yx? C. 35yx? D 32yx? ? 二、填空题：本大题共 4小题，
5、每题 5分 . 13. 设 满足 则 的最大值是 _ 14. 二项式 的展开式中常数项是 _（用数字作答） 15. 若方程为标准方程的双曲线的一条渐近线与圆 相切 ， 则其离心率为- 3 - _ 16. 已知数列 共有 26 项，且 ， ， ， 则满足条件的不同数列 有 _ 个 三、解答题： (本大题 6个小题，共 70 分 ) 17.已知数列 ?na 的前 n 项和 2*19 ()88nS n n n N? ? ?。 （ ） 求数列 ?na 的通项公式； （ ） 令111 6 ( 1) ( 1)nnnb aa? ?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT 。 18如图，正三棱柱 1 1 1AB
6、C ABC? 的所有棱长均 2 ， D 为棱 1BB （不包括端点）上一动点， E 是 AB 的中点 （ ） 若 1AD AC? ，求 BD 的长； （ ） 当 D 在棱 1BB （不包括端点）上运动时，求平面 1ADC 与平面 ABC的夹角的余弦值的取值范围 19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地， 已知 所有采摘的桔柚的直径都在 ? ?59,101 范围内（单位： 毫 米 ， 以下同），按规定直径在 ? ?71,89 内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取 500 个 ， 测量这些桔柚的直径 ， 所得数据整理如下 ： （ 1）根据以上统计数据完成下面 22? 列联表 ，
7、并回答是否有 95% 以上的把握认为 “桔柚直径与所在基地有关” ？ - 4 - （ 2） 求优质品率较高的基地的 500个桔柚直径的样本平均数 x (同一组数据用 该 区间的中点值作代表 )： （ 3） 经计算，甲基地的 500 个桔柚 直径 的样本方差 226.78s ? ， 乙基地的 500个桔柚 直径 的样本方差 227.28s ? ， 并且可认为优质品率较高的基地采 摘 的 桔 柚直径 X 服从正态分布? ?2,N? ，其中 ? 近似为样本平均数 x ， 2? 近似为 样本方差 2s .由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采 摘 的桔柚中， 直 径不低于 86.78亳米的桔
8、柚在总体中所占的比例 . 附： ? ? ? ? ? ?22 n a d b cKa b c d a c b d? ? ? ? ?， n a b c d? ? ? ? . 若 ? ?2,XN? ， 则 ? ? 0 .6 8 2 6PX? ? ? ? ? ? ? ?. ? ?2 2 0 .9 5 4 4PX? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?3 3 0 .9 9 7 4PX? ? ? ? ? ? ? ?. 20.已知 过点 ? ?2,1P 的 椭圆 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?的离心率为 22. （ 1） 求椭圆方程 ； （ 2） 不过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆
9、E 交于 ,AB两点 (异于点 P ，线段 AB 的中点为 D ,直线OD 的斜率为 1.记直线 ,PAPB 的斜率分别为 12,kk.问 12kk 是否为定值 ?若为定值，请求出定值 .若不为定值，请说明理由 . 21.已知函数 21( ) ln ( )2f x x a x x a R? ? ? ?， 函数 ( ) 2 3g x x? ? . （）判断函数 1( ) ( ) ( )2F x f x ag x?的单调性 ； （）若 21a? ? ? 时 ， 对任意 12, 1,2xx? ， 不等式 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x t g x g x?
10、 ? ?恒- 5 - 成立 ， 求实数 t 的最小值 . 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .做答时请写清题号 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 .曲线 1C 的极坐标方程为 4sin? ， M 为曲线 1C 上异于极点的动点，点 P 在射线 OM 上，且 OP ，25， OM 成等比数列 . （ 1）求点 P 的轨迹 2C 的直角坐标方程； （ 2）已知 (0,3)A ， B 是曲线 2C 上的一点且横坐标为 2 ，直线 AB 与 1C 交于 D ， E 两点，
11、试求 AD AE? 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 2( ) ( )f x x a a R? ? ?， ( ) 1 2g x x x? ? ? ?. （ 1）若 4a? ，求不等式 ( ) ( )f x g x? 的解集； （ 2）若 0,3x? 时， ( ) ( )f x g x? 的解集为空集，求 a 的取值范围 . - 6 - 参考答案 1-5: CDDDC 6-10.ABDDA 11-12.CB 13.【答案】 14.【答案】 210 15.【答案】 或 2 16.【答案】 2300 17.解： （ ） 由题意知，当1 12 1;4n n nn a S S n? ? ?
12、 ? ?时 ， 11 11 1 .4n a S? ? ? ?当 时 ， 符 合 上 式 。1 14nan?所 以 ? 6分 （ ） 解：由 （ ） 知 nb =111nn? ? ， Tn= 11 11nnn? ? 12分 18证明： （ ） ，由 AC=BC， AE=BE，知 CE AB， 又平面 ABC平面 ABB1A1，所以 CE平面 ABB1A1 而 AD?平面 ABB1A1， AD CE，又 AD A1C所以 AD平面 A1CE， 所以 AD A1E易知此时 D为 BB1的中点，故 BD=1 ? 5分 （ ） 以 E为原点， EB为 x轴， EC为 y轴， 过 E作垂直于平面 ABC
13、的垂线为 z轴， 建立空间直角坐标系，设 BD=t， 则 A（ -1， 0， 0）， D（ 1， 0， t）， C1（ 0， 3 ， 2）， AD =（ 2， 0， t）， 1AC =（ 1， 3 ， 2），设平面 ADC1的法向量 n =（ x， y， z）， 则1203 2 0n A D x tzn A C x y z? ? ? ? ? ? ?，取 x=1，得 4 1 2(1, , )33n tt? ? ?， 平面 ABC的法向量 m =（ 0， 0， 1），设平面 ADC1与平面 ABC的夹角为 ， cos = mnmn=2224 1 41 ( )33ttt? ? ?=2 327tt?=
14、23( 1) 6t?由于 t（ 0,2） ,故 cos （ 217， 22 即平面 ADC1与平面 ABC的夹角的余弦值的取值范围为（ 217， 22 ? 12 分 - 7 - 19.解： （ ） 由以上统计数据 填写 22?列联表如下： 841.3848.51711000190810500500 803901104201000 22 ? ? ）（K， 所以 ,有 95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异” （ ） 甲基地水果的优质品率为%84500420?，甲基地水果的优质品率为%78500390?， 所以，甲基地水果的优质品率较高， 甲基地的 500个桔柚直)59835921258
15、6175801207430681062(500 1 ?x80 98.044.65.210.2876.1708.424.1? ?（ ） 由 （ ） 可知，甲基地的桔柚直径)78.6,80( 2NX6826.0)78.8622.73()78.68078.680( ? XPXP， 1587.026826.012 )78.8622.73(1)78.86( ? XPXP所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于 86.78 毫米的桔 柚在总体中所占的比例大约为 %87.15. 20.解 : （）由题意得?22222114baba,解得3,6 22 ? ba,则椭圆 E的方程为.136 22 ? yx( )
16、 由 题 意 可 设 直 线 AB方 程 为)0( ? mmtyx, 令),(),( 2211 yxByxA则)2,2( 2121 yyxxD ?. ?直线OD的斜率为 1,myytxxyy 2)( 212121 ?, 即02)(1( 1 ? myyt(1) 甲基地 乙基地 合计 优质品 420 390 810 非优质品 80 110 190 合计 500 500 1000 - 8 - ? ? ? mtyx yx 062 22? 062)2( 222 ? mtmyyt )0( ?则22,6 221221 ? t tmyytmyy代入 (1)式得2,0,0222)1 2 ? tmmt tmt ?
17、, 因此 , .32,161 21221 myymyy ?则21kk )2(2)2(2)1)(1(212121212211 ? ? mymy yyxyxy22121 2121 )2()(2(24 1)( ? ? myymyy yyyy21)4(31)4(6122?mmmm,即21kk为定值.2121解：（ I） ? ? ? ? ? ? ? ?21 1 3l n 12 2 2F x f x a g x x a x a x a? ? ? ? ? ? ?，其定义域为 为 (0, )? ， ? ? ? ?2 111 1 a x a xF x a x axx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11ax xx? ? ?. （ 1） 当 0a? 时， ? ? 0Fx? ? ，函数 ? ?y F x? 在 (0, )? 上单调递增； （ 2） 当 0a? 时，令 ? ? 0Fx? ? ，解得 10 x a? ；令 ? ? 0Fx? ? ，解得1x a? .故函 数 ? ?y F x? 在 10,a?上单调递增，在 1,a?上单调递减 .
