1、新疆乌鲁木齐地区 2018届高三数学下学期第二次诊断性测验试题（理） 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ( 1) 0A x x x? ? ?， 1B x y x? ? ?，则 AB=（ ） A 0xx? B 1xx? C 0 1xx? D ? 2.若复数 1z ， 2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 1 12zi? ，则 12zz =（ ） A 3455i? B 3455i? C 3455i? D 3455i? 3.已知命题 p ： xR? ， lg 0x? ；
2、q ： 0xR?， 00sin cosxx? ，则下列命题中为真命题的是（ ） A q? B pq? C pq? D qp? 4.已知函数22 ,0()log , 0xfx xxx? ?，若 ( ) 2fa? ，则实数 a =（ ） A -1 B 4 C. 14 或 1 D -1或 4 5.若 ,mn是两条不同的直线， ,?是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A若 ,m? ? ?，则 m ? B若 m ? ， nm? ，则 n ? C. 若 m? ， n ? ， mn? ，则 ? D若 m ? ， m? ， n? ，则 m n 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A
3、 4 B 143 C. 163 D 6 7.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 .”其大意为“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程” .该问题的计算结果为（ ） A 24里 B 48里 C.96里 D 192里 8.习近平总 书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化。我国古代数学名著九章算术中收录了“更相减损术”这一经典算法，据此设计的程序框图如图所示，若输入的
4、,xyk 的值分别为 16， 24， 1，则输出的 k 的值为（ ） A 2 B 3 C.4 D 5 9.若锐角 ? 满足 2sin cos 2?，则函数 2( ) cos ( )f x x ?的单调递减区间为（ ） A 52 , 2 ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?B 5 , ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?C. 72 , 2 ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?D 7, ( )1 2 1 2k k k Z? ? ?10.过等轴双曲线的焦点 F 作它的一条渐近线的平行线分别交另一条 渐近线以及双曲线于,MN两点，则（ ） A FN NM? B FN NM? C
5、. FN NM? D ,FN NM 的大小关系不确定 11.函数 ( 1) ( 1)xxayax?的图象的大致形状是（ ） A B C. D 12. AB 是过抛物线 2 2y px? 焦点 F 的弦，其垂直平分线交 x 轴于点 G ，设 AB FG? ，则 ? 的值是（ ） A 32 B 2 C.4 D与 p 的值有关 第 卷（共 90分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若变量 ,xy满足约束条件 4yxxyyk?，且 2z x y?的最小值为 -3，则 k = 14.有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，
6、则不同的站法种数有 （用数字作答） 15.在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，若 ,2,a bc 成等比数列， 2 2 2a b c bc? ? ? ，则 sinbBc 的值为 16.已知函数 31() xf x e ? ， 1( ) ln3g x x? ，若 ( ) ( )f m g n? ，则 nm? 的最小值为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知 na 是等差数列，且 348aa?， 244aa? ；数列 nb 满足：121nnnb aa? （）求数列 na 的通项公式； （）设数列 nb 的前
7、n 项和为 nS ，若 11 20nSn ? ，求 n 的最大值 18. 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，底面 ABC 是等边三角形， D 为 BC 的中点 （）求证 1AC 平面 1ADB ； （）若 1 2AB AA?，求二面角 1B AB D?的平面角的余弦值 19. 公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客的需求，为了合理布置车辆，公交公司在 2路车的乘客中随机调查了 50 名乘客，经整理，他们候车时间（单位： min ）的茎叶图如下： （）将候车时间分为 ? ? ? ? ? ?0, 4 , 4,8 , , 28,32八组，作出相应的频率分布直方图； （）
8、若公交公司将 2 路车发车时间调整为每隔 15min 发一趟车，那么上述样本点将发生变化（例如候车时间为 9min 的不变，候车时间为 17min 的变为 2min ），现从 2 路车的乘客中任取 5人，设其中候车时间不超过 10min 的乘客人数为 X ，求 X 的数学期望 20. 已知点 0 0 0( , )( 0)P x y y ? 是椭圆 22:143xyC ?上的点，点 Q 的坐标为 00( , )43xy，直线 l上的任意一点 M 满足 0MP OQ?（ O 为坐标原点） （）求直线 l 的方程； （）设 C 的右焦点为 F ，过点 (4,0) 作 l 的垂线交直线 PF 于点 S
9、 ，证明 S 在定圆上 21. 已知函数 ( ) ln( )xf x e ex a? ? ?（其中 2.71828e? ，是自然对数的底数） （）当 ae? 时，求 ()fx的最小值； （）若 ()f x e? 恒成立，求证 1ae? 请考生在 22、 23 两题中任选一题 作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 cossinxtyt ? ?（ t 为参数， 0 ?）， 以O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cos? （）求直线 l 的普通方程和曲线 C
10、的直角坐标方程； （）设 (1,0)A ，直线 l 交曲线 C 于 ,MN两点， P 是直线 l 上的点，且 2 1 1AP AM AN?，当 AP 最大时，求点 P 的坐标 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 3f x x x a? ? ? ? （）当 2a? 时，解不等式 1() 2fx? ； （）若存在实数 x ，使得不等式 ()f x a? 成立，求实数 a 的取值范围 试卷答案 一、选择题 1-5:BACDD 6-10:DCCBA 11、 12： AB 二、填空题 13.-1 14.36 15. 38 16. 2 ln33? 三、解答题 17. （）设 na 的首项为
11、1a ，公差为 d ，依题意，有 12 5 824add ? ?，解得 1 12ad? ?，所以23nan?； （）121 1 1 1 1( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nnnb a a n n n n? ? ? ? ? ? ?， 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nS n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 21 2 1 7 1 01 2 0nS nnn ? ? ? ? ? ，设 2( ) 2 17 1f x x x? ? ?， 由 (8 ) 7 0 , (9 ) 1 0 0ff? ? ? ? ?及二次函数单调性可知，
12、 n 的最大值为 8 18. （）连结 1AB交 1AB 于 E ，连结 ED ， ,DE 都是中点， DE? 1AC ， 1AC? 平面 1ADB ； （）建立如图空间直角坐标系， 1 2AB AA?， 1( 0 , 0 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 ,1 , 0 ) , ( 0 ,1 , 2 )D A B B? ， 设面 1BAB 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z? ，由 11100n ABn AB? ?， 得 1 (1, 3,0)n ? ，同理得 面 1DAB 的法向量为 2 (0, 2,1)n ? ， 12121215c o s , 5n
13、nnnnn? ? ? ?， 由图判断二面角 1B AB D?的平面角为锐角， ?其余弦值为 155 19. （）经统计落入分组区间 ? ? ? ? ? ?0, 4 , 4,8 , , 28,32内的频数依次为 4、 4、 10、 12、 8、6、 4、 2各组分组区间相应的频率 /组距的值依次为 0.02、 0.02、 0.05、 0.06、 0.04、 0.03、0.02、 0.01，依此画出频率分布直方图； （）调整为间隔 15 分钟发一趟车之后，候车时间原本不超过 10分钟的数据就有 14 个，发生了变化的候车时间中不超过 10 分钟的数据又增加了 20个，共计 34个 .所以候车时间不
14、超过 10分钟的频率为 34 0.6850? ，由此估计一名 乘客候车时间不超过 10 分钟的概率为 0.68.从乘客中任取 5人，其中候车时间不超过 10 分钟的人数 X ，则 (5,0.68)XB ，( ) 5 0.68 3.4EX ? ? ? 20. （）设 ( , )Mxy ，由 0MP OQ?，得0 0 0 011( , ) 043x x y y x y? ? ? ? ?， 0000( ) ( ) 043xyx x y y? ? ? ? ?，而 2200143xy?， ?直线 l 的方程为 00143x x y y?； （）由（）知 01 034xk y?， ?过点 (4,0) 且与
15、 l 的垂直的直线方程为 004 ( 4)3yyxx?， 而直线 PF 的方程为 00 ( 1)1yyxx? ， 联立00004 ( 4)3( 1)1yyxxyyxx? ? ? ?，解出 004( 4)13313xxxyyx? ? ? ?， 代入椭圆 C 的方程，得 221 6 ( 4 ) 9 14 ( 1 3) 3( 1 3)xyxx? ?，化简得 22( 1) 36xy?， ?点 S 在定圆 22( 1) 36xy?上 21. （）当 ae? 时， ( ) 1 ln( 1)xf x e x? ? ? ?， 1( ) ( 1)1xf x e xx? ? ? ? ?，设 ( ) ( )g x
16、f x ? ， 21( ) 0( 1)xg x e x? ? ? ?，所以 ()gx是增函数，又 (0) 0f? ? ， ?当 10x? ? ? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx递减；当 0x? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx递增； 故 min( ) (0) 0f x f?； （） () x eaf x e xex a e? ? ? ? ? ?， 22( ) 0()x ef x e ex a? ? ? ?， ()fx? 是增函数； ax eee? ，由 aaeeeae x eex a e? ? ? ? ? ， ?当 ae axee?时 ( ) 0fx? ? ； 若 11 ax
17、 eax e ee ? ? ? ? ?，由 11aaeeeae x eex a e? ? ? ? ? ? ， ?当 1m in 1, aea a axee e e? ? ? ? ? ?时， ( ) 0fx? ? ； 故 ( ) 0fx? ? 仅有一解，记为 0x ，则当0a xxe? ? ?时， ( ) 0fx? ? ， ()fx递减；当 0xx? 时，( ) 0fx? ? ， ()fx递增； min 0( ) ( )f x f x?，题意即为 0()f x e? ， 而0 0 0110 0 00( ) 0x x xef x e e x a e a e e xe x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 000 0 0( ) ln ( ) 1xxf x e e x a e x? ? ? ? ? ? ?，记 ) 1xh x e x? ? ?， 显然 ()hx 是增函数，则
