1、 1 2015 2016 学年第一学期期中考 高三数学（理科）试卷 班级 姓名 座号 考号 一、选择题： （ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1设命题 p ： n?N ， 2 2nn? ，则 p? 为（ ） A n?N ， 2 2nn? B n?N ， 2 2nn? C n?N ， 2 2nn? D n?N ， 2 2nn? 2已 知集合 2 0 log 2A x x? ? ?， 3 2, xB y y x? ? ? ? R，则 AB等于（ ） A 1 2xx? B 2 4xx? C 1 4xx? D 4xx? 3 函数
2、 2( ) cos 2f x x? 的周期为（ ） A4?B2?C ? D 2? 4设集合 A x x a?， 3B xx?，则 “ 3a? ” 是 “ AB? ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 锐角三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 的对应边为 a ， b ， c 若 2 sinb a B? ，则 A? （ ） A 30 B 45 C 60 D 120 6已知 3( ) 4f x ax bx? ? ?，若 (2) 6f ? ，则 ( 2)f ?（ ） A 14 B 14? C 6? D 10 7函数 2( ) lnf x x
3、 x? 的图象大致是（ ） oyxyxOoyxyxOA B C D 8曲线 2 1xye?在点 (0,2) 处的切线与直线 0y? 和 yx? 围成的三角形 的面积为（ ） A 13B 12C 23D 1 9下列函数中，既是奇函数，又在区间 (1, )? 内是增函数的是（ ） 2 A cos2yx? B2xxeey ?C 2logyx? D 3 12yxx? ?10已知 ? ， ? 都是锐角， 3cos5?， 5cos( )13? ?，则 cos? 的值为（ ） A 1665B 5665C 3365D 6365?11已知函数 1 , 0,()2 , 0.xexfxxx? ? ?若 ()f x
4、ax? ，则实数 a 的取值范围为（ ） A 2,0? B 1,0? C ( ,0? D ( , 1? 12单位圆 O 的内接四边形 ABCD 中， 2AC? ， 60BAD?，则四边形 ABCD 的面积的取值范围为（ ） A 3(0, )2B (0, 3 C 3( , 3)2D 3( , 32二、填空题 ：（ 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ） 13函数 1( ) 2 1xf x a ?（ 0a? 且 1a? ）的图象恒过定点 14设20lg , 0,(), 0.axxfxx t dt x? ? ?若 (1) 9ff? ，则 a? 15设 1,2ab?，现有下列命题： 若
5、1ba?，则 111ab?； 若 1ba?，则 1ab?； 若 1ba?，则 22log log 1ab?； 若 1ba?，则 11122ab? 其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 16设函数 ()fx是奇函数 ( )( )f x x?R 的导函数， ( 1) 0f ? ，当 0x? 时， ( ) ( ) 0xf x f x?，则使得 ( ) 0fx? 成立的 x 的取值范围为 三、解答题： （ 本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 ） 17（本小题满分 10 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，3ABC ?，6ADC ?， 7AC? ，BCD?
6、 的面积为 3 （ ）求 AB 的长； （ ）若函数 ( ) sin( )f x M x?（ 0M? ， 0? ，2?）的图象经过 A ， B ， C 三点，其中 A ， B 是D OBCAxy3 ()fx图象与 x 轴相邻的两个交点，求 ()fx的解析式 18（本小题满分 12 分）设 2( ) ( 5) 6 lnf x a x x? ? ?，其中 a?R ，曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f处的切线与 y 轴交于点 (0,6) （ ）确定 a 的值； （ ）求函数 ()fx的单调区间与极值 19（本小题满分 12 分）如图，在 Rt ABC? 中，2ACB ?， 3AC? ，
7、2BC? ， P 是 ABC?内的一点 （ ）若 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点，求 PA 的长； （ ）若 23BPC ?，设 PCB ?，求 PBC? 的面积 ()S? 的解析式，并求 ()S? 的最大值 20（本小题满分 12 分）已知函数 2( ) log ( 2 3)af x x x? ? ?，其中 0a? ，且 1a? 当 0,3x?时，恒有 ( ) 1fx? ，求实数 a 的取值范围 21（本小题满分 12 分） 设 函数 () nnf x x bx c? ? ?（ n ?N ， ,bc?R ） （ ） 设 2n? ， 1b? ， 1c? ，证明： ()nfx在区间 1
8、( ,1)2内存在唯一的零点 ； （ ） 设 2n? ，若对于任意 12, 1,1xx? ，有 2 1 2 2( ) ( ) 4f x f x?，求 b 的取值范围 BPCA4 22（本小题满分 12 分）已知函数 ? ? exfx? ，记 p ： x?R ， e1x kx? （ ）求函数 ?fx的图象在点 ? ? ?0, 0Pf 处的切线的方程； （ ）若 p 为真，求实数 k 的取值范围； （ ）若 x 表示不大于 x 的最大整数，试证明不等式 *11ln ( )n nnn? ?N，并求1 1 1 11 0 1 1 1 2 1 0 0S ? ? ? ? ?的值 5 福建师大二附中 2015
9、 2016 学年 第一学期期中考 高三数学（理科）答案卷 一、选择题 (60 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题 (20 分 ) 13 ； 14 ； 15 ； 16 三、解答题 (70 分 ) 17（本小题满分 10 分） D OBCAxy18（本小题满分 12 分） 班级姓名座号准考号-密-封-线- 6 19（本小题满分 12 分） BPCA20（本小题满分 12 分） -密-封-线- 7 21（本小题满分 12 分） 22（本小题满分 12 分） 8 福建师大二附中 2015 2016 学年 第一学期期中考 高三数学（理科）试卷答案 一、选择题 (60
10、 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B A A B D A B C B D 二、填空题 （ 20 分 ） 13 （ 1,3） ； 14 3 ； 15 ； 16 1 0 1x x x? ? ? ?或 三、解答题 （ 70 分 ） 17解：（）因为3ABC ?，6ADC ?，所以6BCD ?， 23CBD ?， BC BD? 法一：又因为 BCD? 的面积为 3 ，所以 21 2 3s in 32 3 4B C DS B D B C B C? ? ? ? ? ?， 所以 2BC? 在 ABC? 中， 7AC? ，3ABC ?， 由余弦定理得： 2 2 2 2 c
11、 o s3A C A B B C A B B C ? ? ? ? ?，即 22 17 4 2 22A B A B? ? ? ? ?， 整理得 2 2 3 0AB AB? ? ?所以 3AB? 或 1AB? （舍去），所以 AB 的长为 3 法二：在 BOC? 中， 3sin32C O BC BC? ? ?， 1cos32BO BC BC? ? ? 又因为 BCD? 的面积为 3 ，所以 213 324B C DS B D C O B C? ? ? ? ?， 所以 2BD BC?，故 3CO? ， 1BO? 直角三角形 AOC 中， 22 2OA AC CO? ? ? 故 3AB BO OA?
12、? ? （）由（）可知， (2,0)A ， ( 1,0)B? ， (0, 3)C 因为函数 ( ) sin( )f x M x?的图象经过 A ， B ， C 三点，其中 A ， B 是 ()fx图象与 x 轴相邻的两个交点，所以函数 ()fx的半个周期为 32T?，对称轴为 12x?所以 26T ? 因为 0? ，所以3?，所以 12 3 2 k? ? ? ?（ k?Z ），所以3 k?（ k?Z ） 又因为2?，所以3?，所以 ( ) sin( )33f x M x? 又因为 3(0 ) sin 332f M M? ? ?， 9 yxACPB所以 2M? ，从而函数 ()fx的解析式为 (
13、 ) 2 sin( )33f x x? 18 解：（）因为 2( ) ( 5) 6 lnf x a x x? ? ?，所以 6( ) 2 ( 5)f x a xx? ? ? 令 1x? ，可得 (1) 16fa? ， (1) 8 6fa? ? ， 所以曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程为： 16 ( 8 6)( 1)y a a x? ? ? ? ? 由点 (0,6) 在切线上可得 6 16 8 6aa? ? ? ，故 12a? （）由 （）可知， 21( ) ( 5) 6 ln2f x x x? ? ?（ 0x? ）， 6 ( 2)( 3)( ) 5 xxf x xx
14、x? ? ? ? 令 ( ) 0fx? ，可得 1 2x? ， 2 3x? 当 x 变化时， ()fx， ()fx的变化情况如下表所示： x (0,2) 2 (2,3) 3 (3, )? ()fx + 0 ? 0 + ()fx 极大值 极小值 所以函数 ()fx在区间 (0,2) 上单调递增，在区间 (2,3) 上单调递减，在区间 (3, )? 上单调递增 由 此 可 知 ， ()fx 在 2x? 处 取 得 极 大 值 9(2) 6ln22f ?，在 3x? 处 取 得 极 小 值(3) 2 6ln3f ? 19 解： （）解法一：因为 P 是等腰直角三角形 PBC 的直角顶点，且 2BC?
15、 ，所以4PCB ?， 2PC? 又2ACB ?， 则4ACP ? 在 PAC? 中，由余弦定理得 2 2 2 32 c o s 9 2 2 3 3 543P A A C P C A C P C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故 5PA? 解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有 (0,0)C ， (2,0)B ， (0,3)A 因为 PBC? 是等腰直角三角形，2ACB ?，所以4ACP ?，4PBC ?，所以直线 PC 的方程为 yx? ，直线 PB 的方程为 2yx? ? 联立 ,2yx? ? ?可得 (1,1)P ，故 22(1 0 ) (1 3) 5PA ? ? ?
16、 ? ? 10 （）在 PBC? 中， 23BPC ?， PCB ?，所以3PBC ? ? ? ? 由正弦定理可得： 22 sinsin sin ( )33P B P C? ? ?， 故 43sin3PB ?， 43sin( )33PC ? ? 所以 PBC? 的面积为： 21 2 4 3( ) sin sin( ) sin2 3 3 34 3 3 1( c os sin ) sin3 2 2232 c os sin sin333sin 2 c os 2332 3 3sin( 2 )3 6 3S P B P C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 (0, )3?，故 52 ( , )6 6 6? ? ? ?， 从而当6?时， ()S? 取到最大值，且最大值为 33 20解：（ 1）当 01a?时，由题意知， 当 0,3x? 时，恒有 ( ) 1fx? ， 即当 0,3x? 时， 21lo g ( 2 3 ) 1 lo gaax x a ? ? ?
