1、第 1 页 共 9 页 20112011 年北京市春季普通高中会考年北京市春季普通高中会考 数数 学学 试试 卷卷 一、 选择题（每小题 3 分，共 60 分） 1.已知集合1,2,3A，2,3,4B ，那么集合AB（ ） A2 B2,3 C1,2,3 D1,2,3,4 2.不等式 2 20 xx的解集是（ ） A(0, 2) B( 2,0) C(,0)(2,) D(, 2)(0,) 3.一个空间几何体的三视图如图所示，那么这个空间几何体是（ ） A 球 B 圆锥 C正方体 D圆柱 4已知直线l经过点(0,4)A，且与直线230 xy垂直，那么直线l的方程是（ ） A280 xy B280 x
2、y C240 xy D240 xy 5某校有学生1000人，其中高一学生400人为调查学生了解消防知识的现状，采用按年级分层抽样的方法，从 该校学生中抽取一个40人的样本，那么样本中高一学生的人数为（ ） A8 B12 C16 D20 6.已知四个函数3yx， 2 yx，3xy ， 3 logyx，其中的奇函数是（ ） A3yx B 2 yx C3xy D 3 logyx 7.如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，那么四棱锥 1 DABCD的体积是（ ） A 3 1 2 a B 3 1 3 a C 3 1 4 a D 3 1 6 a 8.已知函数( )sinf xx，那么()f
3、x等于（ ） Asin x Bcosx Csin x Dcosx 9.函数 2 2,0 ( ) 1,0 xx f x xx 的零点个数是（ ） A0个 B1个 C2个 D3个 第 2 页 共 9 页 10已知 3 tan 4 ，那么 tan() 4 等于（ ） A7 B 1 7 C7 D 1 7 11.在ABC中，D是BC的中点，那么ABAC等于（ ） ABD BAD C2BD D2AD 12. 不等式组 1 1 4 x y xy 所表示的平面区域的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 13. 在ABC中， 3 A ，3BC ，1AC ，那么AB等于（ ） A1 B2 C3 D2 14.上海世
4、博会期间，某日13时至21时累计 入园人数的折线图如图所示，那么在13时14时，14时15时， 20时21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ） A13时14时 B16时17时 C18时19时 D19时20时 15. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中的真命题为（ ） A若mn，n，则m B若mn，n，则m C若mn，n，m，则m D若mn ，n，m，则m 16.已知 3 sin 5 ，那么cos2等于（ ） A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 17.已知0a ，且4ab ，那么ab的最小值是（ ） A2 B4 C6 D8 第 3 页 共 9 页 18.某校高二
5、年级开设三门数学选修课程，如果甲、乙两名同学各从中任选一门，那么他们所选课程恰好相同的概率 为（ ） A 3 8 B 1 8 C 2 3 D 1 3 19.已知, a bR,且23 ab ，那么下列结论中不可能 成立的是（ ） A0ab Bab C0ba D0ab 20.我国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低 20%.如果 这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是（ ） A50.2x B5(1)0.8x C 5 0.2x D 5 (1)0.8x 二、填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 21.在等差数列 n a中，如果
6、 2 4a ， 4 8a ，那么 6 a _ 22.如果函数 2 logyx的图像经过点 0 (4,)Ay，那么 0 y _ 23.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，当输入3时，输出的结果为_ 24.某年级200名学生在一次百米测试中， 成绩全部介于13秒与18秒之间， 将测试结果以1为组距分成5组：13,14)， 14,15)，15,16)，16,17)，17,18)， 得到如图所示的频率分布直方图。 如果从左到右的5个小矩形的面积依次为0.05， 0.15，0.35，x，0.15，那么x _这次百米测试中，成绩大于等于17秒的学生人数为_ 13 14 15 16 17 18 时间（秒）
7、频率 组距 是 否 开始 输入x 0 x yxyx 输出y 结束 第 4 页 共 9 页 三、解答题（共 3 小题，共 28 分） 25.（本小题 9 分） 已知圆心为(4,3)C的圆经过坐标原点 （1）求圆的方程； （2）设直线2yx与圆交于A，B两点，求AB 26. （本小题 9 分） 在直角坐标系xOy中，已知( 1,0)OA ，(0, 3)OB ，(cos ,sin )OC，其中 0, 2 （1）若AB OC，求tan； （2）求AC BC的最大值； （3）是否存在 0, 2 ，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由 第 5 页 共 9 页 27. （本小题
8、 10 分） 在数列 n a中， 1 1a ， 2 1 1 2 2 nnn aaa ，其中 * nN （1）求 2 a， 3 a； （2）证明：12 n a； （3）试用 1n a 表示 1 1 n k k a ，并证明你的结论 第 6 页 共 9 页 数学试题答案 选择题（每小题 3 分，共 60 分） 1 【答案】B 【解析】2,3AB 2. 【答案】A 【解析】由已知可得(2)0 x x，所以可得02x 3.【答案】D 【解析】由俯视图为圆，而正视图和侧视图为矩形易知该空间几何体为圆柱 4 【答案】A 【解析】由题意可得直线l的方程为 1 4 2 yx ，整理得280 xy 5【答案】C
9、 【解析】结合分层抽样需要按比例可得需要抽取的高一学生人数为 400 4016 1000 6. 【答案】A 【解析】对于选项B，函数 2 yx为偶函数；对于选项C，函数3xy 是非奇非偶函数； 对于选项D，函数 3 logyx也是非奇非偶函数 7. 【答案】B 【解析】根据锥体的体积计算公式可得 3 11 33 Vaaaa 8. 【答案】A 【解析】根据诱导公式可得()sin()sinfxxx 9 【答案】C 【解析】令( )0f x ，则20(0)xx或者 2 10(0)xx ，解得2x 或1x ，所以函数( )f x有两个零点 10 【答案】C 【解析】由已知可得 3 tantan1 44
10、 tan()7 3 4 1tantan11 44 11.【答案】D 【解析】由平行四边形法则不难得出2ABACAD 12. 【答案】B 【解析】画出该平面区域易知其为等腰直角三角形，且直角腰长为2，所以面积为2 13. 【答案】D 【解析】由正弦定理可得 sin1 sin 2 ACA B BC ，又因为BCAC，所以AB，则 6 B ， 第 7 页 共 9 页 所以 () 632 C ，则ABC为直角三角形，所以 22 2ABABAC 14.【答案】B 【解析】各个时间段入园人数为图像上相邻两个点的纵坐标之差，观察图像可得16时17时入园人数最多 15.【答案】C 【解析】选项C即为线面平行的
11、判定定理，显然是正确的 16【答案】A 【解析】由二倍角的余弦公式可得 2 97 cos212sin12 2525 17【答案】B 【解析】由均值不等式结合已知条件可得 24abab ，当且仅当 2ab 时取得等号 所以ab的最小值为4 18. 【答案】D 【解析】根据古典概型可得所求概率为 31 3 33 19. 【答案】C 【解析】若0ba，则可得233 aab ，所以显然与已知条件相矛盾 20. A50.2x B5(1)0.8x C 5 0.2x D 5 (1)0.8x 【答案】D 【解析】由题意可得 5 1 (1)120%x ，整理得 5 (1)0.8x 二、填空题（共 4 个小题，每
12、小题 3 分，共 12 分） 21.【答案】12 【解析】因为 264 2aaa，所以 642 212aaa 22.【答案】2 【解析】由题意可得 02 log 42y 23.【答案】3 【解析】根据题意可得该程序框图的功能是计算一个数的绝对值，所以当输入的是3时，得到的为3 24.【答案】0.30；30 第 8 页 共 9 页 【解析】1(0.050.150.350.15)0.30 x ，成绩大于17秒的学生人数为0.1520030 三、解答题（共 3 小题，共 28 分） 25.（本小题 9 分） 解析：解析： （1）由题意可得该圆的半径 22 (40)(30)5r ，则其标准方程为 22
13、 (4)(3)25xy （2）可算得圆心(4,3)C到直线2yx的距离 243 5 5 d ，所以 22 24 5ABrd 26. （本小题 9 分） 解析：解析： （1）由已知可得(1, 3)AB ，所以由ABOC可得sin3cos，所以 sin tan3 cos （2）由已知可得(cos1,sin )AC，(cos ,sin3)BC， 所以 cos (cos1)sin (sin3)1cos3sin2cos()1 3 AC BC ， 所以当0时，易知AC BC取到最大值2 （3）因为(1, 3)AB ，(cos1,sin )AC，所以cos13sinAB AC ，又因为 0, 2 ， 所以易
14、知0AB AC，所以A必定为锐角；又(cos ,sin3)BC，( 1,3)BA ， 所以 cos3sin332sin() 6 BC BA ，也显然大于零，所以B也必定为锐角； 而由（2）知 2cos()1 3 AC BCCA CB，令0AC BC，可以解得 32 ，所以便可以得到 13 14 15 16 17 18 时间（秒） 频率 组距 是 否 开始 输入x 0 x yxyx 输出y 结束 第 9 页 共 9 页 当 (, 3 2 时，C为钝角综上可得当且仅当 (, 3 2 时，ABC为钝角三角形 27. （本小题 10 分） 解解析：析： （1） 2 211 113 212 222 aa
15、a ， 2 322 119313 22 22428 aaa （2）由已知可得 22 111 111 11(1)0 222 nnnn aaaa ，所以1 n a 得证； 又由已知可得 11 1 2(2) 2 nnn aaa ， 122 1 2(2) 2 nnn aaa ， 211 1 2(2) 2 aa a， 将上述1n个等式累乘可得 1211 111 2(2) 222 nnn aaaaa ，因为 1 12a ，所以 1 20a ， 又1 n a ，所以 1211 111 2(2)0 222 nnn aaaaa ，所以2 n a 得证 （3）因为 1 1 2(2) 2 nnn aa a ，所以 1 1211 2(2)2 nnnnn aa aaa ，即 1 111 22 nnn aaa ， 所以 1 1 12231111 1111111111 () ()() 222222222 n n k knnnn a aaaaaaaaaa
