1、 - 1 - 2017 2018学年第二学期期末高二联考 数学文科试题 本试卷共 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 一 、 选择题 ： 本大题共 12小题 ， 每小题 5分 1.设全集 ，则 等于 （ ） A B C D 2 已知复数 满足 ，则 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 函数 的零点所在的一个区间是 （ ） A B C D 5 若 x， y 满足 ， 则 的最大值为 （ ） A B 3 C D 4 6 已知 ， 则 A B
2、 C D 7 已知函数 ， 下列结论 错误 的是 （ ） （ A） 的最小正周期为 （ B） 在区间 上是增函数 （ C） 的图象关于点 对称 （ D） 的图象关于直线 对称 - 2 - 8 某三棱锥的三视图如图所示 ， 则其体积为 （ ） A B C D 9 上图中的程序框图表示求三个实数 中最大数的算法，那么在空白的判断框中，应该填入 （ A） （ B） （ C） （ D） 10边长为 的两个等边 , 所在的平面互相垂直，则四面体 的外接球的表面积为 A B C D 11. 已知抛物线 的焦点到双曲 线 的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知方程 有 个
3、不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 第 II卷 - 3 - 二 、 填空题 ： 本大题共 4小题 ， 每小题 5分 13.某单位有 名职工 ， 现采用系统抽样方法抽取 人做问卷调查 ， 将 人按 ， ? 随机编号 ， 则抽取的 21人中 ， 编号落入区间 的人数为 14在 中， ， 是边 的中点，则 . 15.若 点 在直线 上 ， 则 的最小值是 . 16在 中，角 所对的边分别为 , ， 则 三 、 解答题 ： 解答须写出文字说明 、 证明过程和演算步骤 17（ 本小 题满分 12 分 ） 已知数列 是等比数列 ， 其前 n项和为 ， 满足 ，
4、。 （ I） 求数列 的通项公式 ；（ II） 是否存在正整数 n， 使得 2016？ 若存在 ， 求出符合条件的 n的最小值 ； 若不存在 ， 说明理由 。 18.(本小题满分 12分 ) 某校为了解本校学生在校小卖部的月消费情况 ， 随 机抽取了 60 名学生进行统计 得到如下样本频数分布表 ： 月消费金额（ 单 位 ： 元 ） 人数 30 6 9 10 3 2 记月消费金额不低于 300 元为 “ 高消费 ” ， 已知在样本中随机抽取 1 人 ， 抽到是男生“高消费”的概率为 . （ ） 从月消费金额不低于 400 元的学生中随机抽取 2 人 ， 求至少有 1 人月消费金额不低于500元
5、的概率 ； - 4 - （ ） 请将下面的 列联表补充完整，并判断是否有 90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关，说明理由 . 高消 费 非高消费 合计 男生 女生 25 合计 60 下面的临界值表仅供参考 ： P( ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 （参考公式： ，其中 ） 19.(本小题满分 12分 ) 如图，四边形 ABCD为梯形， AB CD， PD平面 ABCD， BAD ADC 90， DC 2AB 2a， DA3a， E为 BC中点 （ 1）求证：平面 PBC平面 PDE； （ 2）线段
6、PC上是否存在一点 F，使 PA平面 BDF?若存在，找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由 - 5 - 20（ 本小题满分 12 分 ） 已知 椭圆 C： 的离心率为 ， 椭圆 C 与 y 轴交于 A ， B 两点 ， 且 AB 2 （ ） 求椭圆 C 的方程 ； （ ） 设点 P是椭圆 C上的一个动点 ， 且直线 PA， PB 与直线 x 4分别交于 M ， N 两点 是否存在点 P使得以 MN 为直径的圆经过点 D（ 2,0）？ 若 存在 ， 求出点 P的横坐标 ； 若不存在 ， 说明理由 。 21（ 本小题满分 12 分 ） 已知函数 f (x) （ ） 求曲线 f (x)
7、在点 （ 0， f（ 0） 处的切线方程 ；（ ） 求函数 f (x)的零点和极 值 ； （ ） 若对任意 ， 都有 成立，求实数 的最小值。 请考生在第 22、 23题中任选一题做答 ， 做答时请写清题号 22（ 本小题满分 10 分 ） - 6 - 在直角坐标系 xOy中，直线 的参数方程为 （ 为参数），若以原点 为极点 ,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 ，设 是圆 上任一点，连结 并延长到 ，使 . ( ) 求点 轨迹的直角坐标方程 ； ( ) 若直线 与点 轨迹相交于 两点 ， 点 的直角坐标为 ， 求 的值 . 23（ 本小题满分 10 分 ） 设函数 （ ）
8、若函数 f(x)有最大值 ， 求 a的取值范围 ； （ ） 若 a=1， 求不等式 f(x) |2x-3|的解集 - 7 - 2017 2018学年第二学期期末高二联考 数学文科答案 A BDBC DDADC CA（ 13） ； （ 14） ； （ 15） 8； （ 16） 17.解 ： ( ) 设 数列 的公 比为 ， 因为 ， 所以 . 因 为 所以又因为 ， 所以, 所以 （ 或写成） .6 ( )因为 . 令 , 即 ， 整理得 . 当 为奇数时 ， 原不等式等价于 ， 解得 ， 所 以 满 足 的 正 整 数 的 最 小 值 为11. .12 18解 ：（ ） 样本中 ， 月消费金额
9、在 的 3人分别记为 ， ， . 月消费金额在大于或等于 的 2人分别记为 ， . 1分 从月消费金额不低于 400元的 5个中 ， 随机选取两个 ， 其所有的基本事件如下 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 个 . 3分 记 “ 至少有 1个月消费金额不低于 500元 ” 为事件 - 8 - 则事件 包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， 共 7个 . 5 分 所以至少有 1个月消费金额不低于 500元的概率为 . 6分 （ ） 依题意 ， 样本中男生 “ 高消费 ” 人数 . 7分 高消费 非高消费 合计 男生 10 20 30 女生 5 25 30 合计 15 45 60
10、 9分 . 所以没有 90%的把握认为“高消费”与“男女性别”有关 . 12分 19解 ： 证明 :（ 1）连结 BD 90BAD ADC? ? ? ? ,3AB a DA a? 所以 2BD DC a? E 为 BC 中点 所以 BC DE? 又因为 PD? 平面 ABCD , 所以 BC PD? 因为 DE PD D? 所以 BC? 平面 PDE 因为 BC? 平面 PBC ,所以平面 PBC? 平面 PDE ?6 分 （ 2）当点 F 位于 PC 三分之一分点 (靠近 P 点 )时 , /PA 平面 BDF 连结 ,ACBD 交于 O 点 /AB CD ,所以 AOB? 相似于 COD?
11、 又因为 12AB DC? ，所以 12AO OC? 从而在 CPA? 中 , 13AO AC? 而 13PF PC? 所以 /OF PA 而 OF? 平面 BDF PA? 平面 BDF 所以 /PA 平面 BDF ?12 分 20 解 ： （）由已知 ， 得知 ， 又因为离心率为 ， 所以 . - 9 - 因为 ， 所 以 , 所以椭圆 的标准方程为. ?.5 分 （）解法一 ： 假设存在 . 设 由已知可得 ， 所以 的直线方程为 ， 的直线方程为 ， 令 ， 分别可得 ， ， 所以 ， 线段 的中点 ， 若以 为直径的圆经过点 D（ 2,0）， 则 , 因为点 在椭圆上 ， 所以 ， 代入化简得 ， 所以 ， 而 ， 矛盾 ， 所以这样的点 不存在 . ?.12分 - 10 - （ 还可以以 为直径 ， 推矛盾 ） 21.解：（）因为 ， 所以. 因为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 .? ?.3 分 （）令 ，解得 ， 所以 的零点为 . 由 解得 ， 则 及 的情况如下： 2 0 极小值所以函数 在 时 ,取得极小值 ?.8 分 （）法一： 当 时， . 当 时， . 若 ，由（）可知 的最小值为 ， 的最大值为 ， 所以“对任意 ，有 恒成立”等价于
