1、重庆市 2018 届高三数学 4 月调研测试题（二诊）文 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设全集 UR? ，集合 ? ?1,0,1,2A? ， ? ?2| log 1B x x?，则 ()UAB? （ ） A ? ?1,2 B ? ?1,0,2? C ?2 D ? ?1,0? 2.复数 z 满足 (1 2 ) 3z i i? ? ? ，则 z? （ ） A 1i? B 1i? C 15i? D 15i? 3.设等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 3 7a? ，
2、 3 12S? ，则 10a? （ ） A 10 B 28 C 30 D 145 4.已知两个非零向量 a ， b 互相垂直，若向量 45m a b?与 2n a b?共线，则实数 ? 的值为（ ） A 5 B 3 C 2.5 D 2 5.“ 1cos2 2? ”是“ ()6k k Z? ? ?”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的 ? ?2,2x? ，则输出的 y 值的取值范围是（ ） A 52y? 或 0y? B 22 3y? ? ? C 2y? 或 20 3y? D 2y? 或 23y? 7.曲线 2 5
3、 0xy x y? ? ? ?在点 (1,2)A 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A 9 B 496 C 92 D 113 8.已知定义在 R 上的奇函数 ()y f x? 满足 (2 ) ( )f x f x? ? ?，且 (1) 2f ? ，则(2018) (2019)ff? 的值为（ ） A 2? B 0 C 2 D 4 9.如图，在矩形 ABCD 中， 2AB? ， 3AD? ，两个圆的半径都是 1，且圆心 1O ， 2O 均在对方的圆周上，在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A 2312? B 4 2 324? C 10 6 336? D
4、 8 3 336? 10.设函数 6cosyx? 与 5tanyx? 的图象在 y 轴右侧的第一个交点为 A ，过点 A 作 y 轴的平行线交函数 sin2yx? 的图象于点 B ，则线段 AB 的长度为（ ） A 5 B 352 C 1459 D 25 11.某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ） A 18 B 8 8 3? C 24 D 12 6 5? 12.设集合 ? ?22( , ) | ( 3 s i n ) ( 3 c o s ) 1 ,A x y x y R? ? ? ? ? ? ? ?，? ?( , ) | 3 4 1 0 0B x y x y
5、? ? ? ?，记 P A B? ，则点集 P 所表示的轨迹长度为（ ） A 25 B 27 C 42 D 43 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从 100 件产品中抽取 5 件进行检测，对这 100 件产品随机编号后分成 5 组，第一组 120 号，第二组 2140 号，?，第五组 81100 号，若在第二组中抽取的编号为 24，则在第四组中抽取的编号为 14.已知实数 x ， y 满足 3 3 0,1 0,1 0,xyxyxy? ? ? ? ? ? ?则 2z x y?的最大值
6、为 15.边长为 2 的等边 ABC? 的三个顶点 A ， B ， C 都在以 O 为球心的球面上，若球 O 的表面积为 1483? ，则三棱锥 O ABC? 的体积为 16.已知双曲线 221xyab?（ 0a? ， 0)b? ）的左右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P 在双曲线的左支上， 2PF 与双曲线右支交于点 Q ，若 1PFQ? 为等边三角形，则该双曲线的离心率是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 1 2a? ， 1 ( 2)3nnS n a? （ 1）求 na ；
7、（ 2）求证 :121 1 1 1na a a? ? ? ? 18.某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活，创建了社区“文化丹青”大型活动场所，配备了各种文化娱乐活动所需要的设施，让广大居民健康生活、积极向上社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金 额统计数据如表：（为了便于计算，把 2015 年简记为 5，其余以此类推） 年份 x （年） 5 6 7 8 投资金额 y （万元） 15 17 21 27 （ 1）利用所给数据，求出投资金额 y 与年份 x 之间的回归直线方程 y bx a?； （ 2）预测该社区在 2019 年在“文化丹青”上的投资金额 （附：对于一组数据 11( , )
8、xy ， 22( , )xy ，?， ( , )nnxy ，其回归直线 y bx a?的斜率和截距的最小二乘估计分别为 121( )( )()niiiniix x y ybxx?， a y bx? ） 19.三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， M ， N ， O 分别为棱 1AC ， AB ， 11AC 的中点 （ 1）求证：直线 /MN 平面 1AOB ； （ 2）若三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的体积为 103 ，求三棱锥 A MON? 的体积 20.如图，已知 1( 1,0)F? ， 2(1,0)F 是椭圆 C 的左右焦点， B 为椭圆 C 的上顶点，点 P 在椭圆C 上，直
9、线 1PF 与 y 轴的交点为 M ， O 为坐标原点，且 2| | | |PM FM? ， 3|4OM? （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C 交于 S ， T 两点（异于点 B ），证明：直线ST 过定点，并求该定点的坐标 21.已知函数 3( ) ( 1) x af x exx? ? ?（ 0x? ， aR? ） （ 1）若 ()fx在 (0, )? 上单调递减，求 a 的取值范围； （ 2）当 ( 3, )ae? ? 时，判断关于 x 的方程 ( ) 2fx? 的解得个数 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
10、题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 ，曲线 1C 的参数方程为 2,2xtyt? ? ?（ t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 5cos? （ 1）写出曲线 1C 的极坐标方程和 2C 的直角坐标方程； （ 2）记曲线 1C 和 2C 在第一象限内的交点为 A ，点 B 在曲线 1C 上，且 2AOB ?，求 AOB?的面积 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2( ) | 2 | | |f x x x a? ? ? ? （ 1）若关于 x 的不等式 ()f x a? 有解，求实数 a 的
11、取值范围； （ 2）若正实数 m ， n 满足 2m n a?，当 a 取（ 1）中最大值时，求 11mn? 的最小值 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 4 月调研测试卷文科数学答案 一、选择题 1-5:BABCB 6-10:CBADC 11、 12： CD 二、填空题 13.64 14.8 15. 333 16. 7 三、解答题 17.解：（ 1） 3 ( 2)nnS n a? ， 113 ( 1)nnS n a? ， 两式相减， 13 ( 2 ) ( 1)n n na n a n a ? ? ? ?，111nna nan? ? ，其中 2n? ， 累乘得，1( 1) ( 1)2n
12、nna a n n? ? ?，其中 2n? ，又 1 2a? ， ( 1)na n n? （ 2）121 1 1 1 1 11 2 2 3 ( 1 )na a a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 1 12 2 3 1 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18.解：（ 1） 6.5x? ， 20y? ， 2 2 2 2( 5 6 . 5 ) ( 1 5 2 0 ) (6 6 . 5 ) ( 1 7 2 0 ) (7 6 . 5 ) ( 2 1 2 0 ) ( 8 6 . 5 ) ( 2 7 2 0 ) 4( 5 6 .
13、5 ) (6 6 . 5 ) (7 6 . 5 ) ( 8 6 . 5 )b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 20 4 6.5 6a ? ? ? ? ?，回归方程为 46yx? （ 2）当 9x? 时， 30y? ，预测该社区在 2019 年投资金额为 30 万元 19.解：（ 1）设 P 为 1AB 中点，连接 NP ，则 /NP112BB， 又 /MO112AA，所以 MOPN 为平行四边形， /MN OP ， 所以 /MN 平面 1AOB （ 2）1 1 1 1 11 1 12 4 8A M O N N A M O N A C O N C A A B
14、 C A AV V V V V? ? ? ? ? ? ? ?， 1/BB 平 面 11AAC ， 1 1 1 1 1B C A A B C A AVV? ， 1 1 1 1 1 11 1 0 333B C A A A B C A B CVV? ， 5 312A MONV ? ? 20.解：（ 1）由题 21PM MF MF?， 2 1 2PF FF? ， 22 32 2bPF OM a? ? ?， 联立 2 2 2a b c?和 1c? ，解得 2 4a? ， 2 3b? ，所求椭圆方程为 22143xy? （ 2）设 11( , )Sx y ， 22( , )Tx y ，直线 BS ： 3y
15、 kx? ，联立椭圆方程得 22(4 3) 8 3 0k x k? ? ?， 1 28343kx k? ? ， 2 2283834 433kkxkk? ? ? ? 由题，若直线 BS 关于 y 轴对称后得到直线 BS，则得到的直线 ST 与 ST 关于 x 轴对称， 所以若直线 ST 经过定点，该定点一定是直线 ST 与 ST 的交点，该点必在 y 轴上 设该点坐标 (0,)t ， 1 2 11 2 1t y y yx x x? ， 1 2 1 221y x x yt xx? ? 1 2 1 2211( 3 ) ( 3 )k x x x xkxx? ? ? ? ?， 代入 1x ， 2x ，化
16、简得 37t? ， ST 经过定点 3(0, )7? 21.解：（ 1） 22 2 2 23 3 3 3( ) ( 1 )xxa x x af x e ex x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由题 ( ) 0fx? 在 (0, )? 恒成立， 22233 0xx x aexx? ? ? ? ? ?，即 2( 3 3) xa x x e? ? ? ? ?， 设 2( ) ( 3 3) xg x x x e? ? ? ? ?， 2( ( )xg x e x x? ? ?， ()gx在 (0,1) 上单调递增，在 (1, )? 上单调递减， max( ) (1)g x g e? ?
17、 ?， , )ae? ? （ 2） 3( ) ( 1) 2x af x exx? ? ? ?，即 32 ( 1) xa exx? ? ? ，其中 0x? ， 2 (3 ) xa x x e? ? ? ， 0? ， 令 ( ) 2 (3 ) xh x x x e? ? ?， ( ) 2 ( 2) xh x e? ? ?， ( ) ( 1) xh x x e?， ()hx在 ( ,1)? 上单调递减，在 (1, )? 上单调递增，由 (0) 0h ? ， 又 (2) 2 0h ?，所以存在 0 0x? ，使 ()hx在 0(0, )x 上满足 ( ) 0hx? ， 在 0( , )x ? 上满足
18、( ) 0hx? ，即 ()hx 在 0(0, )x 上单调递减，在 0( , )x ? 上单调递增， 由 (0) 3h ? ， x ? 时， ()hx ? ， 所以当 0x? ， ( 3, )ae? ? 时， 2 (3 ) xa x x e? ? ? 有一个解， ( ) 2fx? 只有一个解 22.解：（ 1）由题 1C ： 2 4yx? ， 22sin 4 cos? ? ? ? ，即 2sin 4cos? ? ? ， 2C ： 225x y x? （ 2）联立 2 4yx? 和 225x y x?，得 1Ax? ， 2Ay? ， 设 2( , )4mBm，由 OA OB? ，2124mm ?，得 8m? ， (16, 8)B ? ， 11| | | | 5 8 5 2 022A O BS O A O B? ? ? ? ? ? ? 23.解：（ 1） 2 2 2| 2 | | | | ( 2 ) ( ) | | 2 |x x a x x a a? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2x? 时等号成立， ()fx的最小值为 2| 2
