1、1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 专题专题 02 定点、定值问题（精讲篇）定点、定值问题（精讲篇） 解析几何中的定点、定值问题一直是高考中值得关注的问题.它的基本形式是在若干个 相关个几何量转化，某些量却是恒定不变的.解答途径是用部分量去表示要求的量，即建立 适当的函数（或方程）关系，最后证明函数值是定值或某个定点坐标适合方程. 动中不动是为定动中不动是为定 变化之中理辩清变化之中理辩清 直接计算求定值直接计算求定值 含参系数令其零含参系数令其零 思路点拨思路点拨 如图，因为 y 与ACF共底边 CF，所以 BCF ACF BCS SAC = B A
2、 x x . 因为抛物线 2 4yx，故可知2p ，准线方程为1x . 过点A作准线的垂线交于点 1 A，交y轴于点 2 A，同样过点B作 准线的垂线交于点 1 B，交y轴于点 2 B. 根据抛物线的定义，得 12 | | 1 B xBBBBBF， 12 | | 1 A xAAAAAF. 例例 1 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同 的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与 的面积之比是 （A）（B） （C）（D） 定点、定值问题 曲线过定点 某个量为定值 用参数表示曲线方程 用参数表示该量 令参数系数为0或某值， 解出相应的 x、y 的值 令参数系数为 0 或某值 化简使该
3、量为定值 选参、用参、消参，求出定点或定 2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 所以 BCF ACF BCS SAC | 1 =. | 1 B A xBF xAF 选（A）. 思路点拨思路点拨 第（1）题根据椭圆的对称性可以排除 P1（1,1）.第（2）题联立方程即可，此时有两种 方法联立，第一种，假设直线 AB 的方程，第二种假设直线 P2A 和 P2B. 满分解答满分解答 (1) 根据椭圆对称性可得， P1（1,1） ， P4（1，） 不可能同时在椭圆上， P3（1，） ， P4（1，） 一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过 P2（0,1） ， P3
4、（1，） ， P4（1，） . 把 P2，P3坐标代入椭圆方程得 2 22 1 =1 3 1 4 1 b ab ， ， 解得 22 4,1ab， 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y； （2）解解 1 当直线l的斜率不存在时，设: l xm，( ,), ( ,) AA A m yB my，此时 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm ，解得2m，此时直线l过椭圆右顶点，不 存在两个交点，故不满足. 当直线l的斜率存在时，设:(1)l ykxt t， 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 2 2 1 4 ykxt x y ， ， 消去 y 得 222 (1 4
5、)8440kxtkxt， 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 例例 2 2 已知椭圆，四点 ，中恰有三点在椭圆 上 (1)求 的方程； (2)设直线 不经过 点且与相交于 两点 若直线与直线 的 斜率的和为 -1，证明： 过定点 3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 22 16(41)kt ， 2 1212 22 841 , 1 41 4 tkt xxx x kk ，此时 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 ()()x kxtxx kxtx x x 21 2 12 (1)()(1)( 8 ) 22 4(1) t
6、xxtkt kk x xt . 由于1t ， 所以 22 22 21 11 P AP B ktk kkk tt ， 即21tk， 此时32(1) t ， 存在1t ，使得0 成立， 所以直线l的方程为(2) 1yk x，直线l必过定点(2, 1). 解解 2 由题意可得直线 2 P A与直线 2 PB的斜率一定存在，不妨设直线 2 P A为1ykx, 则直线 2 PB为11yk x . 由 2 2 1 1 4 ykx x y ， ， 得 22 4180kxkx， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y此时可得： 2 22 81 4 , 41 41 kk A kk ， 同理可得 2 22
7、8 11 4 1 , 4 11 4 11 kk B kk . 此时可求得直线l的斜率为： 2 2 22 21 21 22 14 114 41 4 11 8 18 41 4 11 AB kk k kyy k kxxk k k ，化简可得 2 1 12 AB k k ，此时满足 1 2 k . 当 1 2 k 时，,A B两点重合，不合题意. 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 当 1 2 k 时，直线方程为： 2 222 1814 4141 12 kk yx kk k ， 即 2 2 441 12 kkx y k ，当2x 时，1y ，因此直线恒过定点2
8、, 1. 思路点拨思路点拨 第（1）题只需证明0AC BC.第（2）题要先求圆的方程，令 y=0 即可求出在 y 轴 上弦长.求圆方程可以用标准式方程，也可以用一般式方程.当然，本题还可以利用相交弦定 理来解. 满分解答满分解答 (1) 设 12 ,0 ,0A xB x， 则 12 ,x x是 方 程 2 20 xmx的 根 ， 所 以 1212 ,2xxm x x ，则 1212 ,1,112 110AC BCxxx x . 所以不会能否出现 ACBC 的情况. （2） 解解1 由于过A， B， C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上， 设圆心 00 ,E x y， 则 12 0 22 x
9、xm x . 由EAEC得 22 2 2 1212 100 + 1 22 xxxx xyy ，化简得 12 0 11 22 x x y ，所以圆 E 的方程为 2222 11 1 2222 mm xy . 令0 x得 12 1,2yy ， 所以过A， B， C三点的圆在y轴上截得的弦长为123 . 所以,过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解解 2 由于BC的中点坐标为 2 1 (. ) 2 2 x ，可得BC的中垂线方程为 2 2 1 () 22 x yxx. 由（1）可得 12 xxm ，所以AB的中垂线方程为 2 m x . 例例 3 3 在直角坐标系中，曲线与轴交于两
10、点，点 的坐标为.当变化时，解答下列问题： （1）能否出现的情况？说明理由； （2）证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值. 5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 联立 2 2 2 1 () 22 m x x yx x ， ， 又 2 22 20 xmx， 可得 2 1 2 m x y ， ， 所以过, ,A B C三点的圆的圆心坐标为 1 (,) 22 m ，半径 2+9 2 m r ， 故圆在y轴上截得的弦长为 22 2()3 2 m r ，即过A BC， ，三点的圆在y轴上的截 得的弦长为定值. 解解 3 设圆的方程为 22 0 xyDxEyF， 令
11、0y ，得 2 0 xDxF，由题意,2Dm F ， 把0,1xy代入圆的方程，得10EF，即1E . 故圆的方程为： 22 20 xymxy . 令 0 x ，得 2 20yy ，所以12 1,2yy ，故 12 | |1 ( 2)| 3yy . 所以过, ,A B C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值 3. 解解 4 设过 A， B， C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D， 由 12 2x x 可知原点 O 在圆内， 由相交弦定理可得 12 2OD OCOA OBxx，又1OC ，所以2OD ， 所以，过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为3OCOD，为定值. 思路点拨思路点拨
12、 第（1）题可以直接求出 a、b；第（2）题用参数表示ANBM，可以设 00 ,P x y， 用 00 xy、做参数，也可以设2cos ,sinP， 用做参数. 满分解答满分解答 例例 4 已知椭圆 C： （ab0） 的离心率为 ， A(a,0)， B(0,b)， O（0,0） ，OAB 的面积为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于 点 N.求证：为定值. 6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） (1)由已知， 3 1 ,1 22 c ab a ，又 222 abc
13、，解得2,1,3.abc 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. （2）解解 1 设椭圆上一点 00 ,P x y，则 2 2 0 0 1 4 x y. 由于直线PA的方程： 0 0 2 2 y yx x ,令0 x，得 0 0 2 2 M y y x ， 所以 0 0 2 1 2 y BM x ； 直线PB的方程： 0 0 1 1 y yx x ,令0y ，得 0 0 1 N x x y ， 所以 0 0 2 1 x AN y . 因为 2 2 0 0 1 4 x y，所以 22 00 44xy，从而 00 00 0000 00 22 000000 0000 2 21 12 2222 2
14、1 44484 22 xy ANBM yx xyxy xy xyx yxy x yxy 22 000000 0000 4444484 =4 22 yyx yxy x yxy . 故ANBM为定值. 解解 2 设椭圆 上一点2cos ,sinP，则 直线 PA 的方程: sin 2 2cos2 yx ,令0 x，得 sin 1 cos M y ， 所以 sincos1 1 cos BM ； 直线PB的方程: sin1 1 2cos yx ,令 0y ，得 2cos 1 sin N x ， 所以 2sin2cos2 1 sin AN . 7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题
15、（共 11 页） 2sin2cos2sincos1 1 sin1 cos 22sin2cos2sincos 2 1 sincossincos 4 ANBM 。 故ANBM为定值. 思路点拨思路点拨 第（3）题的两种解法都是转化成某个变量的系数中含有 m，利用 S 是常数与该变量无 关，令该变量系数为 0 得到含有 m 的式子，从而解出 m 的值.这是待定系数法， 是解答这类问题的常用方法. 解答本题思维导图： 满分解答满分解答 （1） 直线 1 l的方程为 11 0y xx y， 则C到 1 l的距离 22 1221 11 |x yx y d xy . O y x D C B A 例例 5 已
16、知椭圆，过原点的两条直线和分别交椭圆于点 、和、.记的面积为. （1）设，.用、的坐标 表示点到的距离，并证明； （2）设，求的值； （3）设和的斜率之积为 m，求 m 的值，使 得无论和如何变动，面积保持不变. O y x D C B A 由已（1）得 选为参数得 选 k 为参数得 令系数为 0，解出 m 的值 平方整理成 k 的方程，待定系 数，解出 m 的值 8 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 因 22 11 |OAxy，所以 1221 11 |. 22 SOA dx yx y 也可以这样求： 11 22 1 1 1 2 001 AOC xy S
17、xy ! 的绝对值 1221 1 |. 2 x yx y （2） 把点 C 的坐标代入上述公式得 S= 122111 13 11 | 2323 x yx yxkx.（*） 由 22 , 21, ykx xy 得 22 (1 2)10kx . 由 1 l和椭圆的交点关于原点对称可知 2 1 2 1 12 x k ，代入（） ，并平方整理得 2 5610kk ，所以1k 或 1 5 k . （）解解 1 因为 12 ll kkm，即 12 12 y y m x x .由 22 11 21xy 得 22 11 12xy ，同理 22 22 12xy .所以 2222 1212 (12) (12)x
18、xyy，即 22 2222 12 1212 2 1 2()4 y y yyy y m ， 从而可得 2222 1212 111 (4) 22 yyy y m . 由（1）可得 22222 12121221 42Sx yx x y yx y 22 2222 12 1221 2 2 (1 2)(1 2) y y yyyy m 22 12 2 112 (2) 22 y y mm . 因S为常数，所以S与m无关，令 2 12 20 2mm 解得 1 2 m . 解解 2 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设 直线的的方程为，联立方程组， 消去解得. 根据对称性，设 1 2 1 , 12 x k 则 1
19、2 12 k y k . 1 lk 2 l k m 1 lkxy 12 22 yx kxy y 2 21 1 k x 9 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） 同理可得， 所以. 设（常数） ，所以 ，所以 . 由于左右两边恒成立，所以只能是， 解得. 思路点拨思路点拨 第(2)题用直线 AB 的斜率 k 和表示OBOAPBPA， 令含有 k 的项系数 为 0，解出. 满分解答满分解答 (1)由已知，点DC,的坐标分别为), 0(), 0(bb，又点P的坐标为) 1 , 0(P，且 1PDPC， 于是 2 2 11 222 2 a c cba b ，解得2,
20、 2ba. 所以椭圆E的方程为1 24 22 yx . 22 2 2mk k x 22 2 2mk m y )2)(21 ( | 2 1 | 2 1 222 2 1221 mkk km yxyxS c mkk km )2)(21 ( | 222 2 )422()( 22242222 mkmkkckm 2)41 (22 22242224 mkmkcmmkk mmc c 2)41 ( 12 22 2 2 1 m 例例 6 如图， 椭圆的离心率为， 点 在短轴上，且. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存 在常数， 使得为定值？若存在， 求的值； 若不存在，
21、请说明理由. 10 用思维导图突破解析几何压轴题 专题 2 定点、定值问题 （共 11 页） (2)当直线AB斜率存在时，可设直线AB方程为1 kxy，BA,的坐标分别为 ),(),( 2211 yxyx. 联立 1 1 24 22 kxy yx ，得024) 12( 22 kxxk，其判别式 0) 12(8)4( 22 kk，所以 12 2 , 12 4 2 21 2 21 k xx k k xx，从而 PBPAOBOA 2121 yyxx 12 (1)(1)yy 2 1212 (1)(1)() 1kx xk xx 2 12 1 12 ) 12()42( 22 2 kk k 所以，当1时，32 12 1 2 k 此时，3PBPAOBOA为定值. 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时 ODOCPBPAOBOAPC PD3. 所以，存在常数1，使得PBPAOBOA为定值3.
