1、【高考冲刺】名师讲解全国特级教师 江新欢 博士教授高中数学高中数学课题课题：对数函数对数函数第 三 章对 数 函 数考考纲纲考考情情三年三年4 4考高考指数考高考指数:1.1.理解对数的概念及其运算性质理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运了解对数在简化运算中的作用算中的作用2.2.理解对数函数的概念及其单调性理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象掌握对数函数图象通过的特殊点通过的特殊点,会画底数为会画底数为2,10,2,10,的对数函数的图象的对数函数的图象3.3.体会对数函数是一
2、类重要的函数模型体会对数函数是一类重要的函数模型4.4.了解指数函数了解指数函数y=y=a ax x(a(a0,0,且且a1)a1)与对数函数与对数函数y=y=logloga ax(ax(a0,0,且且a1)a1)互为反函数互为反函数12三三年年考考题题1313年年(1(1考考):):新课标全国卷新课标全国卷T8T81212年年(2(2考考):):湖南湖南T8T8江苏江苏T5T51111年年(1(1考考):):天津天津T7T7 考考情情播播报报1.1.对数的运算性质、对数函数的图象与性质是高考的对数的运算性质、对数函数的图象与性质是高考的热点热点2.2.常与函数的单调性、最值、零点等性质以及方
3、程、常与函数的单调性、最值、零点等性质以及方程、不等式等知识交汇命题不等式等知识交汇命题,考查分类讨论考查分类讨论,函数与方程函数与方程,转化与化归、数形结合思想转化与化归、数形结合思想3.3.题型以选择、填空题为主题型以选择、填空题为主,属中低档题属中低档题【知识梳理】【知识梳理】1.1.对数的定义对数的定义(1)(1)对数的定义对数的定义:请根据下图的提示填写与对数有关的概念请根据下图的提示填写与对数有关的概念:其中其中a a的取值范围是的取值范围是:_.:_.指数指数对数对数幂幂真数真数底数底数a0,a0,且且a1a1(2)(2)两种常见对数两种常见对数:对数形式对数形式特点特点记法记法
4、常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_1010lgNlgNe elnNlnN2.2.对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质性质性质logloga a1=_,1=_,logloga aa=_,a=_,=_(a0 =_(a0且且a1)a1)换底换底公式公式logloga ab=b=(a,c (a,c均大于均大于0 0且不等于且不等于1,b0)1,b0)运算运算性质性质如果如果a0,a0,且且a1,M0,N0,a1,M0,N0,那么那么:logloga a(M(MN)=_N)=_logloga a =_=_logloga aM Mn n=_(nR)=_(n
5、R)alog Nacclog blog aMN0 01 1N Nlogloga aM+logM+loga aN Nlogloga aM-logM-loga aN Nnlognloga aM M3.3.对数函数的定义、图象与性质对数函数的定义、图象与性质定义定义函数函数_(a0,_(a0,且且a1)a1)叫做对数函数叫做对数函数底数底数a1a10a10a1图象图象y=logy=loga ax x定义域定义域_值域值域_性质性质当当x=1x=1时时,y=0,y=0,即过定点即过定点_当当0 x10 x1时时,y0;,y1x1时时,_,_当当0 x10 x1x1时时,_,_在在(0,+)(0,+)上
6、是上是_在在(0,+)(0,+)上是上是_(0,+)(0,+)R R(1,0)(1,0)y0y0y0y0y0y0,(a0,且且a1)a1)与对数函数与对数函数_(a0,_(a0,且且a1)a1)互为反函数互为反函数,它们的图象关于直线它们的图象关于直线_对称对称.y=logy=loga ax xy=xy=x【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考)给出下列命题给出下列命题:logloga ax x2 2=2log=2loga ax;x;函数函数y=logy=log2 2(x+1)(x+1)是对数函数是对数函数;函数函数y=y=与与y=ln(1+x)-ln(1-x)y=ln(1+x)-ln(
7、1-x)的定义域相同的定义域相同;若若logloga amlogmloga an,n,则则mn,m1a1时成立时成立,而而0a10a0)x(x0)是增函数是增函数,又又y=logy=log2 2|x|,xR|x|,xR且且x0 x0的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称,故是偶函数故是偶函数.xxee24.4.若函数若函数y=f(x)y=f(x)是函数是函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a1)a1)的反函数的反函数,且且f(2)=1,f(2)=1,则则f(x)f(x)等于等于()A.A.B.2B.2x-2 x-2 C.C.D.logD.log2 2x x【解析】【解析】选选D.D.由题
8、意知由题意知f(x)=logf(x)=loga ax,x,又又f(2)=1,f(2)=1,所以所以logloga a2=1,2=1,所以所以a=2,a=2,所以所以f(x)=logf(x)=log2 2x.x.x1212log x5.(20185.(2018长沙模拟长沙模拟)已知已知则则()()A.abc B.bacA.abc B.bacC.acb D.cabC.acb D.cab324log 0.3log 3.4log 3.61a5,b5,c()5，【解析】【解析】选选C.C.如图所示，结合指数函如图所示，结合指数函数的单调性可知选项数的单调性可知选项C C正确正确.3310loglog 0
9、.331c()c5,5可化为6.(20136.(2013四川高考四川高考)lg +lg )lg +lg 的值是的值是_._.【解析】【解析】答案：答案：1 1520lg 5lg 20lg 1001.考点考点1 1 对数的运算对数的运算【典例【典例1 1】(1)(2018(1)(2018威海模拟威海模拟)定义在定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且且x(-1,0)x(-1,0)时，时，f(x)=2f(x)=2x x+,+,则则f(logf(log2 220)=()20)=()A
10、.1 B.C.-1 D.-A.1 B.C.-1 D.-(2)lg 25+lg 2-lg -log(2)lg 25+lg 2-lg -log2 29 9loglog3 32 2的值是的值是_._.154545120.1【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据函数的性质及对数运算性质将待求值调根据函数的性质及对数运算性质将待求值调节到节到(-1,0)(-1,0)上求值上求值.(2)(2)根据对数运算性质进行计算根据对数运算性质进行计算.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由由f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),可知可知
11、函数为奇函数，且函数为奇函数，且f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x),所以函数的周期为所以函数的周期为4 4，4log4log2 2205,0log205,0log2 220-41,20-41,即即loglog2 220-4=log20-4=log2 2 .所以所以f(logf(log2 220)=f(log20)=f(log2 220-4)=f(log20-4)=f(log2 2 )=-f(-log=-f(-log2 2 )=-f(log)=-f(log2 2 )，因为因为-1log-1log2 2 0,0lga+lgb=0(a0且且a1,a1,b0b0且且b1),b1),则函数则
12、函数f(x)=af(x)=ax x与与g(x)=-logg(x)=-logb bx x的图象可能是的图象可能是()(2)(2018(2)(2018南京模拟南京模拟)已知实数已知实数a0,f(x)=a0,f(x)=若方程若方程f(x)=-af(x)=-a2 2有且仅有两个不等实根，且较大实根大于有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2 2，则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解题视点】【解题视点】(1)(1)根据条件将根据条件将b b用用a a表示表示,进而根据进而根据f(x)=af(x)=ax x与与g(x)=-logg(x)=-logb bx x的解析式关系确定图象的解析式关系
13、确定图象.(2)(2)作出函数作出函数y=f(x)+ay=f(x)+a2 2的图象的图象,数形结合求解数形结合求解.212x2ax,x1,log x,x1.3434【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为lg a+lg b=0lg a+lg b=0，即，即lg ab=0,lg ab=0,所以所以ab=1,ab=1,得得b=,b=,故故g(x)=-logg(x)=-logb bx=-log x=logx=-log x=loga ax,x,则则f(x)f(x)与与g(x)g(x)互为反函数，其图象关于直线互为反函数，其图象关于直线y=xy=x对称，结合图对称，结合图象知，象知，B
14、B正确正确.1a1a(2)(2)根据题意，作出函数根据题意，作出函数y=f(x)+y=f(x)+的图象，的图象，发现：当发现：当x1x1时，函数的图象是由时，函数的图象是由y=y=log xlog x的图象向上平移的图象向上平移 个单位而个单位而得，它与得，它与x x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1 1；而；而x1x1时时的图象是抛物线的一部分，各段图象如图，的图象是抛物线的一部分，各段图象如图，23a41223a4若方程若方程f(x)=-f(x)=-有且仅有两个不等实根，且较大实根大于有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2 2，则有：，则有：解得解得即即
15、 a2,a2,所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是(，2.2.答案：答案：(，2223a42122123y12aa0,43ylog 2a0,4 2a2,32 3a,32 332 332 33【互动探究】【互动探究】若本例若本例(2)(2)中的条件变为：中的条件变为：“已知函数已知函数f(x)=f(x)=且关于且关于x x的方程的方程f(x)-a=0f(x)-a=0有两个实根有两个实根”,则实数则实数a a的范围如何？的范围如何？【解析】【解析】当当x0 x0时，时，0202x x1,1,由图象可知方程由图象可知方程f(x)-a=0f(x)-a=0有两有两个实根，即个实根，即y=f(x
16、)y=f(x)与与y=ay=a的图象有两个交点，所以由图象可知的图象有两个交点，所以由图象可知0a1.0a1.2xlog x,x0,2,x0,【易错警示】【易错警示】注意图象的准确性注意图象的准确性利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式等利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式等问题时切记图象的范围、形状一定要准确问题时切记图象的范围、形状一定要准确,否则数形结合时将否则数形结合时将误解误解.【规律方法】【规律方法】利用对数函数的图象可求解的两类热点问题利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数对一些可通过平移、
17、对称变换作出其图象的对数型函数,在在求解其单调性求解其单调性(单调区间单调区间)、值域、值域(最值最值)、零点时、零点时,常利用数形常利用数形结合思想求解结合思想求解.(2)(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题题,利用数形结合法求解利用数形结合法求解.【变式训练】【变式训练】(1)(2018(1)(2018郑州模拟郑州模拟)当当0 x 0 x 时，时，4 4x xlogloga ax,x,则则a a的取值范围是的取值范围是()()A.(0A.(0，)B.()B.(，1)1)C.(1C.(1，)D.()D.(，2)2)122
18、22222【解析】【解析】选选B.B.由由0 x ,04x4x x0,0,可得可得0a1,0a1,由由 可得可得a=a=令令f(x)=4f(x)=4x x,g(x)=log,g(x)=loga ax,x,若若4 4x xlogloga ax,x,则说明当则说明当0 x 0 .a .综上，可得综上，可得a a的取值范围是的取值范围是(，1).1).1212a14log22,2122222(2)(2)函数函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的单调递减区间为的单调递减区间为,单调递增区单调递增区间为间为.【解析】【解析】作出函数作出函数y=logy=log2 2x x的图象的图象,再将再
19、将其关于其关于y y轴对称轴对称,两支共同组成函数两支共同组成函数y=y=loglog2 2|x|x|的图象的图象,再将图象向左平移再将图象向左平移1 1个单个单位长度就能得到函数位长度就能得到函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的图的图象象(如图所示如图所示).).由图知由图知,函数函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的单调递减区间为的单调递减区间为(-,-1),(-,-1),单调递增区间为单调递增区间为(-1,+).(-1,+).答案答案:(-,-1)(-,-1)(-1,+)(-1,+)【加固训练】【加固训练】1.1.已知函数已知函数f(x)=lnx,g(x)=lg
20、x,h(x)=logf(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log5 5x,x,直线直线y=a(a0)y=a(a0)与与这三个函数图象的交点的横坐标分别是这三个函数图象的交点的横坐标分别是x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,则则x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的的大小关系是大小关系是()A.xA.x2 2xx3 3xx1 1 B.x B.x1 1xx3 3xx2 2C.xC.x1 1xx2 2xx3 3 D.x D.x2 2xx1 1xx3 3【解析】【解析】选选A.A.在同一坐标系中画出三个在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线函数的图象及直线y=a(a0),y=a(ax
21、x3 3xx2 2,故选故选A.A.2.(20182.(2018太原模拟太原模拟)已知函数已知函数若若a,b,ca,b,c互不相等，且互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)f(a)=f(b)=f(c)，则，则abcabc的取值范围的取值范围是是()()A.(1,10)B.(5,6)A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)C.(10,12)D.(20,24)|lg x|,0 x10,f x1x6,x10,2【解析】【解析】选选C.C.作出作出f(x)f(x)的大致图象的大致图象.不妨设不妨设abc,abc,因为因为a,b,ca,b,c互不相等互不相等,且且f(a)=f
22、(b)=f(c),f(a)=f(b)=f(c),由函数的图象由函数的图象可知可知10c12,10cba B.bca C.acb D.abcA.cba B.bca C.acb D.abc(2)(2018(2)(2018衡水模拟衡水模拟)关于函数关于函数f(x)=lg (x0),f(x)=lg (x0),有下列有下列命题命题:其图象关于其图象关于y y轴对称轴对称;当当x0 x0时时,f(x),f(x)是增函数是增函数;当当x0 x-1x|x-1不关于原点对称不关于原点对称,故选故选D.D.2x11x12.(20182.(2018北京模拟北京模拟)函数函数f(x)=f(x)=的定义域为的定义域为(
23、)()A.(0A.(0，+)B.(1,+)+)B.(1,+)C.(0,1)D.(0,1)(1,+)C.(0,1)D.(0,1)(1,+)【解析】【解析】选选B.B.要使函数有意义，要使函数有意义，则有则有 即即所以解得所以解得x1,x1,即定义域为即定义域为(1(1，+).+).x0,x0,x1x0,x x10,12xln xx13.(20183.(2018重庆模拟重庆模拟)设函数设函数f(x)=f(x)=若若f(a)f(-a),f(a)f(-a),则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是()()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(
24、1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)【解析】【解析】选选C.C.由题意可得由题意可得 或或解得解得a1a1或或-1a0.-1aba B.bcaA.cba B.bcaC.abc D.bacC.abc D.bac【解析】【解析】选选B.B.依题意得依题意得a=lnx(-1,0),b=(1,2),c=a=lnx(-1,0),b=(1,2),c=x(ex(e-1-1,1),1),因此因此bca.bca.ln x1()2ln x1()22.(20182.(2018成都模拟成都模拟)函数函数f(x)=logf(x)=loga a(
25、6-ax)(6-ax)在在0,20,2上为减函数上为减函数,则则a a的取值范围是的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)A.(0,1)B.(1,3)C.(1,3 D.3,+)C.(1,3 D.3,+)【解析】【解析】选选B.B.当当0 x20 x2时时,函数函数t=g(x)=6-axt=g(x)=6-ax单调递减单调递减,所以要所以要使函数使函数f(x)f(x)为减函数为减函数,所以函数所以函数y=logy=loga at t为增函数为增函数,所以有所以有a1a1且且g(2)=6-2a0,g(2)=6-2a0,即即1a3,1a0,a1),(8-ax)(a0,a1),若若f(x)1f(x)
26、1在区间在区间1,21,2上恒成立上恒成立,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为.【解析】【解析】当当a1a1时时,f(x)=log,f(x)=loga a(8-ax)(8-ax)在在1,21,2上是减函数上是减函数,由由f(x)1f(x)1恒成立恒成立,则则f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-2a)1,(8-2a)1,解之得解之得1a ,1a ,83若若0a10a1f(x)1恒成立恒成立,则则f(x)f(x)minmin=log=loga a(8-a)1,(8-a)1,且且8-2a0,8-2a0,所以所以a4,a4,且且a4,a0)(a0且且a1)a1)的单调递减区
27、间的单调递减区间.【解析】【解析】【误区警示】【误区警示】【规避策略】【规避策略】【类题试解】【类题试解】(2018(2018成都模拟成都模拟)设设a0,a1,a0,a1,函数函数f(x)=f(x)=有最大值有最大值,则不等式则不等式logloga a(x(x2 2-5x+7)0-5x+7)0的解集为的解集为.【解析】【解析】设设t=lg(xt=lg(x2 2-2x+3)=lg(x-1)-2x+3)=lg(x-1)2 2+2,+2,因为因为(x-1)(x-1)2 2+22,+22,所所以当以当xRxR时时,t,tminmin=lg2,=lg2,又函数又函数y=f(x)y=f(x)有最大值有最大
28、值,所以所以0a1,0a0,-5x+7)0,得得 解得解得2x3.2x0,且且a1)叫做对数函数叫做对数函数.其中其中x是自变量，是自变量，想一想？想一想？对数函数解析式有哪些结构特征？对数函数解析式有哪些结构特征？底数：大于底数：大于0且不等于且不等于1的常数的常数真数真数:单个自变量单个自变量x系数：系数：log a x 的系数为的系数为1定义域是定义域是(0,)练习练习1下列函数中，哪些是对数函数？下列函数中，哪些是对数函数？;log2;1log;log822xyxyxya.log);1,0(log5xyxxayx且解：解：中真数不是自变量中真数不是自变量x，不是对数函数；，不是对数函数
29、；中对数式后减中对数式后减1，不是对数函数；，不是对数函数；中系数不为中系数不为1，不是对数函数；，不是对数函数；真数不是自变量真数不是自变量x，而是常数，不是对数函数；，而是常数，不是对数函数；是对数函数。是对数函数。练习：优化设计练习：优化设计P41 随堂练习随堂练习 3，5列列表表描描点点 y=log2x图象图象连连线线21-1-21240yx32114xy2log124xxy2log4121-2-1012（二）对数函数的图像和性质（二）对数函数的图像和性质 x1/41/2124.y=log2x-2-1012210-1-2列列表表描描点点连连线线21-1-21240yx32114xy21
30、logxy21logxy2log图像图像xy21log底数底数a对对数函数对对数函数y=logy=loga ax x的的图象有什么影响？图象有什么影响？想一想？想一想？xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1xyalog1返回返回再来一遍再来一遍xyalog1y=logy=loga ax x0 a 1y=logy=loga ax x对数函数对数函数y=logy=loga ax x的性质
31、分析的性质分析函函 数数y=loga x （a1)y=loga x (0aa1dc0在第一象限内，利用图像比较底数的大小，a,b,c,d,和1,0例例1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域（1）2logayx（2）log(4)ayx解：（1）因为20,x 所以函数2logayx的定义域是-+（，0）（0，）（2）因为4-0,x 4,x 即所以函数log(4)ayx的定义域是(,4)例题讲解例题讲解,0 x则练习2：课本P732（1）（2）（3）优化设计：P41（例2；随堂1，2）对数定点问题：优化设计：P41（例3；随堂4）例例2：比较下列各组中，两个值的大小：比较下列各组中，两个值的大小：
32、（1）log23.4与与 log28.5 （2）log 0.3 1.8与与 log 0.3 2.7 log23.4log28.5y3.4xy2logx108.5 log23.4 1,函数在区间（函数在区间（0，+）上是增函数；上是增函数；3.48.5 log23.4 log28.5 例例2：比较下列各组中，两个值的大小：比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与与 log28.5（2）log 0.3 1.8与与 log 0.3 2.7 解解2：考察函数：考察函数y=log 0.3 x ,a=0.3 1,函数在区间（函数在区间（0，+）上是减函数；）上是减函数；1.8 log 0.3
33、2.7 .根据单调性得出结果。根据单调性得出结果。例例2：比较下列各组中，两个值的大小：比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与与 log28.5（2）log 0.3 1.8与与 log 0.3 2.7 小小结结比较两个比较两个同底同底对数值的大小时对数值的大小时:.观察底数是大于观察底数是大于1还是小于还是小于1（a1时为增函数时为增函数 0a1时为减函数）时为减函数）.比较真数值的大小；比较真数值的大小；练习练习3变一变还能口答吗？变一变还能口答吗？10100.50.522331.51.5loglogloglogloglogloglognmnmnnm则 mn则 mn则 mnm则
34、mn6lg8lg6log5.04log5.05.0log326.0log326.1log5.14.1log5.1教 学 总 结对数函数的定义对数函数的定义对数函数图象对数函数图象对数函数性质对数函数性质(二）二）对数函数对数函数y=logax与指数函数与指数函数y=ax的关系的关系。提示：分别将提示：分别将 y=2x 和和y=log2x y=0.5x 和和y=log0.5x的图象画在一个坐标内的图象画在一个坐标内，观察图象的特点！，观察图象的特点！(一）你能比较一）你能比较log34和和log43的大小吗？的大小吗？作业作业（课后思考）（书面作业）P82-5例例3 比较下列各组中两个值的大小比较下列各组中两个值的大小:.log 67,log 7 6;.log 3,log 2 0.8.解解:log67log661 log76log771 log67log76 log3log310 log20.8log210 log3log20.8Thank you!
