1、 - 1 - 2016-2017 学年广西玉林市陆川高三（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|2x 3 1，集合 ，则 A B=（ ） A（ 2， 5） B C（ 2， 5 D （请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .）（共 1个小题，共 10分） 22（ 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的参数方程为 ，曲线 C的极坐标方程为 =2cos （ 1）写出直线 l的直角
2、坐标方程和曲线 C的普通方程； （ 2）求直线 l与曲线 C的交点的直角坐标 23设函数 f（ x） =|x 2|+|x+a|（ a R） （ 1）若 a=1时，求不等式 f（ x） 4的解集； （ 2）若不等式 f（ x） 2x 的解集为 C（ 2， 5 D =0，解得 x=t或 x=k t， Q（ k t，（ k t） 2），而 QN QP，所以直线 NQ 斜率为 ， ，联立方程 ， 整理得： ， 即 kx2+x（ k t） =0， =0， 解得 ，或 x=k t ， - 2 - 而抛物线在点 N的切线 斜率， k=y| ， MN是抛物线的切线， ，整理得 k2+kt+1 2t2=0， =
3、t2 4（ 1 2t2） 0，解得 （舍去），或 ， 【点评】本题考查了求抛物线的解析式问题，考查求直线的斜率以及转化思想，考查抛物线的性质，是一道综合题 21（ 12分）（ 2017春 ?陆川县校级期中）已知函数 （ 1）若函数 f（ x）存在单调递减区间，求实数 a的取值范围； （ 2）设 x1， x2（ x1 x2）是函数 f（ x）的两个极值点，若 ，求 f（ x1） f（ x2）的极大值 【考点】 6D：利用导数研究函数 的极值； 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】（ 1）求出函数的导数，问题转化为 有解，根据不等式的性质求出 a的范围即可； （ 2）求出函数的导数，得到 f（
4、 x1） f（ x2） = ，设 ，令 ，根据函数的单调性求出函数的极大值即可 【解答】解：（ 1） ， ， 由题意知 f（ x） 0在（ 0， + ）上有解， 即 有解， x 0， ，当且仅当 x=1 时等号成立， - 3 - 要使 有解， 只需要 的最小值小于 a 1， 2 a 1，解得实数 a的取值范围是 a|a 3 （ 2） ， ， 由题意知 f（ x） =0在 （ 0， + ）上有解， x 0，设 （ x） =x2（ a 1） x+1，又 ， =（ a 1） 2 4 0， x1+x2=a 1， x1x2=1， 则 = = ， x1 x2 0，所以设 ， 令 ，则 ， h（ t）在（
5、1， + ）上单调递减， ， ， ， t 1， 由 4t2 17t+4=（ 4t 1）（ t 4） 0，得 t 4， ， 故 f（ x1） f（ x2）的最大值为 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，考查不等式的性质，是一道综合题 选做题：（请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .）（共- 4 - 1 个小题，共 10分） 22（ 10分）（ 2017春 ?陆川县校级期中）在平面直角坐标系 xOy中，以 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的参数方程为 ，曲线 C的极坐标方程为 =2cos （ 1）
6、写出直线 l的直角坐标方程和曲线 C的普通方程； （ 2）求直线 l与曲线 C的交点的直角坐标 【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程 【分析】（ 1）直线 l的参数方程消去参数 t能求出直线 l的直角坐标方程；曲线 C的极坐标方程化为 2=2cos ，由此能求出曲线 C的普通方程 （ 2）曲线 C 的直角坐标方程为（ x 1） 2+y2=1，与直线联立方程组，由此能求出直线 l 与曲线 C的交点的直角坐标 【解答】解：（ 1）因为直线 l的参数方程为 ， ，代入 ， ，即 ， 直线 l的直角坐标方程为 ， 曲线 C的极坐标方程为 =2cos ， 2=2cos ， 曲线 C的普通方程 x2+y2
7、=2x，即 x2 2x+y2=0 （ 2）曲线 C的直角坐标方程为（ x 1） 2+y2=1， ，解得 或 ， 直线 l 与 曲 线 C 的 交 点 的 直 角 坐 标 为 【点评】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的普通方程的求法，考查直线与曲线的交点的直角坐标的求法，涉及到极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 - 5 - 23（ 2016?上饶三模）设函数 f（ x） =|x 2|+|x+a|（ a R） （ 1）若 a=1时，求不等式 f（ x） 4的解集； （ 2）若不等式 f（ x） 2x 的解
8、集为 1， + ），求 a的值 【考点】 R4：绝对值三角不等式； R5：绝对值不等式的解法 【分析】（ 1） a=1时， f（ x） 4可化为 |x 2|+|x+1| 4去掉绝对值符号解不等式，即可求不等式 f（ x） 4的解集； （ 2）若不等式 f（ x） 2x 的解集为 1， + ），则 |x 2|+|x+a|=2x的一个根是 1，求出 a，再进行验证，即可求 a 的值 【解答】解：（ 1） a=1时， f（ x） 4可化为 |x 2|+|x+1| 4 x 1 时， 2 x x 1 4， x ； 1 x 2时， 2 x+x+1 4，无解； x 2时， x 2+x+1 4， x 综上所述，不等式的解集为 x|x 或 x ； （ 2） 不等式 f（ x） 2x 的解集为 1， + ）， |x 2|+|x+a|=2x的一个根是 1， a=0或 2 a=0时，由 |x 2|+|x| 2x，解得 x 1，合题意； a= 2时，由 2|x 2| 2x，解得 x 1，合题意； 综上所述， a=0或 2 【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题
