1、 1 2016 年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷 高三数学 2017.01 一、 填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1. 设集合? ? ? ?| 0 , | 1 2A x x B x x? ? ? ? ? ?，则AB?. 2. 复数21z i? ?，（其中 i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数为 . 3.命题2“ 2, 4“xx? ? ?的否定是 . 4.从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 人参加座谈会，则选出的 2 人恰好为 1 男 1女的概率为 . 5 根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 . 6. 已 知 向 量? ? ? ?,1 , 1,
2、1ab? ? ?，若?与ma b?垂 直 ， 则 的值为 . 7.设不等式1,0,4,xxyxy?表示的平面区域为 M,若直线2y kx?上存在 M内的点，则实数 k 的取值范围是 . 8.已知? ? ? ?2 3, 0 , 0 ,x xfx g x x? ? ? ?是奇函数，? ? ?fg?则 . 9.设公比不为 1 的等比数列?na满足1 2 3 8a a ?，且2 4 3,aaa成等差数列，则数列?na的前 4 项和为 . 10.设? 2si n 3 c os c os 2f x x x x ? ? ?，则?fx在0,2?上的单调递增区间为 . 11.已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为1
3、20，且面积为3?的扇形，则该圆锥的体积等于 . 12.设 P 为有公共焦点12,FF的椭圆1C与双曲线2的一个交点，且12PF PF?，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，若3ee?，则1e. 13.若函数?fx在? ? ?,m n m n?上的值域恰好为? ?,mn，则称?fx为函数的一个“等值映射区间” .下列函数 :2 1yx?;22 log?;21xy;11y x? ?.其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个 . 2 14.已知0, 0, 2abc? ? ?，且2ab?，则522ac c cb ab c? ? ? ?的最小值为 . 二、解答题：本大题共 6 小题
4、，共 90 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 . 15.在ABC?中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且2si n c os 12BCA ?， D 为 BC 上一点，且13 .44AD AB AC?（ 1）求sinA的值； （ 2）若4 2, 5?，求 AD 的长 . 16.在四棱锥P ABCD?中，底面 ABCD 为矩形， AP?平面PCD， E,F 分别为 PC,AB 的中点 .求证： （ 1）平面 PAD平面CD； （ 2）/EF平面 . 17. 某地拟在一个 U 形水面? ?90PA BQ A B? ? ? ?上修一条堤坝（ E 在 AP 上， N 在 BQ 上
5、），围出一个封闭区域 EABN，用以种植水生植物 .为了美观起见，决定从 AB 上点 M 处分别向点 E,N 拉 2 条分割线 ME,MN, 将 所 围 区 域 分 成 3 个 部 分 （ 如 图 ）， 每 部 分 种 植 不 同 的 水 生 植 物 . 已知, , 90AB a EM BM M EN? ? ? ?，设所拉分割线总长度为 l. （ 1）设2AME ?，求用?表示的 l 函数表达式，并写出定义域； （ 2）求 l 的最小值 . 18.已知椭圆22143xy?，动直线 l 与椭圆 B,C 两点（ B 在第一象限） . （ 1）若点 B 的坐标为3,2?，求OBC?面积的最大值； （
6、 2）设? ? ? ?1 1 2 2, , ,x y C x y，且1230yy，求当OBC?面积最大时，直线 l 的方程 . 3 19.数列?na的前n项和为S，? ?1 2 , ,3nn na S a r r R n N ? ? ? ? ?. （ 1）求 r的值及数列?n的通项公式； （ 2）设? ?n nnb n Na ?，记nb的前 项和为T. 当nN?时，2nnTT?恒成立，求实数?的取值范围； 求证：存在关于n的整式?gn，使得? ? ? ?11 11n nni T T g n? ? ? ? ?对一切2,n n N?都成立 . 20.已知? ? ? ? ? ?2 1 , .xf x
7、 x m x m R g x e? ? ? ? ?（ 1）当? ?0,2x?时，? ? ? ? ? ?F x f x g x?为增函数，求实数m的取值范围； （ 2 ）若? ?1,0m?，设函数? ? ? ? ? ? ? 15,44fxG x H x xgx? ? ? ?， 求 证 ： 对 任 意 ? ?12, 1,1x x m?，? ? ? ?12G x H x?恒成立 . 2016 年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷 高三数学（加试题） 说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 21.（本题满分 10 分）选修 4-4： 坐标系与参数方程 设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极
8、轴为x轴的正半轴 .已知曲线 C 的极坐标方程为 8sin?（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线, 2,xtyt? ?（ t 为参数）与曲线 C 交于 A,B 两点，求 AB 的长 . 4 22.（本题满分 10 分）选修 4-2：矩阵与变换 已知变换 T 将平面上的点? ?11, , 0,12?分别变换为点93, 2 , , 442? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.设变换 T 对应的矩阵为 M. （ 1）求矩阵 M； （ 2）求矩阵 M 的特征值 . 23.（本题满分 10 分）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过 2 小时免费，超过 2小时的部分每小时收费
9、 1 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） .现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过 5 小时 .设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如下表所示 . （ 1）求甲、乙两人所付车费相同的概率； （ 2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量?，求 的分布列和数学期望E?. 24.（本题满分 10 分）如图，四棱锥P ABCD?中， PA?平面ABCD，四边形 为直角梯形，/ , 90 , 1 , 2 , , ,AD BC BA D C BA PA AB BC AD E F G? ? ? ? ? ? ? ?分别为,BC PDPC的中点 . （ 1）求 EF与DG所成角的余弦值； （ 2）若 M 为 EF 上一点， N 为 DG 上一点，是否存在 MN,使得 MN平面 PBC?若存在，求出点 M,N的坐标；若不存在，请说明理由 . 5 6 7 8 9 10
