1、1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 专题专题 01 曲线与方程曲线与方程 作者作者：上海市：上海市特级教师特级教师 文卫星文卫星 解答数学题的解答数学题的“思维导图思维导图”： 否 已知条件 隐含条件 中间结论（可知） 已知条件的等价转化 待求（证）的结论 结论的等价转化（需知） 能 逛公园顺道看景，好风光驻足留影逛公园顺道看景，好风光驻足留影. 把条件翻成图式，关键处深挖搞清把条件翻成图式，关键处深挖搞清. 综合法由因导果，分析法执果索因综合法由因导果，分析法执果索因. 两方法嫁接联姻，让难题无以遁形两方法嫁接联姻，让
2、难题无以遁形. 这里把解题比作逛公园，沿路而行，顺道看景，既有活跃气氛，又有借景喻理之意，即 理解题意后把已知条件“翻译”出来，如果能得到结论那是最好，如果不行就要转化，即从已 知条件入手推出中间结论（可知） ，当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功.当中间 结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知” 从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从某种意义上说，解题就是“找关系”- 找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之间的差距，从而达到解题目的. 这个思维导图不仅是用来解答压轴题，其实，每个层次的学生都有相应的难题。中等以 下水平的学生高
3、考基本不用做压轴题的，但他们做中档题会有困难，思维导图一样适用。 专题专题 1 曲线的方程曲线的方程 本专题思维导图本专题思维导图 一个问题两方面一个问题两方面 几何直观是曲线几何直观是曲线 代数运算很精准代数运算很精准 读题画图思路现读题画图思路现 曲线与方程是解析几何的最基础问题，高考中除了部分直接考求轨迹方程的解答题， 还有不少试题作为第（1）题要求曲线的方程，或者在知道曲线类型的情况下，求其他基本 量（a、b、c、e、p）或其他特定的量.解题过程中要注意基本量思想的运用，即根据条件设 否 能 曲 线 和 方 程 问 题 由定义或相关条件列 方程组，解出 a,b,c,e， p 或圆心、半
4、径，检验 已知方程研究曲线性质 画出满 足条件 的图形 根据方程所具有的 性质（联立方程组） 及其他条件解题 已知性质求曲线（方程） 作 答 2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 出几个变量（基本量） ，相应地就要根据条件列出几个方程，解出相关变量，达到解题目的. 曲线形象直观，方程精准深刻，二者从不同的角度、以不同的形式反映同一个问题。因 此解题过程需要画出图形以利思考。 思路点拨思路点拨 如图所示，过点 A 作渐近线的垂线 AP，由MAN=60 可得PAN=30 , 因为OAa，ANAMb，所以 3 2 APb， 22
5、 22 3 4 OPOAPAab， 22 3 2 tan 3 4 b AP OP ab . 又tan b a ，所以 22 3 2 3 4 b b a ab ，解得 22 3ab，所以 2 2 12 3 11 33 b e a . 思路点拨思路点拨 根据抛物线定义，|=4 222 AB ppp AFBFyy，所以 AB yyp. 因为 22 22 2 1 2 xy ab xpy ， ， 所以 22222 20a ypb ya b， 所以 2 2 2 AB pb yyp a ，2ab，所以渐近线方程为 2 2 yx . 例例 1 1 已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的
6、右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若MAN=60 ， 则 C 的离心率为_. 例例 2 2 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1(00) xy ab ab ， 的右 支与焦点为F的抛物线 2 2(0)xpy p交于A，B两点， 若|AF|+|BF|=4|OF|, 则该双曲线的渐近线方程为 . 3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 思路点拨思路点拨 以线段 12 A A为直径的圆是 222 xya，直线20bxayab与圆相切，所以圆心 到直
7、线的距离 22 2ab da ab ，整理为 22 3ab，即 22222 323aacac，即 2 2 2 3 c a ， 6 3 c e a ，故选 A. 思路点拨思路点拨 （1）由椭圆的离心率为 2 2 可得，又圆 C 的半径为2，解 出 a，b （2） 若M，N为上下或左右顶点， 则直线PM，PN与圆 C 相切。一般情形设直线PM的方程为ykxm，代入椭圆方程 可得 222 (1 2)4260kxkmxm 再设 1 (M x， 1) y， 2 (P x， 2) y利用OPMN及韦达定理求出 m 和 k 的关系，然后计算圆心到直线的距离，并比较此距离与半 径的大小 本题思维导图： 例例
8、3 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab ， （ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 （A） 6 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 1 3 例例 4 4 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右顶点为 1 A， 2 A， 上下顶点为 1 B， 2 B， 菱形 1122 A B A B的内切圆 C 的半径为2，椭圆的离心率为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2） 设M，N是椭圆上关于原点对称的两点， 椭圆上一点P满足| |PMPN， 试判断直线PM，PN与圆 C 的位置关系，并证明
9、你的结论 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 满分解答满分解答 由题意知，。 设圆 C 的半径为r， 则 22 rabab， 即 2 232bb， 解得3b ， 所以6a ， 所以，椭圆C的方程为 22 1 63 xy （2）因为 M，N 关于原点对称，O 为原点，由| |PMPN知 设 1 (M x， 1) y， 2 (P x， 2) y,当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为ykxm 代入椭圆方程整理得 222 (1 2)4260kxkmxm。 由于 1 (OMx， 1) y， 2 (OPx， 2) y，且，所以
10、 12121212 22 1212 2 22 22 ()() (1)() 264 (1) 2121 OM OPx xy yx xkxm kxm kx xkm xxm mkm kkmm kk 22 2 3(22) 0 21 mk k ，于是 22 22mk。 又圆 C 的圆心O到直线PM的距离为 2 | 2 1 m r k ，所以直线PM与圆 C 相切 当直线PM的斜率不存在时，依题意得 1 (Nx， 1) y， 1 (P x， 1) y由| |PMPN得 11 |2| |2|xy，所以 22 11 xy，结合 22 11 1 63 xy 得 2 1 2x ，所以直线PM到原点O的距离都是 2，
11、即直线PM与圆 C 也相切 同理可得，直线PN与圆 C 也相切 综合上述，直线PM、PN与圆 C 相切 思路点拨思路点拨 第(1)题列出关于 a，c 的方程，解出 a，c 即可.第（2）题需要表示出 B、D 的坐标，可 以用椭圆的参数方程设出 B 的坐标，也可以设 PA 的方程为 x=my+1，再与椭圆方程联立求 出 B 的坐标，再求直线 BQ 的方程，从而求出 D 的坐标. 满分解答满分解答 例例 5 5 设椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 1 2 已知A是抛物线 2 2ypx( 0p )的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 1 2 (1)求椭圆的
12、方程和抛物线的方程； (2) 设l上两点,P Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点 A)，直线BQ与x轴相交于点D，若APD的面积为 6 2 ，求直线AP的方程 5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） （1）设F的坐标为,0c.依题意， 1 2 c a ， 2 p a， 1 2 ac，解得1a ， 1 2 c ， 2p ，于是 222 3 4 bac. 故椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x ，抛物线的方程为 2 4yx. (2) 解解 1 如图，考虑到图形的对称性，先计算B点纵坐标 为正实数的情形设 3
13、cos ,sin 2 B ，1,Pm. 因为 PAPB kk，所以 3 sin0 0 2 1 1cos1 m ，解得 3sin 1 cos m ，于是 3sin 1, cos1 Q ，于是 33sin sin 2cos1 1 cos BQ k ，所以直线 BQ 的方程为 33sin sin 3 2cos1 (cos )sin 1 cos2 yx . 令0y ，得 3cos1 3cos x ，即 3cos1 (,0) 3cos D . 所以APD的面积 13cos13sin2 3sin6 1 23cos1 cos3cos2 S ，即 2 2sin +cos =3，与 22 sin+cos=1联立
14、解得 2 2 sin 3 ， 1 cos 3 由此可得 6 2 AP k ，所以直线AP的方程为 66 22 yx . 根据图形的对称性，可得直线AP的方程为 66 22 yx 或 66 22 yx 解解 2 设直线AP的方程为10 xmym，与直线l的方程1x联立，可得点 2 ( 1,)p m ，故 2 ( 1,)Q m . 把1xmy与 2 2 4 1 3 y x 联立，消去x，整理得 22 3460mymy，解得 0y ，或 2 6 34 m y m . 由点B异于点A，可得点 2 22 346 (,) 3434 mm B mm . 6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和
15、方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 由 2 ( 1,)Q m ，可得直线BQ的方程为 2 22 62342 ()1(1)()0 3434 mm xy mmmm . 令0y ，解得 2 2 23 32 m x m ，故 2 2 23 (0) 32 m D m ， 22 22 236 | 1 3232 mm AD mm . 又因为APD的面积为 6 2 ，故 2 2 1626 2322 m mm ，整理得 2 32 620mm，解得 6 3 m ，所以 6 3 m . 所以，直线AP的方程为3630 xy或3630 xy. 思路点拨思路点拨 第（2）题利用中点坐标公式，只要证明
16、 2 BM A yy y ，需要设出 M、N 的坐标，利用 第（1）中所得方程，可以设成普通坐标，也可以根据抛物线的参数方程设出其坐标. 满分解答满分解答 (1) 把(1,1)P代入 2 2ypx得 1 2 p ，于是抛物线C的方程为 2 yx，焦点坐标为 1 ,0 4 ，准线方程为 1 4 x (2) 设l： 1 2 ykx， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，则 2 11 yx， 2 22 yx. 直线OP的方程为yx，直线ON的方程为 2 2 y yx x . 由题知 11 ( ,)A x x， 12 1 2 ( ,) x y B x x ，联立方程组 例例 6 6 已知
17、抛物线 2 :2C ypx过点1,1P，过点 1 0, 2 作直 线l与抛物线C交于不同的两点,M N过点 M作x轴的垂线分别与直线 ,OP ON交于点 ,A B，其中O为原点 （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐 标和准线方程； (2) 求证：A为线段BM的中点 7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 2 1 2 ykx yx 得： 22 1 (1)0 4 k xkx， 所以 2 1 2 1 k xx k ， 12 2 1 4 x x k . 2 12 1 12 111 222 1 () 1 2 2 22 x kx xx
18、x y ykxkx xxx ， 由 2 1 2 1k xx k ， 12 2 1 4 x x k ， 上式得 2 1111 2 1 1 22(1) 22 1 2 4 k k kxkxkxx k x ， 故 A为线段BM的中点. 解解 2 由 （1） 可设 22 ,M mmN nn， 则直线 MN 的斜率为 22 1 MN mn k mnmn ， 2 1 2 = m m ，即 11 2 mn . 此时 2 222 , m A m mB m n ，若A为线段BM的中点，则 2 2 2 m mm n ,即 11 2 mn ，这显然成立. 故A为线段BM的中点. 例例 7 已知椭圆 22 22 1(0
19、) xy ab ab 的左焦点为,()0Fc，右顶点为 A，点E的坐标为(0, )c，EFA的面积为 2 2 b . （1）求椭圆的离心率； （2） 设点Q在线段AE上， 3 | 2 FQc， 延长线段FQ与椭圆交于点P， 点,M N在x轴上，/ /PMQN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四 边形PQNM的面积为3c. （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程. 8 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 思路点拨思路点拨 第（1）题根据已知可得关于 a、c 的二次齐次式，从而求出 e.第(2)题把四边形PQNM 的面
20、积转化为 FPMFQNPQNM SSS 四边形 ，因此要求出PQ、的坐标.根据条件需要设出直 线FP的方程为(0)xmyc m. 满分解答满分解答 （1）设椭圆的离心率为 e由已知，可得 2 1 () 22 b ca c 又由 222 bac，可得 22 20caca，即 2 210ee 又因为0e1 ，解得 1 e 2 所以，椭圆的离心率为 1 2 （2） （）依题意，设直线FP的方程为(0)xmyc m，则直线FP的斜率为 1 m 由（1）知2ac，可得直线AE的方程为1 2 xy cc ，即220 xyc，与直线 FP的方程联立， 可解得 (22) 2 mc x m ， 3 2 c y
21、m ， 即点Q的坐标为 (22)3 ( 22 mcc mm ，） 由已知 3 | 2 c FQ ，有 222 (22)33 ()() 222 mccc c mm ，整理得 2 340mm，所以 4 3 m ，即直线FP的斜率为 3 4 （ii） 由2ac，可得3bc，故椭圆方程可以表示为 22 22 1 43 xy cc 由（i）得直线FP的方程为3430 xyc，与椭圆方程联立 22 22 3430 1 43 xyc xy cc ， ， 消去 y，整理得 22 76130 xcxc，解得 13 7 c x （舍去）或xc 因此点 3 2 c P c（ ， ），进而可得 22 35 |()()
22、 22 cc FPcc， 所以 53 | | 22 cc PQFPFQc 由已知， 线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离， 故直线PM和QN都 9 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 垂直于直线FP 因为QNFP，所以 339 | | tan 248 cc QNFQQFN， 所以FQN的面积为 2 127 | | 232 c QNFQ. 同理FPM的面积等于 2 75 32 c ， 由四边形PQNM的面积为3c， 得 22 7527 3 3232 cc c， 整理得 2 2cc，又由0c ，得2c 所以，椭圆的方
23、程为 22 1 1612 xy 思路点拨思路点拨 第（1）题根据条件求出 b 即可求出渐近线方程. 第 （2） 要求l的斜率 k， 就需要得到关于 k 的方程， 只要设出直线方程代入双曲线方程， 再把已知条件坐标化即可.由 11 ()0FAFBAB可知 11 | |,F AFB计算可以稍微简单一 些，也可以利用点差法求 k. 满分解答满分解答 （1）由已知 2 222 2 1,1,(1)1 y acbb b ，解得 2 yb，所以 1 F AB的边长为 22 3 2,22 2 bcb， 代入 22 1cb， 解得 2 2b ， 所以双曲线的渐近线方程为2 .yx （2）解解 1 设直线l的方程
24、为(2),yk x点 1122 ( ,), (,),A x xB xy 1 F( 2,0), 2 F(2,0), 则 1111222121 (2,),(2,),(,).FAxyFBxyABxx yy 例例 8 双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 的左、 右焦点分别为 12 FF、， 直线l过 2 F 且与双曲线交于A B、两点. （1）若l的倾斜角为 2 ， 1 F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b ，若l的斜率存在，且 11 ()0FAFBAB，求l的斜率. 10 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页
25、）页） 由 2 2 1 3 (2) y x yk x ， ， 得 2222 (3)4430,kxk xk 其中 2 12 2 4 . 3 k xx k 因为 11 ()0,FAFB AB即 12122121 2222 212121 (4,) (,) 4() xxyyxx yy xxxxyy 2222 212121 4()33xxxxxx = 22 2121 4()4()0,xxxx 由于 12, xx因此 21 1,xx 即 2 2 4 1, 3 k k 解得 15 . 5 k 所以l的斜率为 15 . 5 k 解解 2 设直线l的方程为(2),yk x点 1122 ( ,), (,),A x
26、 xB xy 1 F( 2,0), 2 F(2,0),点A 与B的中点为,C则 111122 (2,),(2,),FAxyFBxy 由题可知 111 ()20,FAFB ABFC AB 因此 11 | |F AFB(如图)所以 2222 1122 (2)(2),xyxy 整理得 2222 212121 4()0,xxxxyy 以下过程同法一. 解解 3 设直线l的方程为(2),yk x点 1122 ( ,), (,),A x xB xy点A与B的中点为 00 (,),C x y则 1212 00 ,. 22 xxyy xy 由于点A与B在双曲线上，因此 2 2 1 1 2 2 2 2 1 3
27、1 3 y x y x ， ， 11 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 两式相减得 22 22 21 21 ()0, 33 yy xx整理得 00 3 .yx k 因为 00 (2),yk x所以 2 00 22 26 ,. 33 kk xy kk 由题可知 111 ()20,FAFB ABFC AB即 1 1, FC kk 所以 0 0 1, +2 y k x 代入解得 15 . 5 k 所以l的斜率为 15 . 5 k 思路点拨思路点拨 第（1）题要证明ARFQ，只需证明其斜率相等；第（2）题设 AB 中点 E(x,y
28、)，AB 与 x 轴交点 D(m,0)，可以利用 A、B、D、E 四点共线建立 x，y 之间的关系. 满分解答满分解答 （1）由条件可得 1 ( ,0) 2 F，设 12 :,0lya lyb ab：， 22 (, ), (, ) 22 ab Aa Bb，则 111 (, ),(, ),(,). 2222 ab Pa Qb R 设过 A、B 的直线为 l， 则 22 2 + 2 l ab k aba b ， 所以 l 的方程为 2 2 :() +2 a l yxa a b ， 即2()0.xab yab 由于 F 在直线 l 上，所以10ab. 又 22 1 = 1 AR abab k aab
29、aa ， 1 FQ kb a ，所以ARFQ. （2）设l与x轴的交点为)0 ,( 1 xD， 则 2 , 2 1 2 1 2 1 1 ba SxabFDabS PQFABF . 例例 9 已知抛物线C： 2 2yx的焦点为F， 平行于x轴的两条直线 12 ,l l分 别交C于A B，两点，交C的准线于PQ，两点 （1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ； （2）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 12 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 1 曲线和方程曲线和方程 精讲篇精讲篇 （共（共 12 页）页） 由题设可得 2 22 1 2 1 1 ba xab ，所以0 1 x（舍去） ，1 1 x. 设满足条件的AB的中点为),(yxE. 当AB与x轴 不 垂 直 时 ， 由 于ABDE四 点 共 线 ， 所 以 DEAB kk可 得 ) 1( 1 2 x x y ba . 因为y ba 2 ，所以) 1( 1 2 xxy. 当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以所求轨迹方程为1 2 xy.
