1、 1 输出 k结束 开始 0, 0Sk?1SSk?2kk?1112S?否 是 东城区 2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学 （理科） 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题（共 8小题 ， 每小题 5分 ， 共 40分 ， 在每小题 给 出的四个选项中 ，选出符合 题目要求的一项。） （ 1）已知集合 | ( 1)( 3 ) 0A x x x? ? ? ?， | 2 4B x x? ? ?，则 AB? （ A） |1 3xx
2、? （ B） |1 4xx? （ C） | 2 3xx? （ D） | 2 4xx? （ 2）抛物线 2 2yx? 的准线方程是 （ A） 1y? （ B） 12y? （ C） 1x? （ D） 12x? （ 3）“ 1k ? ”是“直线 3 2 0kx y? ? ?与圆 229xy?相切”的 （ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 （ 4）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为 （ A） 6 （ B） 8 （ C） 10 （ D） 12 （ 5） 已知 ,xy?R ，且 0xy?，则 （ A） tan tan 0xy?
3、 （ B） sin sin 0x x y y? （ C） ln ln 0xy? （ D） 2 2 0xy? 2 正（主）视图 1 12俯视图 2侧（左）视图 （ 6） 已知 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且在 0, )? 上是增函数，则 ( 1) 0fx?的解集为 （ A） ( , 1? （ B） ( ,1? （ C） 1, )? ? （ D） 1, )? （ 7）某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 （ A） 23 （ B） 43 （ C） 2 （ D） 83 （ 8）数列 na 表示第 n 天午时 某种细菌的数量 细菌在理想条件下第 n 天的日增长率0.6nr? ( *1nn
4、nnaarna? ?N， ) 当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率 nr 会发生变化 下 图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律 那么，对这种细菌在实际条件下日增长率 nr 的规律描述正确的是 3 第二部分 （非 选择题 共 110 分） 二、填空 题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 （ 9）若复数 (2 i)( 2i)a?是纯虚数，则实数 a? （ 10） 若 ,xy满足 2 0,0,3 4 0,xxyxy? ? ?则 2xy? 的最大值为 （ 11） 若点 (2,0)P 到双曲线 2 22 1( 0)x yaa ? ? ?的一条渐近线的距离为 1，则 a
5、? _ （ 12） 在 ABC 中 ， 若 2AB? ， 3AC? ， 60A? ，则 BC? ； 若 AD BC? ，则AD? _ （ 13）在 ABC 所在平面内一点 P ，满足 2155AP AB AC?，延长 BP 交 AC 于点 D ，若AD AC? ，则 ? _ （ 14） 关于 x 的方程 ( ) ( )g x t t?R 的实根个数记为 ()ft 若 ( ) lng x x? ，则 ()ft =_；若2, 0 ,() 2 , 0 ,xxgx x a x a x? ? ? ? ? ()a?R，存在 t 使得 ( 2) ( )f t f t? 成立，则 a 的取值范围是_ 4 三、
6、解答题（共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。） （ 15）（本小题 13分） 已知 na 是等比 数列 ，满足 1 3a? ， 4 24a? ，数列 nnab? 是首项为 4 ，公差为 1的等差数列 （）求数列 na 和 nb 的通项公式； （）求数列 nb 的前 n 项和 （ 16）（本小题 13分） 已知函数 ( ) 2 s i n ( 2 ) ( | | )2f x x ? ? ? ?部分图象如图所 示 （）求 ()fx的最小正周期及图 中 0x 的值； （）求 ()fx在区间 0, 2? 上的最大值和最小值 o xy10x25 EPCA BD（ 17） （本
7、小题 14分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD ? 平面 ABCD ， 1BC? ，2AB? ， 2PC PD?， E 为 PA 中点 （）求 证： PC 平面 BED ； （）求 二面角 A PC D?的 余弦值 ； （）在棱 PC 上 是否存在点 M ，使得 BM? AC ？若存在，求 PMPC 的值；若不存在，说明理由 （ 18）（本小题 13分） 设函数 ( ) ln ( 1 ) ( )1axf x x ax? ? ? ? R （）若 (0)f 为 ()fx的极小值，求 a 的值； （）若 ( ) 0fx? 对 (0, )x? ? 恒成立，求
8、a 的最大值 6 （ 19）（本小题 14分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?经过点 (2,0)M ，离心率为 12 ,AB是椭圆 C 上两点，且直线 ,OAOB 的斜率之积为 34? ， O 为坐标原点 （） 求椭圆 C 的方程； （）若射线 OA上的点 P 满足 | | 3| |PO OA? ，且 PB 与椭圆交于点 Q ，求 |BPBQ的值 （ 20）（本小题 13分） 已知集合 12 ( , , , ) | 1 ,1 ( 1 , 2 , , ) n n iA x x x x i n? ? ? ?L L L , nxy A? ， 12( , )nx x x
9、 x? ,L ， 12( , , , )ny y y y? L ，其中 1,1iixy?, ( 1,2, , )in? 定义 1 1 2 2 nnx y x y x y x y? ? ? ?eL若 0xy?e ，则称 与 正交 （）若 (1,1,1,1)x? ，写出 4A 中与 x 正交的所有元素； （）令 | , nB x y x y A?e 若 mB? ，证明： mn? 为偶数； （）若 nAA? ，且 A 中任意两个元素均正交，分别求出 8,14n? 时， A 中最多可以有多少个元素 7 东城区 2016-2017学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （ 理科） 一、
10、选择题（共 8小题，每小题 5分，共 40分） （ 1） C （ 2） D （ 3） A （ 4） B （ 5） D （ 6） C （ 7） B （ 8） B 二、填空题（共 6小题，每小题 5分，共 30分） （ 9） 1? （ 10） 6 （ 11） 3 （ 12） 7 ， 7213 （ 13） 13 （ 14） 1， (1, )? 三、解答题（共 6小题，共 80分） （ 15） （共 13分） 解：（） 设等比数列 ?na 的公比为 q 由题意，得 3 41 8aq a?， 2q? 所以 111 32nnna a q ? ? ?( 1,2, )n? ? 3分 又 数列 nnab? 是首
11、项为 4 ，公差为 1的等差数列， 所以 4 ( 1) 1nna b n? ? ? ? ? 从而 1( 3) 3 2 nnbn ? ? ? ?( 1,2, )n? ? 6分 （）由（）知 1( 3) 3 2 nnbn ? ? ? ?( 1,2, )n? 数列 3n? 的前 n 项和为 ( 7)2nn? ? 9分 数列 132 n? 的前 n 项和为 3(1 2 ) 3 2 312n n? ? ? ? ? 12 分 所以，数列 nb 的前 n 项和为 ( 7 ) 3 2 32 nnn? ? ? ? ? 13分 （ 16） （共 13分） 解：（ ）由题意 22T ? ? ， T? ? 2分 因为
12、点 (0,1) 在 ( ) 2 sin(2 )f x x ?图象上， 所以 2 sin(2 0 )=1? 又因为 |2? ? ， 8 MGFEPO CABDyzx所以 6? ? ? 4分 所以0 76x ? ? 6 分 （ ）由（ ）知 ( ) 2 sin(2 )6f x x ?， 因为 0 2x ? ，所以 26 6 6x? ? ? ? ? 当 2 62x ? ，即 6x ? 时， ()fx取得最大值 2 ； 当 2 66x ? ? ，即 2x ? 时， ()fx取得最小值 1? ? 13分 （ 17） （共 14分） 解 ： （）设 AC 与 BD 的交点为 F ，连结 EF 因为 ABC
13、D 为矩形，所以 F 为 AC 的中点 在 PAC 中，由已知 E 为 PA 中点， 所以 EF PC 又 EF? 平面 BED ， PC? 平面 BED ， 所以 PC 平面 BED ? 5分 （）取 CD 中点 O ，连结 PO 因为 PCD 是等腰三角形， O 为 CD 的中点， 所以 PO CD? 又因为平面 PCD ? 平面 ABCD ， PO? 平面 PCD ， 所以 PO? 平面 ABCD 取 AB 中点 G ，连结 OG ， 由题设知四边形 ABCD 为矩形， 所以 OF CD? 所以 PO OG? ? 1分 如图建立 空间直角坐标系 O xyz? ， 则 (1, 1,0)A
14、? ， (0,1,0)C ， (0,0,1)P ， (0, 1,0)D ? ， (1,1,0)B ， (0,0,0)O ， (1,0,0)G ( 1,2,0)AC ? ， (0,1, 1)PC? 9 设平面 PAC 的 法向量为 ( , , )x y z?n ， 则 0,0,ACPC? ?nn， 即 2 0,0.xyyz? ?令 1z? ， 则 1y? ， 2x? 所以 (2,1,1)?n 平面 PCD 的 法向量 为 (1,0,0)OG? 设 ,OGn 的 夹角为 ? ，所以 6cos 3? 由图可知 二面角 A PC D?为锐角， 所以 二面角 A PC B?的 余弦值为 63 ? 10分
15、 （）设 M 是棱 PC 上一点，则存在 0,1? 使得 PM PC? 因此点 (0, ,1 )M ? ， ( 1, 1,1 )BM ? ? ? ?， ( 1,2,0)AC ? 由 BM? 0AC? ，即 12? 因为 1 0,12? ，所以在棱 PC 上存在点 M ，使得 BM? AC 此时， 12PMPC ? ? 14分 （ 18） （共 14分） 解：（） ()fx的定义域为 ( 1, )? ? 因为 ( ) ln ( 1) 1axf x x x? ? ? ?， 所以21( ) 1 ( 1)afx xx? 因为 (0)f 为 ()fx的极小值， 所以 (0) 0f ? ，即21 00 1
16、 (0 1)a? 所以 1a? 此时，2( ) ( 1)xfx x? ? 当 ( 1,0)x? 时， ( ) 0fx? ， ()fx单调递减； 当 (0, )x? ? 时， ( ) 0fx? ， ()fx单调递增 10 所以 ()fx在 0x? 处取得极小值， 所以 1a? ? 5分 （）由（）知当 1a? 时， ()fx在 0, )? 上为单调递增函数， 所以 ( ) (0) 0f x f?， 所以 ( ) 0fx? 对 (0, )x? ? 恒成立 因此，当 1a? 时， ( ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) 011a x xf x x xxx? ? ? ? ? ? ?， ( ) 0fx? 对 (0, )x? ? 恒成立 当 1a? 时，221 ( 1 )( ) 1 ( 1 ) ( 1 )a x afx x x x? ? ? ? ?， 所以，当 (0, 1)xa?时， ( ) 0fx? ，因为 ()fx在 0, 1)a? 上单调递减， 所以 ( 1) (0) 0f a f? ? ? 所以当 1a? 时， ( ) 0fx? 并非对 (0, )x? ? 恒成立 综上， a 的最大值
