1、 - 1 - 2017 2018学年第一学期高三年级期中考试 文科数学试卷 一、 选择题：本大题共 12 小题。每小题 5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 （ 1）已知集合 | 2 4 , | 3 5A x x B x x x? ? ? ? ? 或，则 AB? （ A） |2或 （ C） |2或 （ 2）设复数 z满足 i 3 iz? ? ? ， 则 z = （ A） 12i? （ B） 12i? （ C） 32i? （ D） 32i? (3) 函数 = sin( )y A x? 的部分图像如图所示 ， 则 （ A） 2sin(2 )6yx? （ B） 2sin(2 )3
2、yx?（ C） 2sin( + )6yx? （ D） 2sin( + )3yx?(4) 下面四个条件中，使 ab? 成立的充分而不必要的条件是 A 1ab? B 1ab? C 22ab? D 33ab? (5) 从甲、乙等 5名学生中随机选出 2人，则甲被选中的概率为 （ A） 15 （ B） 25 （ C） 825 （ D） 925 (6) 圆 x2+y2?2x?8y+13=0的圆心到直线 ax+y?1=0的距离为 1，则 a= （ A） ?43（ B） ?34（ C） 3 （ D） 2 (7) 如 下 图，网格纸上小正方形的 边长 为 1，粗实 线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表
3、面积为 （ A） 18 36 5? （ B） 54 18 5? （ C） 90 （ D） 81 - 2 - (8) 执行右面的程序框图，如果输入的 a=4， b=6，那么输出的n= （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 (9) 在下 列区间中，函数 ( ) 4 3xf x e x? ? ?的零点所在的区间为 A 1( ,0)4? B 1(0, )4 C 11( , )42 D 13( , )24 (10) 已知直线 l过抛物线 C的焦点，且与 C的对称轴垂直， l与 C交于 A， B两点， | | 12AB? ，P为 C的准线上一点，则 ABP? 的面积为 A 18 B 24
4、 C 36 D 48 （ 11）在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1内有一个体积为 V的球 .若 AB BC， AB=6， BC=8， AA1=3，则 V的最大值是 （ A） 4 （ B） 92（ C） 6 （ D） 323 (12) 若存在正数x使( ) 1x xa?成立 ， 则a的取值范围是 （ A）( , )?（ B）( 2?（ C）(0, )（ D）( 1, )? ?二填空题：共 4小题 ，每小题 5分 . (13) 设 x， y满足约束条件 2 1 0,2 1 0,1,xyxyx? ? ? ? ?则 z=2x+3y 5的最小值为 _. (14) 在边长为 1的正方形 ABCD 中，
5、 E 为 DC 的中点，则 AEDB? . （ 15） 在 ABC中， 23A ? ， a= 3 c，则 bc =_. - 3 - （ 16） 设双曲线 x2 23y=1的左、右焦点分别为 F1， F2若点 P在双曲线上，且 F1PF2为锐角三角形，则 |PF1|+|PF2|的取值范围是 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） (本小题满分 12 分 ) 已知 an是等差数列， bn是等比数列，且 b2=3， b3=9， a1=b1， a14=b4. （）求 an的通项公式； （）设 cn= an+ bn，求数列 cn的前 n项和 . （ 18） (本小题满分 12
6、 分 ) 如图 (1)， 在直角梯形 ABCD 中 ， AD BC， BAD 2 ， AB BC 12AD a， E是 AD的中点 ， O是AC与 BE 的交点将 ABE沿 BE折起到图 (2)中 A1BE 的位置 ， 得到四棱锥 A1BCDE. （ ） 证明： CD 平 面 A1OC； （ ） 当平面 A1BE 平面 BCDE时 ， 四棱锥 A1BCDE的体积为 36 2， 求 a的值 （ 19）（本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝 5元的价格从农场购进若干 枝 玫瑰花，然后以每枝 10元的价格出售 。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （ ） 若 花店一天购进 17枝玫瑰花，求
7、当天的利润 y(单位：元 )关于当天需求量 n（单位：枝， nN ）的函数解析式。 （ ）花店记 录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （ i） 假设 花店 在这 100 天内每天 购进 17 枝玫瑰花，求 这 100 天的日 利润（单位：元） 的平均数 ； （ ii） 若花店一天购进 17枝玫瑰花， 以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的- 4 - 概率，求当天的利润不少于 75元的概率。 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 221xyab
8、?过点 A（ 2,0）， B（ 0,1）两点 . （ I）求椭圆 C的方程及离心率； （ II）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM的面积为定值 . （ 21）（本小题满分 12 分） 设函数 f(x) ex ax 2. （ I） 求 f(x)的单调区间； （ ） 若 a 1， k为整数，且当 x0时， (x k)f( x) x 10，求 k的最大值 请考生 在 第 2223题中任选一题作答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题计 分 . （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方
9、程 在直线坐标系 xoy中，曲线 C1的参数方程为? ? ?sincos3yx（ ? 为参数） 。以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴 ， 建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22)4sin( ? ? . （ I） 写出 C1的普通方程 和 C2的 直角 坐标方程； （ II） 设点 P在 C1上， 点 Q在 C2上， 求 PQ的最小值及此时 P的直角坐标 . （ 23）（本小题满分 10 分），选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f(x)= 2x-a +a. （ I） 当 a=2时 ， 求不等式 f(x) 6的解集 ； （ II） 设函数 g(x)= 2x-1 .当 x R时， f(x)
10、+g(x) 3，求 a的取值范围 。 - 5 - 文科数学答案 第 卷 一 . 选择题 （ 1）【答案】 C （ 2）【答案】 C (3) 【答案】 A (4) 【答案】 A (5)【答案】 B (6) 【答案】 A (7) 【答案】 B (8) 【答案】 B (9)【答案】 C (10) 【答案】 C (11)【答案】 B (12) 【答案】 D 二填空 题 (13)【答案】 10? (14)【答案】 12? （ 15） 【答案】 1 （ 16）【答案】 (2 7,8) 三、解答题 （ 17） (本小题满分 12 分 ) 解：（ I）等比数列 ?nb 的公比 329 33bq b? ? ?
11、， 所以 21 1bb q?， 4327b bq? 设等差数列 ?na 的公差为 d 因为 111ab?， 14 4 27ab?， 所以 1 13 27d?，即 2d? 所以 21nan?（ 1n? ， 2 ， 3 ， ?） （ II）由（ I）知， 21nan?， 13nnb ? 因此 12 1 3 nn n nc a b n ? ? ? ? ? 从而数列 ?nc 的前 n 项和 ? ? 11 3 2 1 1 3 3 nnSn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 132 1 3nnn? ? 2 312nn ? （ 18） (本小题满分 12分 ) - 6 - 【解析】 解：
12、 (1)证明：在图 (1)中 ， 因为 AB BC 12AD a， E是 AD的中点 ， BAD 2 ， 所以 BE AC. 即在图 (2)中 ， BE A1O， BE OC， 从而 BE 平面 A1OC. 又 CD BE， 所以 CD 平面 A1OC. (2)由已知 ， 平面 A1BE 平面 BCDE， 且平面 A1BE 平面 BCDE BE， 又由 (1)可得 A1O BE， 所以 A1O 平面 BCDE. 即 A1O是四棱锥 A1BCDE的高 由图 (1)知 ， A1O 22 AB 22 a， 平行四边形 BCDE 的面积 S BC AB a2， 从而四棱锥 A1BCDE的体积为 V 1
13、3S A1O 13 a2 22 a 26 a3. 由 26 a3 36 2， 得 a 6. 考点：空间中的线面关系判断 ，几何体的体积 . 【结束】 （ 19） （本小题满分 12 分） （ 20）（本小题满分 12 分） 解：（ I）由题意得， 2a? ， 1b? - 7 - 所以椭圆 C 的方程为 2 2 14x y? 又 22 3c a b? ? ?， 所以离心率 32ce a? （ II）设 ? ?00,xy? （ 0 0x? ， 0 0y? ），则 220044xy? 又 ? ?2,0? ， ? ?0,1? ，所以， 直线 ? 的方程为 ? ?00 22yyxx? 令 0x? ，得
14、002 2yy x? ? ? ，从而 00211 2yy x? ? ? ? ? ? ? 直线 ? 的方程为 001 1yyxx? 令 0y? ，得 00 1xx y? ? ? ，从而 0022 1xx y? ? ? ? ? ? 所以四边形 ? 的面积 12S ? ? ? ? 0021 212 1 2xyyx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?220 0 0 0 0 00 0 0 04 4 4 8 42 2 2x y x y x yx y x y? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 00 0 0 02 2 4 422x y x yx y x y? ? ? ? ? ? 2? 从而四边形
15、 ? 的面积为定值 （ 21）（本小题满分 12 分） 【解析】 解： (1)f(x)的定义域为 ( ， ) ， f( x) ex a. 若 a0 ，则 f( x)0，所以 f(x)在 ( ， ) 上单调递增 - 8 - 若 a0，则当 x ( ， ln a)时， f( x)0， 所以， f(x)在 ( ， ln a)上单调递减，在 (ln a， ) 上单调递增 (2)由于 a 1，所以 (x k)f( x) x 1 (x k)(ex 1) x 1. 故当 x0时， (x k)f( x) x 10等价于 k0) 令 g(x) x 1ex 1 x，则 g( x) xex 1x 2 1ex x x
16、x 2 . 由 (1)知，函数 h(x) ex x 2在 (0， ) 上单调递增而 h(1)0，所以 h(x)在 (0， ) 上存在唯一的零点故 g( x)在 (0， ) 上存在唯一的零点设此零点为 ，则 (1,2) 当 x (0， )时， g( x)0.所以 g(x)在 (0， ) 上的最小值为 g( ) 又由 g( ) 0，可得 e 2，所以 g( ) 1 (2,3) 由于 式等价于 kg( )，故整数 k的最大值为 2. 【结束】 请考生在 22、 23、题中 任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请写清题号 22.（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程
17、 解：（） 1C 的普通方程为 2 2 13x y?， 2C 的直角坐标方程为 40xy? ? ? . 5分 （）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3 cos ,sin )?，因为 2C 是直线，所以 |PQ 的最小值， 即为 P 到 2C 的距离 ()d? 的最小值， | 3 c o s s i n 4 |( ) 2 | s i n ( ) 2 |32d ? ? ? ? ? ?. 8分 当且仅当 2 ( )6k k Z? ? ?时， ()d? 取得最 小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标为 31( , )22 . 10 分 23.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 - 9 - 解：（）当 2a? 时， ( ) | 2 2 | 2f x
