1、 1 江西省宜春 2016-2017 学年度高三下学期期中考试数学（文）试卷 一、选择题：（共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1.复数 z 满足：（ 3 4i） z=1+2i，则 z=（ ） A B C D 2.已知集合 A= 1， 1， 3， B=1， a2 2a， B?A，则实数 a的不同取值个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 3.若 =( ) A B C D 4.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字 “2” ， “3” ， “4” ， “6” 现从中随机选取三个球，则所选的 三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A B C D 5.设 ,ab是实数，则“
2、 1ab?”是“ 11abab? ? ? ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6.已知函数 y=f（ x）的定义域为 x|x 0，满足 f（ x） +f（ x） =0，当 x 0时 ， f（ x） =1gx x+1，则函数） y=f（ x）的大致图象是（ ） A B C D 7.若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ） 2 A 10cm3 B 20cm3 C 30cm3 D 40cm3 8.给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A I 100 B I 100 C I 50
3、 D I 50 9.设正项等比数列 an的前 n项和为 Sn，且 1，若 a3+a5=20， a3a5=64，则 S4=（ ） A 63或 126 B 252 C 120 D 63 10.已知点 O为 ABC内一点， AOB=120 ， OA=1， OB=2，过 O作 OD 垂直 AB于点 D，点 E为线段OD的中点，则 ? 的值为（ ） A B C D 11.已知直线 y=k（ x+2）（ k 0）与抛物线 C： y2=8x相交于 A， B两点， F为 C的焦点，若 |FA|=2|FB|，则点 A到抛物线的准线的距离为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 12.已知函数 f（ x） =x2
4、 2x+2， g（ x） =ax2+bx+c，若这两个函数的图象关于（ 2， 0）对称，则 f（ c）=（ ） A 122 B 5 C 26 D 121 3 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分） 13. ABC中， C=90 ，且 CA=3，点 M满足 =2 ， 则 ? = 14.已知实数 x， y满足 ，若 x y的最大值为 6，则实数 m= 15.若直线 y=x+b与曲线 恰有一个公共点，则 b的取值范围为 16.若函数 y=f（ x）对定义域的每一个值 x1，在其定义域内都存在唯一的 x2，使 f（ x1） f（ x2） =1成立，则称该函数为 “ 依赖函数 ”
5、给出以下命题： y= 是 “ 依赖函数 ” ； y= 是 “ 依赖函数 ” ； y=2 x是 “ 依赖函数 ” ； y=lnx 是 “ 依赖函数 ” ； y=f （ x）， y=g（ x）都是 “ 依赖函数 ” ，且定义域相同，则 y=f（ x） g（ x）是 “ 依赖函数 ” 其中所有真命题的序号是 三、解答题：（本题共 6小题 ,共 70分 ,解答过程应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤） 17.已知 ABC 中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 asinA=bsinB+（ c b） sinC （ 1）求角 A的大小； （ 2） 若 b=2， SABC = ，求 sin（
6、 2B A）的值 18.某校对高一年级学生暑假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了 M名学生作为样本，得到这 M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10， 15） 10 0.25 15， 20） 25 n 20， 25） m p 25， 30） 2 0.05 合计 M N 4 （ 1）求表中 n， p的值和频率分布直方图中 a的值，并估计该校高一学生参加社区服务超过 20次的概率； （ 2）试估计该校高一学 生暑假参加社区服务次数的中位数 19.如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 BCC1B1是矩形，截面 A1BC 是等
7、边三角形 （ ）求证： AB=AC； （ ）若 ABAC ，三棱柱的高为 1，求 C1点到截面 A1BC 的距离 5 20.已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率 e= ，短轴的一个顶点与椭圆两焦点构成的三角形面积为 2 （ I）求椭圆的方程； （ ）直线 y= x+m与椭圆交于 A， B两点，求 OAB 面积的最大值 21.（ 12 分）已知函数 ? ? 1lnf x x x?， g（ x） =ax+b （ 1）若 a=2， F（ x） =f（ x） g（ x），求 F（ x）的单调区间； （ 2）若函数 g（ x） =ax+b是函数 ? ? 1lnf x x x?图象的切线，求 a+b
8、的最小值 22.【选修 4-4】 在直角坐标系中，以原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建坐标系 ,已知曲线 ? co s2s in: 2 aC ? )0( ?a ，已知过点 )4,2( ?P 的直线 l 的参数方程为 6 ?tytx224222（ t 为参数 ），直线 l 与曲线 C 分别交于 NM, 两点。 （ 1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； （ 2）若 |,|,| PNMNPM 成等比数列 ,求 a 的值 23.【选修 4-5】 设函数( ) | 1 | | |,f x x x a a R? ? ? ? ? （ 1）当4a?时，求 不等式( ) 5fx?的解集； （ 2）若(
9、) 4?对xR?恒成立，求a的取值范围 . 7 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D C A A B A C D A B 13.6 14.8 15. （ 1， 3 1 2 16. 17.解：（ 1）由正弦定理得 a2=b2+c2 bc，即： b2+c2 a2=bc， 由余弦定理可得 b2=a2+c2 2accosB， 故 cosA= = ， A=60 （ 2） b=2 ， SABC = = bcsinA= ，解得： c=3 a= = = ， cosB= = = ，可得： sinB= = ， sin2B=2sinBcosB=2 = ， cos2B=2cos2
10、B 1= ， sin （ 2B A） =sin2BcosA cos2BsinA= = 18.解： 10 ， 15）组的频数为 10，频率为 0.25， ，解得 M=40 n= ， p=1 0.25 0.625 0.05=0.075， a= =0.125 该校高一学生参加社区服务超过 20 次的概率为： 0.075+0.05=0.125 （ 2） 次数位于 15， 20）的频率为 0.625， 中位数位于区间 15， 20），设中位数为 15+x， 则 0.125x=0.25，解得 x=2， 该校高一学生暑假参加社区服务次数 的中位数为 17 次 19.（ ）证明：取 BC中点 O，连 OA，
11、OA1 8 因为侧面 BCC1B1是矩形，所以 BCBB 1， BCAA 1， 因为截面 A1BC是等边 三角形，所以 BCOA 1， 所以 BC 平面 A1OA， BCOA ，因此， AB=AC ? （ ）解：设点 A到截面 A1BC的距离为 d， 由 VA A1BC=VA1 ABC得 SA1BC d=S ABC 1 ， 得 BCOA 1d=BCOA1 ，得 d= 由 ABAC ， AB=AC得 OA= BC， 又 OA1= BC，故 d= 因为点 A 与点 C1到截面 A1BC 的距离相等， 所以点 C1到截面 A1BC的距离为 ? 20.解：（ I）由题意可得， e= = ， ?2c?b
12、=2 ， a2 b2=c2， 解得 a=2 ， b= ， 即有椭圆方程为 + =1； （ ）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），将 y= x+m代入椭圆方程 x2+4y2=8， 可得 x2+2mx+2m2 4=0，判别式 =4m 2 4（ 2m2 4） 0， 解得 2 m 2且 m0 ， x1+x2= 2m， x1x2=2m2 4， 由直线与 y轴交于（ 0， m）， 则 SOAB = |m|?|x1 x2|= |m|? =|m|? =2， 当且仅当 m= 时取得等号 则 OAB面积的最大值为 2 9 21.解：（ 1） a=2时， F（ x） =f（ x） g（ x） =lnx
13、 2x b， F （ x） = + 2，（ x 0）， F （ x） = ， 令 F （ x） 0，解得： 0 x 1， 令 F （ x） 0，解得： x 1， 故 F（ x）在（ 0， 1）递增，在 （ 1， + ）递减； （ 2）：设切点（ m， lnm ），函数 f（ x） =lnx 的导数为 f （ x） = + ， 即有切线的斜率为 + ， 若直线 g（ x） =ax+b是函数 f（ x） =lnx 图象的切线， 则 a= + ， lnm =ma+b， 即有 b=lnm 1， a+b=lnm + 1， 令 =t 0，则 a+b= lnt t+t2 1， 令 a+b= （ t） = l
14、nt+t2 t 1， 则 （ t） = +2t 1= ， 当 t （ 0， 1）时， （ t） 0， （ t）在（ 0， 1）上单调递减； 当 t （ 1， + ）时， （ t） 0， （ t）在（ 1， + ）上单调递增 即有 t=1时， （ t）取得极小值，也为最小值 则 a+b= （ t） （ 1） = 1， 故 a+b的最小值为 1 22.解：（） C: 02:,22 ? yxlaxy （）将直线的参数表达式代入抛物线得attattatat832,22280416)224(2121212? 因为 |,|,| 2121 ttMNtPNtPM ? 由题意知， 10 2122121221 5)(| tttttttt ? 代入得 1?a 23.解 ： （ 1）当4a时，由不等式( ) 5fx?得1 4 5xx? ? ? ?，因为在数轴上到点 1 和 4 的距离之和等于 5的点为 0和 5，所以1的解集为? ?| 0x x x?或； （ 2） 因为? ? 11f x x x a a? ? ? ? ? ?，所以若不等式( ) 4?对xR?恒成立，则14a?，解得? ?| 3 5a a a? ? ?或.
