1、1 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 专题专题 05 参数方程与及坐标参数方程与及坐标 训练篇训练篇 B 1.已知曲线 2 :4C xy ，直线:6l x .若对于点( ,0)A m，存在C上的点P和 l 上的点Q使得0APAQ，则m的取值范围为 . 解解 先要设出点P和Q的坐标，然后代入向量等式，用P和Q的坐标（参数）表示 m， 再求其范围. 解解 1 设 3 (2cos ,2sin ), 22 P ，(6Q,)n. 则APAQ(2cos62m,2sin)n=0,即 2cos620, 2sin0. m n 则cosm32,
2、3. 解解 2 由0APAQ得APAQ ，表明点,P Q关于点A对称，设(6, )Qn，则 (26,)Pmn在半圆上，则2260m ，2,3.m 解解 3 设 2 (4, ),(6, )Pyy Qn,由APAQ0得，点A是线段PQ的中点. 故 2 64 2 y m 2 1 31 4 y， 2,2y ，所以2,3m. 2.己知点 P 是椭圆1 925 22 yx 上一动点，点 Q 是圆1) 5( 22 yx上一动点，则 |PQ|的最大值为_. 解解 如图，当点P、 O 、Q 不共线时， 1 PQQOOPQP，因此，要求|PQ|的最大值， 就应该使P O 达到最大，即圆1) 5( 22 yx的圆心
3、 O 到椭圆上的动点 P 之间距离达到最大，将该最大值加半径就得 所求. 先求点5 , 0 O 到椭圆1 925 22 yx 上任一点 P 的距离的最大值. 设sin3 ,cos5P，于是 2 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 2 2 5sin3cos5PO, 25sin30sin9cos25 22 2 PO = 16 1 64 16 15 sin1650sin30sin16 2 2 ， 所以当 16 15 sin时，取最大值 16 1 64，所以P O 取最大值 4 415 ， 于是 4 415 1PQ. 3.在平面直角坐
4、标系xOy中， 已知直线l的参数方程为 8 2 xt t y ， ， （t为参数） ， 曲线C 的参数方程为 2 2 2 2 xs ys ， ， （s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的 最小值. 解解 直线l的普通方程为082 yx，因为点P在曲线C上，设)22 ,2( 2 ssP， 从而点P到直线l的距离 5 4)2(2 )2(1 |8242| 2 22 2 sss d. 当2s时， 5 54 min d. 因此，当点P的坐标为)4 , 4(时，曲线C上的点P到直线l的距离的最小值为 5 54 . 4. 在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 2 3cos ,(
5、sin , xt t yt 为参数，为倾 斜角） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 4sin （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）直线 1 C与 2 C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为(2 3, )，若 2 | |EFPEPF，求直线 1 C的普通方程 分析分析（1）曲线 2 C的极坐标方程为4sin即 2 4 sin，利用互化公式可得普 通方程 3 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B （2）点P的极坐标为(2 3, )，可得直角坐标为( 2 3，0)把直线 1 C的参
6、数方程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为 参 数 ，为 倾 斜 角 ）， 代 入 2 C方 程 可 得 ： 2 (4 3cos4sin)120tt，0，由为锐角可得： 3 sin() 32 ，解得： 0 3 利用根与系数的关系可得： 22 121 2 |()44 4()3 3 EFttt tsin ， 1212 | | | 8|sin()| 3 PEPFtttt ，解出即可得出 解解 （1） 曲线 2 C的极坐标方程为4sin 即 2 4 s i n， 可得普通方程： 22 4xyy （2）点P的极坐标为(2 3, )，可得直角坐标为( 2 3，0) 把直线 1 C的参数方
7、程为 2 3cos ,( sin , xt t yt 为参数，为倾斜角） ，代入 2 C方程可得： 2 (4 3cos4sin)120tt， 由 2 (4 3cos4sin)480， 解得 3 sin() 32 ， 或 3 sin() 32 因为为锐角，所以 3 sin() 32 ，解得 0 3 又由韦达定理可得 12 4 3cos4sintt， 1 2 12t t 由直线参数方程几何意义即得 22 121 2 |()44 4()3 3 EFttt tsin ， 1212 | | | 8|sin()| 3 PEPFtttt ， 2 8 4()38|sin()| 33 sin ，即sin()1
8、3 ，2 6 k ，kZ 因为0 3 ，所以 6 ，从而直线 1 C的参数方程为： 3 2 3 2 1 2 xt yt ，消去 t 得 普通方程：32 30 xy 4 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 5.已知椭圆: 22 22 1 xy ab （0ab）的半焦距为c，原点到经过两点,0c， 0,b的直线的距离为 1 2 c （1）求椭圆的离心率； （2）如图，是圆: 225 21 2 xy的 一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的 方程 解解 （1）过点,0c，0,b的直线方程为0.bxcybc 原点到其距离 22 2 bc
9、bcc d a cb . 因为 22 22abac，所以 3 2 c e a . （2）解解 1 由已知得圆心( 2,1) ，直径|10AB ，由题意直线的斜率存在， 设其方程为(2) 1yk x，由（1）可设椭圆 E 的方程为 222 44xyb. 把直线方程代入椭圆方程，并整理得 2222 (1 4)8 (21)4(21)40.kxkkxkb 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 2 8 (21) 4 14 kk xx k ， 1 2 k ， 那么 22 2 12 2 4(21)4 82 14 kb xxb k . 所以 2 12 |1|ABkxx 22 121 2
10、 1()4kxxx x 22 1 1 ( )164(82)10 2 b. 解得 2 3b ，故所求椭圆方程为 22 1. 123 xy 解解 2 设( , )A x y，因点 A，B 关于点（-2，1）对称，所以点( 4,2)Bxy ，分别代 入椭圆方程 222 44xyb得 5 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 222 44xyb， 222 ( 4)4(2)4xyb . 两式相减得 x-2y+4=0，又点( , )A x y在圆 225 21 2 xy上，联立解得 22, 2 1, 2 x y 或 22, 2 1. 2 x
11、 y 把其中任意一组代入 222 44xyb均得 2=3 b. 故所求椭圆方程为 22 1. 123 xy 解解 3 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 1212 4,2xxyy ，把 A，B 坐标代入椭圆方程 并作差可得 1212 1212 1 4 yyyy xxxx ，即 1 2 AB k，所以直线的方程是 1 (2) 1 2 yx. 把直线的方程代入椭圆方程得 22 4820 xxb . 22 121 2 |1()4ABkxxx x = 22 1 1 ( )164(82)10 2 b， 解得 2 3b ，故所求椭圆方程为 22 1. 123 xy 在圆锥曲线中，知道弦
12、的中点坐标，利用“点差法”就很快可以求出弦所在直线的方程. 本题中一旦求出直线的斜率，再利用弦长公式求 2 b就非常容易. 6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 3 ， 且点) 2 1 , 3(在椭圆C上， （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆1 44 : 2 2 2 2 b y a x E，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线mkxy交椭 圆 E 于BA,两点，射线PO交椭圆 E 于点Q， 求 OP OQ 的值； 6 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 求A
13、BQ面积的最大值. 解解 （1）由题意知 22 31 1 4ab ，又 2 3 22 a ba 解得1, 4 22 ba，所以椭圆的 方程为1 4 2 2 y x . （2）由（1）知椭圆E的方程为1 416 22 yx . 解解 1 设 OP OQ yxP),( 00 ，由题意知 00, yxQ，因为1 4 2 2 0 0 y x .又 1 416 2 0 2 0 yx ，即1 44 2 2 0 2 0 y x .所以2，即2 OP OQ 解解 2 用椭圆的参数方程.设)P(2cos ,sin，则Q(4cos(),2sin()，即 Q( 4cos ), 2sin ).那么 2222 |OQ|
14、16cos4sin2 4cossin2|OP. 解解 3 当 P 为（0，1） （或（0，-1） ）时，点 Q(0,-2)（或 Q(0,2)） ，此时2 OP OQ . 当 P 不在 y 轴上时，设 1122 ( ,)(,)P x kxQ x kx，则 2 22 1 1 1 4 x k x， 222 22 1 164 xk x ，解 得 22 12 22 416 1+41+4 xx kk ，. 于是 2 22 2 1 1 1+| 2 | 1+| OQkxx OPx kx . 解解 1 由知，ABQ面积是AOB面积的 3 倍，因此，只要求AOB面积的最大 值. 设 1122 ,), (,)A x
15、 yB xy（，将mkxy代入椭圆E的方程，可得 0164841 222 mkmxxk. 由0可得 22 164km （*） 7 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 则有 2 2 21 2 21 41 164 , 41 8 k m xx k km xx ，所以 2 22 21 41 4164 k mk xx ， 因为直线mkxy与y轴的交点的坐标为m, 0，所以AOB的面积 12 1 2 Sm xx 2 22 41 4162 k mmk 2 222 41 4162 k mmk 2 2 2 2 4141 42 k m k m .
16、 设t k m 2 2 41 ，将mkxy代入椭圆C的方程，可得 044841 222 mkmxxk. 由0可得 22 41km （*） 由（*） 、 （*）可知10t，因此ttttS4242 2 ，故32S,当且仅 当1t，即 22 41km时取得最大值，由知ABQ的面积为S3. 所以ABQ的面积的最大值为36 注：t的范围不能仅有（*）确定，因直线 AB 还与椭圆C相交，还要得到（*） ，由两者 共同确定t的范围. 解解 2 用椭圆的参数方程.设)A（4cos ,2sin，(4cos ,2sin )B，则 AB 中点 (2 cos2 cos, sinsin)M. 1 S| 4|cos si
17、nsincos| 4|sin()| 2 AOBABBA x yx y . 因为 M 在椭圆内，所以 2 2 cos +2cos +sin +sin1 4 （2） （），即 1 cos( 2 ） -， 于是 8 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 2 1 S4|sin()|=4 1 cos ()4 12 3 4 AOB . 7.已知椭圆33: 22 yxC，过点)0 , 1 (D且不过点) 1 , 2(E的直线与椭圆C交于A，B两 点，直线AE与直线3x交于点M （1）求椭圆C的离心率； （2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率
18、； （3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由 解解 （1）椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y，所以 . 213cba， 所以椭圆C的 离心率. 3 6 a c e （2）因为AB过点)0 , 1 (D且垂直于x轴，所以可设)., 1 (), 1 ( 11 yByA，直线AE的方程 为).2)(1 (1 1 xyy令3x, 得).2 , 3( 1 yM所 以 直 线BM的 斜 率 . 1 13 2 11 yy kBM （3）当直线AB的斜率不存在时，由（2）可知. 1 BM k 因为直线DE的斜率，1 12 01 DE k所以./ DEBM 当直线AB的斜率存在时，设其方程为
19、) 1)(1(kxky. 设，),(),( 2211 yxByxA则直线AE的方程为).2( 2 1 1 1 1 x x y y 令，3x得点), 2 3 , 3( 1 11 x xy M由 ) 1( 33 22 xky yx， 得 . 0336)31 ( 2222 kxkxk 所以. 31 33 31 6 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx ， 9 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 从而直线BM的斜率. 3 2 3 2 2 1 11 x y x xy kBM 所以 )2)(3 )2)(3()2)(1(3
20、) 1( 1- 12 121211 xx xxxxkxxk kBM )2)(3 3)(2)1( 12 2121 xx xxxxk )2)(3 ) 3 31 12 31 33 )(1( 12 2 2 2 2 xx k k k k k 0. 所以 DEBM kk1,所以./ DEBM 综上可知，直线BM与直线DE平行. 8.自1, 1M引直线交抛物线 2 xy 于 21 PP、两点，在 21P P上取一点Q，使 21 MPMQMP、三者的倒数成等差数列，求Q点的轨迹方程. 解解 设l： sin1 cos1 ty tx （为倾斜角，t为参数） 代入 2 xy 中得02sincos2cos2 2 tt
21、 由题意得0cos8sincos2 2 2 即 044 2 tgtg， 解得22 2tg或22 2tg. 设 Q 对应的参数为 Q t，则 Q ttt 211 21 . 由于 21 PQP、在l上位于M的同侧，所以 Q ttt 211 21 ， 所以 cos2sin 42 21 21 tt tt tQ， 由于点 Q(x,y)满足 10 用思维导图突破解析几何压轴题 专题专题 5 5 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 训练篇训练篇 B B 1cos 1sin Q Q xt yt ， ， 即 4 1 tan2 4tan 1. tan2 x y ， 由得 12 1112x, . 将化为普通方程得012 yx 21 , 11 ,21x 注注 过定点作二次曲线的割线，运用直线的参数方程，通过参数来表示线段长度，回避 了距离公式，显得事半功倍.
