1、1.1 任意角任意角 高一数学组 新课引入新课引入 :初中角的有关概念 ; ) 1 ( 形到另一个位置所成的图 点从一个位置旋转平面内一条射线绕着端 .3600:)2( 00 范围都在 G S P . ,: 转方向 又要知道旋既要知道旋转量实际使用中的角 新课讲解新课讲解 :规定 ;) 1 (的角叫做正角按逆时针方向旋转形成 ;)2(的角叫做负角按顺时针方向旋转形成 .,) 3(则形成零角若射线没有作任何旋转 角 任意角 推广 新课讲解新课讲解 : , 标系 我们常将角放入直角坐为了讨论问题的方便 ; ,) 1 ( 重合 轴非负半轴始边与使角的顶点与原点重合x ; ,)2( 限角 就说这个角是
2、第几象角的终边在第几象限 . ,)3( 何象限 就说这个角不属于任角的终边在坐标轴上 练习 0000000 300 , 150 , 60 ,60 ,210 ,300 ,420 , 角分别是第几象限角?其中哪些角终边相同? 练习：课本1 新课讲解新课讲解 可构成一个集合 在内连同角终边相同的角所有与角一般地, ZkkS,360| 0 . , 与整数个周角的和 都可以表示成角终边相同的角即任一与角 新课讲解新课讲解 ., 12950,36001 000 并判定它是第几象限角相同的角 角终边找出与范围内、在例 .2轴上的角的集合、写出终边在例y G S P Key:12948，为第二象限角 练习：课
3、本2、3 新课讲解新课讲解 . 720360 ,3 00 出来 写的元素中适合不等式把 并上的角的集合、写出终边在直线例 S Sxy G S P 练习：课本4、5 总结总结 1、角的推广 2、象限角 3、终边相同的角 4、由图形写出角的集合表示 及由角的集合找出图形表示 作业 目标：目标： 1、理解并掌握弧度制的定义，、理解并掌握弧度制的定义， 2、能进行角度与弧度之间的换算。、能进行角度与弧度之间的换算。 3、能用弧度制解决简单的问题、能用弧度制解决简单的问题 温故而知新温故而知新 1、角度制的定义、角度制的定义 规定周角的规定周角的1/360为为1度的角这种用度做单位来度的角这种用度做单位
4、来 度量角的制度叫角度制。度量角的制度叫角度制。 1 2、弧长公式及扇形、弧长公式及扇形 面积公式面积公式 nR 180 l= nR2 360 S= n R l 1、弧度制 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心我们把等于半径长的圆弧所对的圆心 角角 叫做叫做1弧度的角。弧度的角。 设弧设弧AB的长为的长为l， 若若l=r，则，则AOB= 1 弧弧 度度 l r = O B r l=r A 1弧度弧度 讲授新课讲授新课 则则AOB= 2 弧度弧度 l r = 则则AOB= 2弧度弧度 l r = r O A B l=2r 2弧度弧度 l=2 r O A (B) r 若若l=2r， 若若l=2 r，
5、2弧度弧度 若圆心角若圆心角AOB表示一个负角，且它表示一个负角，且它 所对的弧的长为所对的弧的长为3r，则，则AOB的弧度的弧度 数的绝对值是数的绝对值是 l r = 3， 即即AOB= l r = 3弧度弧度 l=3r O A B r -3弧弧 度度 由弧度的定义可知：由弧度的定义可知： 圆心角圆心角AOB的弧度数的绝对值等于的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。它所对的弧的长与半径长的比。 定定 义义 的的 合合 理理 性性 1弧度弧度 R l=R O A B 1弧度弧度 r l=r O A B 与 半 径 长 无 关 与 半 径 长 无 关 的 一 个 比 值 的 一 个
6、比 值 一般地，我们规定：一般地，我们规定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝的弧度数的绝 对值：对值： = l r 其中其中l为以角为以角作为圆心角时所对圆弧的长，作为圆心角时所对圆弧的长，r r 为圆的半径。这种用为圆的半径。这种用“弧度弧度” 做单位来度量角的做单位来度量角的 制度叫做制度叫做弧度制弧度制。 2 2、弧度与角度的换算、弧度与角度的换算 l r = 则则AOB= 2弧度弧度 此角为此角为 周角周角 即为即为 360 360= 2 弧度弧度 180= 弧度弧度
7、 l=2 r O A (B) r 若若l=2 r， 由由180= 弧度弧度 还可得还可得 1= 弧度弧度 001745弧度弧度 180 1弧度弧度 =（） 5730= 5718 180 3 3、例题、例题 例例1. 把下列各角把下列各角化成弧度化成弧度 (1) 67 30 (2) 120 (3) 75 (4) 135 (5) 300 (6) - 210 8 8 3 3 ) 1 ( 3 3 2 2 ) 2( 1212 5 5 ) 3 ( 4 4 3 3 ) 4( 6 6 7 7 ) 6( 3 3 5 5 ) 5 ( 例例2: 把下列各弧度化成度把下列各弧度化成度. (1) (2) (3) (4)
8、 5 5 3 3 1212 5 5 4 4 6 6 5 5 (1)108o (2)15o (3)-144o (4)-150o 注注： 1、对于一些特殊角的度数与弧度数、对于一些特殊角的度数与弧度数 之间的换算要熟记。之间的换算要熟记。 度度 0 30 45 60 90 180 270 360 弧弧 度度 0 2 6 2 4 3 3 2 2、用弧度为单位表示角的大小时，、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用“弧度”二字通常省略不写，但用 “度”（“度”（）为单位不能省。）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少”的形式
9、。的形式。 例3、把下列各角化成 的形式： kk，202 （1） ；（2） ；（3） 3 16 315 7 11 164 4 33 （1）： 113 2 77 （3）： 8)4( )84(48)4( （2）: 4 2 4 7 3150 4例例.象限象限试判断下列各角所在的试判断下列各角所在的 5 )1( 5 11 )2( 3 2000 )3( 1)4( 4)5(8)6( 5 )1( 25 0 . 5 是第一象限角是第一象限角 5 11 )2( 5 2 5 11 . 5 11 是第一象限角是第一象限角 3 2000 )3( 3 4 668 3 2000 2 3 3 4 又又. 3 2000 是第
10、三象限角是第三象限角 )57. 1 2 41. 3( 2 10 4例例.象限象限试判断下列各角所在的试判断下列各角所在的 4)5( 8)6( 1)4( .1是第一象限的角是第一象限的角 2 3 4 .4是第三象限的角是第三象限的角 .8.56.124 ,28. 62,14. 3: 介于两数之间而 得由于分析 )84(48 2 3 84又 .8是第三象限的角是第三象限的角 解题思路解题思路 ,的角所在象限的角所在象限判断一个用弧度制表示判断一个用弧度制表示 一般是将其化成一般是将其化成)(2 然然的形式的形式, .所在象限予以判断所在象限予以判断后再根据后再根据 不能写成不能写成注意注意:)()
11、12( .的形式的形式 例例 , 3 3 3 10 的形式的形式写成写成不能不能 3 4 2 写成写成而应而应 4 4、圆的弧长公式及扇形面积公式、圆的弧长公式及扇形面积公式 O l r l = r 由由= l r 得得 S = l r 1 2 = r2 1 2 5例 . ,cm4,cm8 2 度数度数求该扇形的圆心角的弧求该扇形的圆心角的弧 面积为面积为已知扇形的周长为已知扇形的周长为 L R :解解则由则由弧长为弧长为设扇形半径为设扇形半径为,L,R 8LR2 4LR 2 1 4L2R 得得解解 的弧度数为的弧度数为故该扇形的圆心角故该扇形的圆心角 R L 2 4 2 4、用弧度来度量角，
12、实际上用弧度来度量角，实际上角的集合角的集合 与与实数集实数集R之间建立一一对应的关系：之间建立一一对应的关系： 实数集实数集R R 角的集合角的集合 正角正角 零角零角 负角负角 正实正实 数数 零零 负实数负实数 对应对应 角的角的 弧度弧度 数数 练习、下列角的终边相同的是（ ） A 4 k kk， 4 2 与 与 与 与 B 3 2 2 k k， 3 C 2 k kk， 2 D 12kkk ，3 B 练习练习 .,求出角的范围求出角的范围已知角的终边区域已知角的终边区域如图如图 x y 0 0 45 (1) x y 0 0 45 (2) )( 2 2 4 2| )( 24 | 练习练习
13、 )() 1k2(2|A 已知已知 66|B BA:则则 如图如图解解: 066 2 2 , 2 , 1, 3, 2时时或当或当时时当当 已超出已超出 .)6 , 6(的范围的范围 0,6|或或 小结：小结： 1、量角的制度、量角的制度:角度制与弧度制角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外，弧度制除了使角与实数有一一对应关系外， 为以后学习三角函数打下基础。为以后学习三角函数打下基础。 2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 lr 3、弧长公式： 2 11 22 Slrr 扇形面积公式： （其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数) l
14、例例3 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）： 1、 终边与终边与X轴正半轴重合轴正半轴重合； 2、 终边与终边与X轴负半轴重合；轴负半轴重合； 3、 终边与终边与X轴重合；轴重合； 4、 终边与终边与Y轴正半轴重合轴正半轴重合； 5、 终边与终边与Y轴负半轴重合轴负半轴重合； 6、 终边与终边与Y轴重合轴重合； 7、第一象限内的角、第一象限内的角； 8、第二象限内的角、第二象限内的角； 9、第三象限内的角、第三象限内的角； 10、第四象限内的角、第四象限内的角； )(2| )(2| )(| )( 2 2| )( 2 3 2| )( 2 | )( 2
15、22| )(2 2 2| )( 2 3 22| )(22 2 3 2| 任意角的三角函数任意角的三角函数 教材：苏教版高中实验教科书数学第四册 第1.2节 日出日落，寒来暑往自然 界中有许多“按一定规律周而 复始”的现象，一个简单又基 本的例子便是“圆周上一点的 运动” y x P(x,y) O r O P r 为了回答上述问题，需要将点P表示 出来，思考： （1）如图2，以水平方向作参照方 向，有序数对（r, ）可以表示点P （2）如图3，以水平线为x轴，圆心 O为坐标原点建立直角坐标系，有序 数对（x,y)也可以表示点P （3） ,r,x,y之间有着怎样的内在 联系呢？ 图2 图3 sin
16、 cos tan a c a A C B b c b c a b 答案 初中时，我们怎样利用直角三角形定义了 锐角三角函数的呢？ 怎样将直角的三角函数推广到任意角？怎样将直角的三角函数推广到任意角？ sin cos tan y 角 的终边在第一象限上 y r x r y x 答案 P（x,y) O x 的终边 M 角的正弦，余弦，正切与P 点的选取有关吗？为什么 思考：角的终边如果在第二象限， 第三象限，第四象限呢？ 如果角的终边落在坐标轴上呢？ 对于确定的角 都 惟一确定，故正弦和余 弦都是角 的函数。当角 时，角 的终边在y轴上，故有x=0，这时 tan 无意义，除此之外，对于 确定的角
17、（ ），比值 也是惟一确定的，故正切也是 角 的函数。 yx , rr 比值和 () 2 kkZ () 2 kkZ y x 例题： 例例1. 1. 如图如图, ,已知角已知角 的终边经过点的终边经过点P(2,P(2,- -3),3),求求 的三个三角函数值的三个三角函数值. . 变式：角的终边落在直线3x+2y=0上, 求的三角函数值. 角 的终边经过点(2a,-3),cos = 求a的值. 2 13 13 三角函数 定义域 y=sinx y=cosx y=tanx 由于角的集合与实数集之间建立了一一对应的由于角的集合与实数集之间建立了一一对应的 关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函关系，
18、三角函数可以看成以实数为自变量的函 数。在弧度制下，三角函数的定义域如下：数。在弧度制下，三角函数的定义域如下： | 2 x xk 三 角 函 数 的 定 义 域 R R 在各象限内的角的三种三角函数值的符号 x O y 正弦函数 O x y 余弦函数 O x y 正切函数 你能举出一些熟悉的角度吗？ 判断他们的符号，并求出他们 的三个三角函数值。 必修四必修四 1.2.3节节 一、问题情境一、问题情境 M O O P 1 的 终边 公式公式 一一 cos(2k+)=cos tan(2k+)=tan Sin(2k+)=sin 其中KZ 终边相同的角的同一三角函数值相等 问题情境问题情境 问题情
19、境问题情境 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系， 如如与与的终边关于的终边关于x轴轴对称、关于对称、关于y轴对称、关于轴对称、关于原点原点对称，对称， 那么它们的正、余弦三角函数值分别有何关系呢？那么它们的正、余弦三角函数值分别有何关系呢？ 二、构二、构 建建 数数 学学 探究一、若探究一、若与与的终边关于的终边关于X轴对称，轴对称， 它们的三角函数之间有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ M 1 y x P P o 的终边的终边 的终边的终边 sinsin coscos tantan 公式公式 二二 sinsin coscos
20、 tantan 探究二、若探究二、若与与的终边关于的终边关于y轴对称，轴对称， 它们的三角函数之间有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 公式公式 三三 sinsin coscos tantan 的终边的终边 的终边的终边 P 1 y x P o M M sinsin coscos tantan 分析：分析： 探究三、若探究三、若与与的终边关于原点对称，的终边关于原点对称， 它们的三角函数之间有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 的终边的终边 的终边的终边 P 1 y x P o M M 公式公式 四四 sinsin coscos tantan sinsin coscos tanta
21、n 分析：分析： 三、数三、数 学学 运运 用用 -正弦、余弦、函数图象正弦、余弦、函数图象 三角函数图象和性质三角函数图象和性质 sin(2k +x)= (k Z) sinx x y 2345 6 0 2 1 - 1 y=sinx (x R) 一、正弦函数的“五点画图法”一、正弦函数的“五点画图法” (0,0)、( , 1)、( ,0)、( ,-1)、 (2 ,0) 2 2 3 0 x y 1 - 1 2 2 3 2 0 x y 1 - 1 2 2 32 练习练习：用“五点画图法”画出正弦函数 y=sinx x 0, 2 的图象 x y 2345 6 0 2 1 - 1 2 sin( x+
22、)= 2 一、余弦函数一、余弦函数y=cosx(x R)的图象的图象 cosx y=sinx的图象的图象 y=cosx的图的图 象象 2 2 3 余弦函数的“五点画图法”余弦函数的“五点画图法” (0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( , 1) 2 2 3 2 o x y 2 2 3 2 1 - 1 例：画出下列函数的简图例：画出下列函数的简图 (1)y=1+sinx， x 0, (2)y= - cosx， x 0, 2 2 解：(1)按五个关键点列表：y=1+sinx x0,2 x sinx 1+sinx 0 2 2 3 2 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 o x y
23、 1 2 2 2 3 2 y=1+sinx x 0, 2 (2)按五个关键点列表 x cosx -cosx 0 2 2 3 2 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 o x y 1 2 2 3 2 y=-cosx x 0, 2 -1 思考思考： 1、函数、函数y=1+sinx的图象与函数的图象与函数y=sinx的图象有什么关的图象有什么关 系？系？ 2、函数、函数y=-cosx的图象与函数的图象与函数y=cosx的图象有什么关的图象有什么关 系？系？ o - 1 1 2 2 2 32 y=sinx x 0, y=1+sinx x 0, 2 2 y x y x o 2 2 3 2 - 1
24、 1 y=cosx x 0, y=-cosx x 0, 2 2 小结： 正弦函数、余弦函数图象的五点法正弦函数、余弦函数图象的五点法 练习：（1）画出函数y=-sinx x 0,2 (2)画出函数y=1+cosx x 0,2 (3)画出函数y=2sinx x 0,2 1 - 1 2 2 3 2 y= -sinx, x 0, 2 1 2 2 2 3 2 y=1+cosx, x 0, 2 ( 1) ( 2) x x y y ( 3) 2 1 - 1 -2 2 2 3 2 y x y=2sinx, x 0, 2 作业作业：见教材见教材 重点：让学生能运用三角函数概念、 图象、性质、同角三角函数的基本
25、 关系式、和差角公式等求有关最值 问题；掌握求最值常见思想方法。 难点：利用三角函数的性质求有关 最值。 下页 2.y=sinx,y=cosx的值域是 。 3.y=asinx+bcosx的值域是 。 4.a+b=m,求a b 的最大值？ （a0,b0，m0) 5.函数f(x)在a,b上单调递增，则f(x)的最小值为 ，最大值为 。 f(a) f(b) -1,1 - , 22 ba 22 ba 1、求函数最值常见方法： 利用基本函数法，配方法，分离常数法，换 元法，数形结合法，基本不等式法，函数单 调性法等等 4 2 m 0 2 5 1 1、求下列函数的求下列函数的 (-1x 1）最大）最大 值
26、值 、最小值、最小值 。 16 15 ) 4 5 ( 2 xy2、 (-1x 1）的最小值是）的最小值是 。 xy 4 1 1 cos1 3 yx 3、(2003 北京春招北京春招)设设M和和m分别表示分别表示 的最大值和最小值，则的最大值和最小值，则M+m 等于等于( ) 224 .2 333 ABCD D 【例例1】已知函数已知函数y=3cosx-2,求该函数的最求该函数的最 值？值？ 变式1：若x ? 4 , 0 变式2：y= 求y的最值？ 2cos3 1 x 最大值为 1 最小值为-5 最大值为 1 ， 最小值为 2 2 23 无最大值， 无最小值 变式变式3：若：若 求该函数求该函数
27、 最值？最值？ x x xf cos cos21 )( 变式变式4：若：若 求该函数求该函数 最值？最值？ x x xf sin sin21 )( 2 无最大值， 无最小值 无最大值， 无最小值 2 变式变式5： 已知函数已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x， ()求求f(x)的最小正周期；的最小正周期； ()若若x0， ，求，求f(x)的最大值、最小值的最大值、最小值. 解析：解析：()因为因为 2222 (cossin)(cossin)sin2xxxxx 44 ( )cos2sin cossinf xxxxx cos2sin22cos(2) 4 xxx 2 2 T 与例
28、1有何关系？ 0, 2 x 5 2 444 x 2( )1; 44 xxf x max 当，即0时,() 2( )2. 48 xxf x min 3 当，即时,() (2)( )2cos(2) 4 f xx 【例例2】已知 函数y=2sinx+3cosx ，求求 该函数的最值？该函数的最值？ 变式1：一般地y=a sinx+b cosx,其中 a、b 为已知实数，a、b为任意实数， 求其最值？ 最大值为 最小值为- 13 13 最大值为 最小值为- 22 ba 22 ba 【例例3】 已知 ， 求该函数的最值？ 3cossin2)( 2 xxxf 变式1：已知 求该函数的最值？ 2cossin
29、2cossin)(xxxxxf 变式练习：已知 求该函数的最值？ 3cos2sin)( 2 xxxf 最大值为 最小值为 最大值为 5 最小值为1 4 3 23 【例例4】 已知函数 求该函数最值？ 法一）解析：（法一）：函数解析：（法一）：函数 的几何意义为两点的几何意义为两点 连线连线 的斜率的斜率k，而，而Q点的轨迹为单位圆，则有点的轨迹为单位圆，则有: sin cos2 x y x ( 2,0),(cos ,sin )PQxx 33 33 k maxmin 33 , 33 yy 2cos sin )( x x xfy cos2sinyxyx去分母得： maxmin 33 , 33 yy
30、 故 （法二）：（法二）： sincos2xyxy则 222 33 1(2 ). 33 yyy 22 22 2 1sin()2sin() 1 y yxyx y 则 变式1：已知函数 求函数的最值？ 4sin2 cos3 )( x x xfy 最大值为 ， 最小值为 2 3 2 3 2sin2 tanyxx 1、已知、已知 ，则，则( ) A、函数最小值为、函数最小值为2，最大值为，最大值为0 B、函数的最小值为、函数的最小值为4 C、函数无最小值，最大值为、函数无最小值，最大值为0 D、函数最小值为、函数最小值为4，最大值为，最大值为4 C 2、已知，、已知， 求函数的最求函数的最 小值是小值
31、是 。 2cossinxxy 22 小试身手 3.已知已知 求求 的最值？的最值？ cos1 sin )( fy 4.求求 的最值？的最值？ xxycos) 6 sin( 5.设设x、y满足满足x2 + y2 =1，求，求 3x+4y 的最大值？的最大值？ 2 , 0 最大值为 1， 最小值0 最大值为5 最大值为 最小值为 4 1 4 3 课外作业：课外作业： 1、函数、函数y=(sinx+1)(cosx+1)的最大值和最小值的最大值和最小值 分别是分别是 、 . 2、设函数、设函数y=acosx+b(a，b为常数且为常数且a0)的最的最 大值为大值为1，最小值为，最小值为7，那么，那么ac
32、osx+bsinx的最的最 大值为大值为 ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 3、设函数、设函数y=4sinx cosx+sin2x+1,求求y的的 最值？最值？ 五、课堂小结 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值 2 、配方法求最值:转化为二次函数在闭区间上 的最值问题，一、 如求函数 2 sinsin1yxx 二、如 同时出现的题型。 用换元法解决 xxxxcossin,cossin 5、换元法求最值尤其是三角换元 3、分离常数法，解决形如 型的函数。 dxb cxa y sin sin 4、数形结合，解决形如 型的函数。 dxb cxa y cos sin 6、利用不等式单调
33、性求最值 六）作业六）作业： P69 T8-T11-T12 图象性质图象性质 任意角任意角 三角函数三角函数 基本基本 关系式关系式 诱导公式诱导公式 高中数学高中数学 知识体系知识体系 注意问题注意问题 方法指导方法指导 首页首页 结束 放映 (2)角的度量: 角度制:圆周360等分之一的弧所对的圆心角为1 角角. 弧度制:等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度角弧度角. 换算:=180,1(弧度)57174557.3,1= (弧度). (一一)任意角的三角函数任意角的三角函数 1.角的概念角的概念 2.三角三角 函数函数 (3)终边相同的角与象限角的表示: |=2k+,kZ或|=360k+,
34、kZ(,终边相同) x轴正半轴=2k,kZ x轴负半轴=2k+,kZ 2 y轴正半轴=2k+ ,kZ y轴负半轴=2k+ ,kZ 3 2 2 2k+ 2k ,kZ 终边相同的角 轴 线 角 象 限 角 2k+ 2k+2,kZ 3 2 2k+2k+ ,kZ 3 2 180 2k+ 2k+,kZ 2 1.角的概念: (1)正角、负角、零角的含义. 返返 回回 练练 习习 2.三角函数: (1)三角函数的定义: 正弦sin; 余弦cos; 正切tan; 余切cot; 正割sec; 余割csc (4)特殊角的三角函数值: (3)三角函数的符号:(正弦一二象限取正,余弦一四取正,正切一三取正) sin
35、cos tan cot 0 6 4 3 2 3 2 2 .P O x y 设设P(x,y)为为终边上任一点终边上任一点, 则则:sin = , cos = , tan = , cot = , sec = , csc = . 其中其中r= x2+y2 . r x r y y x y r x r x y (2)用线段表示三角函数: 正弦线MP、余弦线OM、 正切线AT、(余切线) O M A P T x y 其中A(1,0),试画出其他象限角 对应的三线,并说出正负! 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 3 1 0 -1 1 0 1 2 1 0 不存在 不存在 -1 0 0 不
36、存在 0 0 1 0 不存在 不存在 0 1 3 3 自己先试说说自己先试说说 它们是怎样用这它们是怎样用这 平面直角坐标系平面直角坐标系 定义的定义的. 练习一练习一(4题题) 1.设的终边在直线y=-2x上,那么sin 的值为( ) (A) (B) (C) (D) 5 5 25 5 25 5 - 25 5 C 2.把-75化成弧度,并以弧度制写出与这 个角终边相同的 角的集合. 75 5 答答:-75 =- =- ，与这个角终边相同的，与这个角终边相同的 角的集合为角的集合为: | =2k - ,k Z 18 0 1 2 5 12 3.下列各组角中,终边相同的一组是( ) (A) 与k+
37、(kZ) (B)(2k+1)与(4k1)(kZ) (C)k+ 与2k (kZ) (D)k+ 与 (kZ) k 2 2 6 6 3 k 3 B 4.已知是第二象限角,那么-、 、 各是第几象限角? 2 3 答案答案:- 是第三象限角是第三象限角, 是第一或第三象是第一或第三象 限角限角, 是第一或第二或第三象限角是第一或第二或第三象限角. 3 2 详 解 详 解 解题提示解题提示:令令k=-1,0,1,2,3,4等列出等列出 几个值即可比较得几个值即可比较得. 返返 回回 回首页 (二二)同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 1.关系式关系式 2.应用应用 1.关系式(三倒二商三平方
38、): (1)sincsc=1;cossec=1;tancot=1 (2)tan= ; cot= (3)sin2+cos2=1;1+tan2=sec2;1+cot2=csc2 cos sin sin cos 2.利用上述关系,可以解决以下问题: (1)已知某角的一个三角函数值,求其他各三角函数值; (2)化简某些三角函数式; (3)证明某些三角恒等式. 例:已知sincos= ,且 0,0时,A称为该函数的振幅振幅, 2 =T称为函数的周期周期, (为角速度),x+称为函数的相位相位,称为函数的初相初相. (2)当A0,0,xR时,y=Asin(x+)的图象,可以看作把y=sinx 的图象上的所
39、有的点向左(当0)或向右(1)或伸长(01)或 缩短(0A0,A0)的图象如右, 则函数的解析式为_. y x O - (0,- ) 3 5 2 - 5.函数y=cos2x+4sinx+1的最大值为_.最小值为_. 6.已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间. 详详 解解 B D 3 -1 y=2sin( + ) 2x 3 5 3 5 -3 详详 解解 答案答案:(1)定义域定义域(k - ,k + )(k Z);值域值域y|y0; (2)偶函数偶函数;(3)在在(k - ,k ,在在k ,k + )(k Z) 4 4 4 4
40、 详详 解解 详详 解解 返返 回回 回首页 (五五)方法指导方法指导 1.坐标法坐标法 2.主元法主元法 3.递归法递归法 4.几何模型法几何模型法 5.图象变换法图象变换法 3.递归法: (1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数. (2)诱导公式中的角为任意角,确定符号时当锐角处理. (3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究. 1.坐标法(数形结合法的表现): 角的概念在平面直角坐标系中出现,能直观地说明角的 内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类. 2.主元法: 当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中 一个三角函数或一个角为主元,把其他各三角函数或角进
41、 行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成: 化同名化同名,化同角化同角,切割常化弦切割常化弦. 返返 回回 证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图). 依定义可知,sin=MP,tan=AT,而即 为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇 形OAP的面积,有SOMPS扇形OAPSOAT, 再据三角形及扇形面积计算得:MP弧长AP0,0)的图象作法,除了 用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换). O M A P T x y 例例:已知已知(0 ,90 ),求证求证:sin tan . (六六)注意问题注意问题 1.区分区分“角角” 2.判断符号判断符号 3.恒等变换恒等变换 4.活用公式活用公式 5.由形察数由形察
