1、 - 1 - 四川省成都市 2011届高三数学上学期期中试题 文 第卷 （选择题 共 60分） 一 、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知集合 | 3| 5M x x? ? ?， 2 | 3 18 0N x x x? ? ? ?， 则 MN? （ ） A R B ? C | 2 6xx? ? ? D | 8xx? 2 已知 O、 N、 P 在 ABC? 所在平面内，且 | | | | | |OA OB OC?， 0NA NB NC? ? ?， P A P B P B P C P C P A? ? ? ? ?，则点
2、 O、 N、 P依次是 ABC? （ ） A重心 、 外心 、 垂心 B重心 、 外心 、 内心 C外心 、 重心 、 垂心 D外心 、 重心 、内心 3已知函数 sin , 4() 6( 1), 4xxfxf x x? ? ?，则 (5)f 的值为（ ） A 12 B 22 C 32 D 1 4若 2( ) 2f x x ax? ? 与 ()agxx? 在区间 1,2 上都是减函数，则 a的取值范围是（ ）A ( 1,0) (0,1)? B 1,0) (0,1? C (0,1) D (0,1 5 在 数列 na 中， 23nan?，前 n项和 2 *nS an bn c n N? ? ? ?
3、（ ）， 其中 a、 b、 c为常数，则 a b c? ? ? （ ） A 3? B 4? C 5? D 6? 6 若关于 x的不等式 | 1| | 2 |x x a? ? ? ?有解，则实数 a的取值范围是 （ ） A 3a? B 3a? C 3a? D 3a? 7将函数 sin(4 )3yx?的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移 4? 个单位，得到的函数 图像 的一 条对称轴方程是（ ） A 6x ? B 3x ? C 2x ? D 12x ? 8设 a 0， b 0，若 2 是 4a与 2b的等比中项，则 21ab? 的最小值为（ ） - 2 - A 22 B 4 C 8
4、D 9 9若平面内共线的 A、 B、 P三点满足条件， 1 4015OP a OA a OB? ，其中 na 为等差数 列，则a2008等于（ ） A 1 B 1? C 12 D 12? 10若函数 sin( )y A x?（ 0A? ， 0? ， |2? ） 在一个周期内的图象如图所示， M、 N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON?，则 A?（ ） A 6? B 712? C 76? D 73? 11用长度分别为 2、 3、 4、 5、 6（单位： cm ）的 5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ） A 285cm B 26 10
5、cm C 23 55cm D 220cm 12已知 下列命题 四个命题 ： 若 ()fx是定义在 1,1? 上的偶函数，且在 1,0)? 上是增函数， ( , )42? ，则 (sin )f ? ? (cos )f ? ； 在 ABC? 中， AB? 是 cos cosAB? 的充要条件 ； 设函数 2( ) 2f x x?（ 20x? ? ? ） ，其反函数为 1()fx? ，则 1(3) 1f? ? 或 1。 在 ABC? 中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知 b2 + c2 = a2 + bc，则 3A? 。 其中真命题的个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
6、 第卷 （非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 4分，共 16分。请 把答案填写在答题卷的相应位置。 13 已知 3s in c o s c o s s in 3? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ），则 cos2? 的值为 _。 - 3 - 14 上海世博会期间， 5名志愿者与 2 名国外友人排成一排拍照， 2 名国外友人相邻但不排在两端， 则 不同排法数种共有 _种。 15 在 Rt ABC中， C=90 ， 且 角 A、 B、 C所对的边 a、 b、 c满足 a+b=cx，则实数 x的取值范围是 _。 16 定义运算 ：1 2 31nini a a a
7、 a a? ? ? ? ? ?，已知 1log ( 2)iiai?， 计算 621 ii a? ?_。 三、解答题：本大题共 6个小题，共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12分） 解关于 x 的不等式： 1 02axx ? ? 。 18（本小题满分 12分） 已知向量 (2 cos( ), 1)2OP x? ? ?， ( sin ( ), co s 2 )2O Q x x? ? ?， ()f x OP OQ?。 a 、 b 、c 是锐角三角形 ABC? 角 A 、 B 、 C 的对边，且 ( ) 1fA? ， 5 3 2bc? ? ? ， 13a? 。 （
8、1）在所给坐标系下用“五点法”作出 ()y f x? （ 0, x ? ）的图像； （ 2）求角 A ； （ 3）求 ABC? 的面积。 - 4 - 19（本小题满分 12分） 设 nS 是数列 na 的前 n 项和，若 2 ( *)nnS nNS ? 是非零常数，则称数列 na 为“和等比数列”。 （ 1）若数列 2nb 是首项为 2 ，公比为 4的等比数列，试判断数列 nb 是否为“和等比数 列”； （ 2）若数列 nc 是首 项为 1c ，公差为 ( 0)dd? 的等差数列，且数列 nc 是“和等比数列”，试探究 d 与 1c 之间的关系。 20（本小题满分 12分） 某地区有荒山 22
9、00亩，从 2002 年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树 100亩，以后每一年比上一年多植树 50亩。 （ 1）若所植树苗全部成活，则到哪一年年初植树后可以将荒山全部绿化？ （ 2）若每亩所植树苗木材量为 2立方米，每年树木木材量自然增长率为 20%，求全部- 5 - 绿化后的那一年年底该山林的木材总量（精确到 1立方米， 81.2 4.3? ）。 21（本小题满分 12分） 已知函数 ()fx对任意的实数 ,xy都有： ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y? ? ? ?，且 0x? 时，( ) 1fx? 。 （ 1）求证： ()fx是 R 上的增函数； （ 2）若关于
10、 x 的不等式 2( 5 ) 2f x ax a? ? ?的解集是 | 3 2xx? ? ? ，求 (2010)f 的值。 22（本小题满分 14分） 已知函数 3()f x x x?， 2 4() x axgx x? 。 - 6 - （ 1）若曲线 ()y f x? 的切线过点 (1,2) ，求其切线方程； （ 2）若对任意的 1 1,3x? ，存在 2 1,3x? ，使得 12( ) ( )f x g x? 成立，求 a 的取值范围； （ 3）若对任意的 12, 1,3xx? 都有 12( ) ( )f x g x? 成 立，求 a 的取值范围。 数学试题（文科）参考答案 一、选择题 -
11、7 - 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D D A D A D C C B B 二、填空题 13 13 ； 14 960； 15 (1, 2 ； 16 6。 17解：原不等式等价于 ( 1)( 2) 0ax x? ? ?（ *） （ 1） 0a? 时， 2x? （ 2） 0a? 时，（ *） 式化为 1( )( 2) 0xxa? ? ? 10 2a? 时， 12 x a? ； 12a? 时，无解； 12a? 时， 1 2xa? 。 （ 3） 0a? 时，（ *）式化为 11( )( 2 ) 0 2x x x xaa? ? ? ? ? ?或 ?当 0a?
12、 时，原不等式的解集为 1 | 2x x xa?,或 ； 当 0a? 时，原不等式的解集为 | 2xx? ； 当 10 2a? 时，原不等式的解集为 1 |2 xxa? ； 当 12a? 时，原不等式的解集为 ? ； 当 12a? 时，原不等式的解集为 1 | 2xxa? 。 18 解：（ 1）由已知 ( ) 2 s in ( 2 )4f x O P O Q x ? ? ? ? 列表如下： 作出图像为： x 0 8? 38? 58? 78? ? 2 4x ? 4? 0 2? ? 32? 74? ()fx 1? 0 2 0 2? 1? - 8 - （ 2） ( ) 2 sin (2 ) 14f
13、A A ? ? ? 2sin(2 )42A ? ? ?， 2 44A ? 或 32 44A ? 4A ?或 2A? （舍去， ABC? 为锐角三角形）。 4A ?。 （ 3）在 ABC? 中，由余弦定理得：2 2 21 3 2 co sa b c bc A? ? ? ? 21 3 ( ) 2 2b c bc bc? ? ? ? ? 15 2bc? 1 1 2 1 5s in 1 5 22 2 2 2ABCS b c A? ? ? ? ? ?。 19解：（ 1）数列 2nb 是首项为 2 ，公比为 4的等比数列，所以 1 2 12 2 4 2nb nn? ? ? ， 21nbn?。 设数列 nb
14、 的前 n 项和为 nT ，则 2nTn? ， 22 4nTn? ，所以 2 4nnTT? ，因此 nb 为“和等比数列”。 （ 2）设数列 nc 的前 n 项和为 nR ，且 2nnR kR ? （ k 为常数，且 0k? ）。 因为数列 nc 是等差数列，所以1 ( 1)2n nnR nc d?，21 2 (2 1)2 2n nnR nc d?1212 ( 2 1)22( 1)2nnnnn c dRknnRn c d?对于 *nN? 都成立，得 1( 4 ) ( 2 )(2 ) 0k dn k c d? ? ? ? ?，所以1( 4) 0( 2)(2 ) 0kdk c d? ? ? ? 。
15、由 0d? 得 4k? ， 12dc? ，所求 d 与 1c 之间的关系为 12dc? 。 20解：（ 1）设植树 n 年后可将荒山全部绿化，记第 n 年初植树量为 na ，由题意数列 na 是首项为 1 100a? ，公差 50d? 的等差数列，所以 ( 1)1 0 0 5 0 2 2 0 02nnn ? ? ?2 3 88 0nn? ? ? ?，( 11)( 8) 0nn? ? ?。 *nN? 8n?。到 2009年年初 植树后可以将荒山全部绿化。 （ 2） 设 2002年初木材存量为 312am ，到 2009年底木材存量增加为 8312 1.2am? ， 2003年初木材存量为 322
16、am ，到 2009 年底木材存量增加为 7322 1.2am? ， ， - 9 - 2009年初木材存量为 382am ，到 2009年底木材存量增加为 382 1.2am? 则到 2009年底木材总量为 8 7 61 2 3 82 1 .2 2 1 .2 2 1 .2 2 1 .2S a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 6 7 89 0 0 1 .2 8 0 0 1 .2 4 0 0 1 .2 3 0 0 1 .2 2 0 0 1 .2S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 7 8 91 . 2 9 0 0 1 . 2 8 0 0 1 . 2 4 0 0
17、1 . 2 3 0 0 1 . 2 2 0 0 1 . 2S? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作差得： 9 2 3 80 .2 2 0 0 1 .2 1 0 0 (1 .2 1 .2 1 .2 ) 9 0 0 1 .2S ? ? ? ? ? ? ? ?8840 1.2 1800? ? ?840 4.3 1812? ? ? 39060Sm? 答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量 9060立方米。 21（ 1）证明：设 12xx? ? ?，则 210xx?， 21( ) 1f x x? ? ? 2 2 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )f x
18、f x x x f x f x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ()fx? 是 R 上的增函数。 （ 2）解：设 ( ) 2fb? ， 2( 5 ) ( )f x ax a f b? ? ? 2 5 0 3 2x a x a b x? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 13 2 5 1aaa b b? ? ? ? ? ? ? ? ?(1) 2f?。 在 ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y? ? ? ?中，令 ,1x ny?得 ( 1) ( ) (1) 1f n f n f? ? ? ? ( 1) ( ) 1f n f n? ? ? ?。 ?数列 ()fn 是首项为 2 ，公差为
