1、 - 1 - 2017-2018 学年上学期期中试卷 高三数学（文科）试题 （考试时间： 120分钟 总分： 150分） 第 卷（选择题 60分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 ? ?6,4,2,0?P ，集合 3| ? xNxQ ，则 ?QP （ ） A ?2 B ?2,0 C ? ?6,4,3,2,1,0 D ? ?6,4,3,2,1 2.i 为虚数单位，复数 11?iiz 的虚部为（ ） A 1 B 0 C i D 以上都不对 3.已知双曲 线 22 1( )0, 0xy a b
2、ab ? ?的渐近线方程为 33yx?，若顶点到渐近线的距 离为3 ， 则双曲线的方程为 （ ） A 223 144xy?B 22112 4xy?C 2214 12xy?D 223 144xy?4.已知 |2a? ， 2a b a? ，则 b 在 a 方向上的投影为 （ ） A. 4? B. 2? C.2 D.4 5.已知等比数列 na 的首项为 1a ，公比为 q ，满 足 1()10aq? 且 0q? ，则 （ ） A.na 的各项均为正数 B.na 的各项均为负数 C.na 为递增数列 D.na 为递减数列 6.函数 2 |lny x x? 的图像大致为 （ ） A. B. C. D.
3、x y O 1? 1 x y O 1? 1 xy O 1? 1 x y O 1? 1 - 2 - 7. 已知点 P的坐标（ x， y）满足 ，过点 P的直线 l与圆 C： x2+y2=16 相交于 A， B两点，则 |AB|的最小值为（ ） A B C D 8.如图给出的是计算 1 1 113 5 2017? ? ? ?的值的一个程序框 图，则判断框内可以填 入 的条件是（ ） A 1008?i? B 1009?i? C 1010?i? D 1011?i? 9.设函数 ? ? cos 2 3 sin 2f x x x?， 把 ? ?y f x? 的图象向左平移2?个单位后，得到的部分图象如图所
4、示，则 ?f? 的值等于 （ ） A 3? B 3 C 1? D 1 10.如图，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 （ ） A 8 23 ?B 4 4 2 3? C 8 4 2 3? D 10 4 2 2? 11. 已知 数列 ?na 是等 差数列，其前 n 项和有最大值，若 2524aa 0 时 n- 3 - 的最大值是（ ） A.24 B.25 C.47 D.48 12. 已知函数2,0()2 1, 0xexfxx x a x? ? ? ? ? ?，若函数 ( ) ( ) 1g x f x ax? ? ?有 4 个零点，则实数 a 的取值范围
5、为（ ） A (0,1) B (0,2) C. (1,2)? D (1, )? 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.若函数 1 , 1()(ln ), 1xexfxf x x? ? ? ?，则 ()fe? 14.已 知 2? ?， 3sin 2 2cos? ， 则 9sin( )2? 15.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 的上下顶点分别为 A， B，右顶点为 C，右焦点为 F，延长 BF 与 AC 交于点 P，若 O， F， P， A 四点共圆，则该椭圆的离心率为 16已知 A， B， C是圆 x2+y2=1上互不相同的三个点
6、，且满足 | |=| |，则 的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6小题， 共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17 (本小题满分 12分 ) 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,且 =2nnSa? ( 1,2, )n? ， （ ）证明 :数列 ?na 是等比数列； （ ） 若数列 ?nb 满足 = 2 ( =1,2, )nnb a + n n ?，求数列 ?nb 的 前 n 项和为 nT 18 （本小题满分 12分） 在 ABC中，己知 9AB AC?， cosb c A? ，又 ABC的面积为 6。 （）求 ABC的三边长； （）若 D为 BC 边上的一点，
7、且 CD=1，求 tan BAD? - 4 - 19如图所示，四棱锥 P ABCD的侧面 PAD是边长为 2的正三角形，底面 ABCD 是 ABC=60的菱形， M为 PC 的中点， PC= （ ）求证： PC AD； （ ）求三棱锥 M PAB的体积 20已知抛物线 E： y2=2px（ p 0）的焦点过为 F，过 F且倾斜角为 的直线 l被 E截得的线段长为 8 （ ）求抛物线 E的方程； （ ）已知点 C 是抛物线上的动点，以 C 为圆心的圆过 F，且圆 C 与直线 x= 相交于 A， B两点，求 |FA|?|FB|的取值范围 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 () xefxx
8、? （ 1）求曲线 ()y f x? 在点 (2, (2)f 处的切线方程 ； （ 2）设 ( ) ( ) ln 2G x xf x x x? ? ?， 证明 3( ) ln 2 2Gx ? ? ? 请考生在 22、 23两题中任选一题 作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为2 cos( ) 1 04? ? ?，曲线C的参数方程是244xtyt? ? ?（t为参数） . （ 1）求直线l和曲线C的普通方程； - 5 - （ 2）设直线l和
9、曲线C交于,AB两点，求11MA MB?. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) 2 2g x x x a? ? ? ?（aR?） （ 1）当3a?时，解不等式( ) 4gx?； （ 2）令( ) ( 2)f x g x?，若1fx?在 R上恒成立，求实数a的取值范围 . 高三数学（文科）参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B A B D D A A B A D C A 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分
10、） 13.2 14.223 15. 16. ， ） 三、 解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17 (本小题满分 12分 ) 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,且 =2nnSa? ( 1,2, )n? ， （）证明 :数列 ?na 是等比数列； （）若数列 ?nb 满足 = 2 ( =1,2, )nnb a + n n ?，求数列 ?nb 的 前 n 项和为 nT 解：（ ）证明：因为 =2nnSa? ( 1,2, )n? ，则 -1 -1=2nnSa? ( 2,3, )n? 1分 所以当 2n? 时， -1 -1= = 2 2n
11、n n n na S S a a?， 3分 整理得 -1=2nnaa 4分 由 =2nnSa? ，令 1n? ，得 11=2Sa? ，解得 1a? 5分 所以 ?na 是首项为 3，公比为 2的等比数列 6分 （ ）解：因为 1=3 2nna ? ， 7分 - 6 - 由 = 2 ( =1,2, )nnb a + n n ?，得 1=3 2nnbn? ? 所以 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9分 1(1 2 ) ( + 1)= 3 + 21 2 2n nn? ? 11分 2=3 2 + +n nn? ? 所以 2
12、=3 2 + +nnT n n? ? 12分 18 （本小题满分 12分） 在 ABC中，己知 9AB AC?， cosb c A? ，又 ABC的面积为 6。 （）求 ABC的三边长； （）若 D为 BC 边上的一点，且 CD=1，求 tan BAD? 解：（）设三边分别为 ,abc 由正弦定理得 cossinB sinC A? ， sin（ A+C） =sinCcosA， 2分 化为 sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA， sinAcosC=0，可得 cos 0 2CC? ? ? 4分 又 c o s 9162A B A C A B A C AS A B A C in A?
13、 ? ? s两式相除可得 4tan 3 aA b? 令 4 , 3 ( 0)a k b k k? ? ? 则 1 612S ab k? ? ? ? ?三边长分别为 3， 4， 5， 7分 （）由（）知 tan BAC=43 ，由三角函数定义知 tan DAC=13 ， 9分 - 7 - 所以 tan BAD? =tan（ BAC- DAC） = tan tan1 tan tanBAC D ACBAC D AC? ? ? ? ?=4133411 33?=913 12 分 19如图所示，四棱锥 P ABCD的侧面 PAD是边长为 2的正三角形，底面 ABCD 是 ABC=60的菱形， M为 PC
14、的中点， PC= （ ）求证： PC AD； （ ）求三棱锥 M PAB的体积 证明：（ ）证法一：连结 AC， 由已知得 PAD， ACD均为正三角形， PA=AC， PD=CD， M为 PC的中点， PC AM， PC DM， 又 AM， DM?平面 AMD， AM DM=M， PC平面 AMD， 又 AD?平面 AMD， PC AD 证法二：取 AD的中点 O，连结 OP， OC， AC， 由已知得 PAD， ACD均为正三角形， OC AD， OP AD， 又 OC OP=O， OC， OP?平面 POC， AD平面 POC， 又 OP?平面 POC， PC AD 解：（ ） ， PO
15、=OC= ， PC= ， PO2+OC2=PC2， PO OC， 又 OP AD， OC AD=O， OC， AD?平面 ABCD， PO平面 ABCD， 又 = ， - 8 - 三棱锥 M PAB的体积 = = 20已知抛物线 E： y2=2px（ p 0）的焦点过为 F，过 F且倾斜角为 的直线 l被 E截得的线段长为 8 （ ）求抛物线 E的方程； （ ）已知点 C 是抛物线上的动点，以 C 为圆心的圆过 F，且圆 C 与直线 x= 相交于 A， B两点，求 |FA|?|FB|的取值范围 解：（ ）由 题意，直线 l的方程为 y=x ， 联立 ，消去 y 整理得 ， 设直线 l与抛物线
16、E的交点的横坐标为 x1， x2，则 x1+x2=3p， 故直线 l被抛物线 E截得的线段长为 x1+x2+p=4p=8，得 p=2， 抛物线 E的方程为 y2=4x； （ ）由（ ）知， F（ 1， 0），设 C（ x0， y0），则圆 C的方程是 ， 令 x= ，则 ，又 ， - 9 - = = 0恒成立， 设 A（ ）， B（ ， y4），则 y3+y4=2y0， ， |FA|?|FB|= = = = ， x0 0， |FA|?|FB| 3， +） 21. （本小题满分 12分） 已知函数 () xefxx? （ 1）求曲线 ()y f x? 在点 (2, (2)f 处的切线方程； （ 2）设 ( ) ( ) ln 2G x xf x x x? ? ?，证明 3( ) ln 2 2Gx ? ? ? 解之得 6 2 21 5y ? ，即点 P 的坐标为 6 2 21(0, )5? 或 6 2 21(0, )5? 21.解：（ 1）2( )xxe x efx x? ， 2 2 222(2) 24e e ef ?且 2(2) 2ef ?
