1、 1 2018届高三上学期期中考试 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设 Rx? ， i 为虚数单位，且ixi ? 111，则 ?x （ ） A 1 B 1 C 2D 2 2.设集合 7| 2 xxxA ? ， 1725| ? xxB ，则 BA? 中整数元素的个数为 （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 3.已知向量 ),1( xa? ， )4,(xb? ，则 2?x 是“ a 与 b 反向”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不
2、充分也不必要条件 4.中国古 代数学名著九章算术中有这样一个问题 :今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰 :“我羊食半马 .”马主曰 :“我马食半牛 .”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是 :今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5斗粟 .羊主人说 :“我羊所吃的禾苗只有马的一半 .”马主人说 :“我马所吃的禾苗只有牛的一半 .”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还 a 升， b 升， c 升， 1斗为 10升，则下列判断正确的是 （ ） A a ， b ， c 依次成公比为 2的等比数列，且750?aB a ， b ， c 依次成公比为 2的
3、等比数列，且750?cC.a ， b ， c 依次成公比为 21 的等比数列，且750?aD a ， b ， c 依次成公比为 21 的等比数列，且750?a5.若函数 1)1()( 2 ? xaexf x 在（ 0， 1）上递减，则 a 取值范围是 （ ） A ),12( 2 ?e B ),12 2 ?e C. ),1( 2 ?e D ),1 2 ?e 6.某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的2 体积为 212 ，则该几何体的表面积为 （ ） A 36 B 42 C. 48D 64 7.定义在 R 上的奇函数 xaxf xx sin422)( ? ?
4、 的一个零点所在区间为 （ ） A )0,(a? B ),0(a C. )3,(a D )3,3( ?a 8.设变量 x ， y 满足约束条件?2303010yxxxyx，则 yxz ? 的取值范围为 （ ） A 2， 6 B（， 10 C.2， 10 D（， 6 9.在四棱锥 ABCDP? 中，已知异面直线 PB 与 AD 所成的角为 ?60 ，给出下面三个命题， 1p :若 2?AB ， 则此四棱锥的侧面积为 344? ； 2p :若 E ， F 分别为 PC ， AD 的中点，则 EF /平面 PAB ； 3p ：若 P ， A ， B ， C ， D 都在球的表面上，则球的表面积是四边
5、形面积的倍 .在下列明天中，为真命题的是 （ ） A 32 pp? B )( 21 pp ? C. 31 pp? D )( 32 pp ? 10.设 a ， ),1()1,0( ? ?b ，定义运算：? ? baa babba ba ,log ,log，则 （ ） A 2)84(4)82(8)42( ? B 4)82(2)84()42(8 ? C. )42(84)82(2)84( ? D 4)82(8)42(2)84( ? 11.设 nS 为数列 ?na 的前项 n 和， )2(232 11 ? ? naa nnn ，且 1 23 aa? .记 nT 为数列? ? nn Sa 1的前 n 项和
6、，若 ? Nn ， mTn? ，则 m 的最小值为 （ ） A31B 21 C.32 D 1 12.当 0?x 时， )1ln(1 ? xaxxex恒成立，则 a 的取值范围为 （ ） 3 A 1,(? B ,( e? C. 1,(e? D 0,(? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分， 满分 20分，将答案填在答题纸上） 13.设向量 a ， b 满足 2| ?ba ， 5| 22 ? ba 则 ?ba 14.函数 xxf 44)( ? 的值域为 15.若函数 )2|,0)(si n ()( ? ? xxf 的图象相邻的两个对称中心为 )0,65(?， )0,61(，将)(xf
7、的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 21 ，得到 )(xg 的图象，则?)(xg 16.如图，在四棱锥 ABCDE? 中， ?EC 底面 ABCD ， ECEF/ ，底面 ABCD 为矩形， G 为线段 AB 的中点， DGCG? ， 2?CD ， CEDF? ， BE 与底面 ABCD 所成角为 ?45 ，则四棱锥 ABCDE? 与 三棱锥 CDGF? 的公共部分的体积为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 ABC? 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 Aca cos2? ， 1sin5 ?A
8、 . （ 1）求 Csin ； （ 2）求cb. 18. 设 nS 为数列 ?na 的前项 n 和， 2nSn? ，数列 ?nb 满足 32 ab? ， 21 ? nn bb . （ 1）求 na 及 nb ； （ 2）记 ?n 表示 n 的个位数字，如 =4，求数列? ? nn ba 1的前 20 项和 . 19. 已知向量 )1,sin2( xa? ， )1),6cos(2( ? xb，函数 Rxbaxf ? ，)( . （ 1）若 2?a ， )0,( ?x ，求 x ； 4 （ 2）求 )(xf 在 )2,0 ? 上的值域； （ 3）将 )(xf 的图象向左平移 6? 个单位得到 )(
9、xg 的图象，设 xxxgxh 2)1()( 2 ? ，判断 )(xh 的图象是否关于直线 1?x 对称，请说明理由 . 20. 如图 ,在三棱锥 ACDP? 中 , BDAB 3? , ?PB 底面 ACD ， ADBC? ， 10?AC ，5?PC ，且 102cos ?ACP . （ 1）若 E 为 AC 上一点，且 ACEF? ，证明：平面 ?PBE 平面 PAC . （ 2）求二面角 DPCA ? 的余弦值 . 21. 已知函数 axxxf ? 3)( 3 的图象与 x 轴相切，且切点在 x 轴的正半轴上 . （ 1） 求曲线 )(xfy? 与 y 轴，直线 1?x 及 x 轴围成图
10、形的面积 S ； （ 2） 若函数 mxxfxg ? )()( 在 ),3( a? 上的极小值不大于 1?m ，求 m 的取值范围 . 22. 已知函数 xxf ln)( ? ， )1()1()( ? xfxfxF . （ 1） 当 ?Nx 时，比较 ?ni iF1 )2(3与 31)12(31 3 ?n 的大小； （ 2） 设 )1)()()(21 eaaexxgxf ax ? ?，若函数 )(xg 在 ),0( ? 上的最小值为21ae?，求 a 的值 . 5 试卷答案 一 、选择题 1-5:BBCDB 6-10:CCDAB 11、 12： AA 二、填空题 13. 21? 14. )2,
11、0 15. )62sin( ? ?x 16.92 三、解答题 17.解：（ 1） Aca cos2? ， ACA cossin2sin ? ， 0sin2tan ? CA . 1sin5 ?A? ， ACA cossin2sin ? ， 21tan ? A ，从而 41sin ?C . （ 2） AC s in5141s in ?， C? 为锐角， 415cos ?C ， 20 3552415241551s i nc o sc o ss i n)s i n (s i n ? CACACAB， 5 3552s ins in ? CBcb . 18. 解：（ 1）当 2?n 时， 121 ? ?
12、nSSa nnn ， 由于 111 ?Sa 也满足 12 ? nan ，则 12 ? nan . 532 ?ab? ， 21 ? nn bb ， 31?b ，是首项为 3，公差 为 2的等差数列， 12 ? nbn . （ 2） 12 ? nan? ， ? ?na? 的前 5项依次为 1， 3,5,7,9. 12 ? nbn? ， ? ?nb? 的前 5项依次为 3,5,7,9， 1. 6 易知，数列 ? ?na 与 ? ?nb 的周期均为 5， ? ?nn ba1 的前 20 项和为 )19 197 175 153 131 1(4 ? 920)919821(491)9171715151313
13、11(214 ? . 19. 解：（ 1） 21s in4 2 ? xa? ， 41sin2 ? x ， 21sin ?x . 又 )0,( ?x ， 6?x 或 65? . （ 2） 1)s i n21c o s23(s i n41)6c o s (s i n4)( ? xxxxxxf ? )62s i n (21)2c o s1(2s i n31s i n22s i n3 2 ? xxxxx . )2,0 ?x? , 67,662 ? ? x , 1,21()62sin ( ? ?x , 故 )(xf 在 )2,0 ? 上的值域为 2,1(? . （ 3） xxxfx 2c o s2)22
14、s in (2)6()(g ? ? ， 1)1()22c o s ()( 2 ? xxxh . )(1)1()22c o s (1)1()22c o s ()2( 22 xhxxxxxh ? ， )(xh? 的图象关于直线 1?x 对称 . 20. （ 1）证明：由 ?PB 底面 ACD ，得 ACPB? . 又 ACBE? ， BPBBE ? ，故 ?AC 平面 PBE . ?AC 平面 PAC ，平面 ?PBE 平面 PAC . （ 2）解： 1310 225215c o s2222 ? A C PPCACPCACAP? ， 7 13?AP ，则?21313510222222PBBCABP
15、BABPBBCBCAB，以 B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzB? ， 则 ），（ 0,3-0A ， )0,0,1(C ， )2,0,0(P ， )0,1,0(D ， )2,0,1( ?PC ， )031( ，?AC ， )011( ，?CD . 设 ),( 111 zyxn? 是平面 PCD 的法向量，则? ? 00CDm PCm，即? ? 03 021111 yx zx 令 61?x ，得 )3,2,6( ?n 设 ),( 222 zyxm ? 是平面 PCD 的法向量，则 ? ? 00CDm PCm，即，? ? 0022222 yx zx 令 22?x ，得 )1,2,
16、2(?m . 211173 11,c o s ? nm nmnm由图可知，二面角 DPCA ? 为钝角，故二面角 DPCA ? 的余弦值为 2111? . 21. 解：（ 1） 33)( 2 ? xxf? ， 0)( ? xf 得 1?x ， 由题意可得 02)1( ?af ，解得 2?a . 8 故 23)( 3 ? xxxf ， 4322341)22341()( 102410 ? ? xxxdxxfS. （ 2） 2)3(23)( 33 ? xmxmxxxxf ， 33)( 2 ? mxxg 当 03?m 时， )(xg 无极值； 当 03?m ，即 3?m 时，令 0)( ?xg 得33
17、33 mxm ?； 令 0)( ?xg 得33 mx ?或 .33 mx ?)(xg? 在 33 mx ? 处取得极小值， 当 233 ?m，即 9?m ， )(xg 在（ -3,2）上无极小值， 故当 39 ? m 时， )(xg 在（ -3,2）上有极小值 且极小值为 12)333(33)33( ? mmmmmg， 即 3333 )3(2 ? mmm. 3?m? ， 2333 ? m ， 415?m . 又 39 ? m ，故 415,9( ?m . 22. 解：（ 1） )12l n ()12 12573513l n ()2()6()4()2()2(3 1 ? nnnnFFFFiFni
18、?， 构造函数 )3)(1(31ln3)( 3 ? xxxxh，xxxxxh 32 33)( ?， 当 3?x 时， 0)( ?xh ， )(xh? 在 ),3? 上单调递减 . 03193ln3)3()( ? hxh ， 故当 )(12 ? Nnnx 时， 01)12(31)12ln (3 3 ? nn， 即 1)12(31)12ln (3 3 ? nn，即31)12(31)2(3 31 ? niFni. 9 （ 2）由题得 xaxxexg ax ln)( 1 ? ? ，则 )1)(1(1)( 111xeaxxaa x eexg axaxax ? ?， 由 011 ?xeax得到x xa ln1?，设x xxp ln1)( ?，2 2ln)( xxxp ?. 当 2ex? 时， 0)( ?xp ；当 20 ex? 时， 0)( ?xp . 从而 )(xp 在 ),0( 2e 上递减，在 ),( 2?e 上递增 .22m in 1)()( eepx
