1、 微专题 75 几何问题的转换 一、基础知识： 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件 的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。 1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段 后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐 标的运算，与方程和变量找到联系 2、常见几何问题的转化： （1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符
2、号 进行判定 （2）点与圆的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题 目中计算量较大 若给出圆的一条直径， 则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定： 若点在圆内，ACB 为钝角（再转为向量：0CA CB；若点在圆上，则ACB为直角（0CA CB） ；若点在 圆外，则ACB为锐角（0CA CB） （3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算： 1122 ,ax ybxy，则, a b共线 12
3、21 x yx y；ab 1212 0 x xy y （5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系 （6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意 向量的方向是同向还是反向） 3、常见几何图形问题的转化 （1）三角形的“重心” ：设不共线的三点 112233 ,A x yB x yC x y，则ABC的重心 123123 , 33 xxxyyy G （2）三角形的“垂心” ：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为 向量数量积为零 （3）三角形的“内心” ：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如 图） ：,IPAC IQAQ I
4、在BAC的角平分线上 AI ACAI AB APAQ ACAB （4）P是以,DA DB为邻边的平行四边形的顶点 DPDADB （5）P是以,DA DB为邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上 （6）共线线段长度的乘积：若, ,A B C共线，则线段的乘积 可转化为向量的数量积， 从而简化运算， (要注意向量的夹角） 例如：ACABAC AB，ACBCAC BC B CA I Q P A P D B A P D B A B C 二、典型例题： 例 1：如图：,A B分别是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右顶点，F为其右焦点，2是 ,AFFB的等差中项，3是,AFFB的等比中项
5、 （1）求椭圆C的方程 （2）已知P是椭圆C上异于,A B的动点，直线l过点A且垂直 于x轴，若过F作直线FQAP，并交直线l于点Q。证明： , ,Q P B三点共线 解： （1）依题意可得：,0 ,0 ,0AaB aF c ,AFca BFac 2是,AFFB的等差中项 42AFFBacaca 2a 3是,AFFB的等比中项 2 222 3AFFBacacacb 2 3b 椭圆方程为： 22 1 43 xy （2）由（1）可得：2,0 ,2,0 ,1,0ABF 设:2AP yk x，设 11 ,P x y ，联立直线与椭圆方程可得： 22 2222 3412 431616120 2 xy k
6、xk xk yk x 22 11 22 161268 4343 A kk x xx kk 11 2 12 2 43 k yk x k 2 22 6812 , 43 43 kk P kk 另一方面，因为FQAP 1 FQ k k 1 :1FQ yx k ，联立方程： 1 13 2, 2 yx Qk k x 2,0B 3 0 3 224 BQ k k k 2 22 2 12 0 123 43 68164 2 43 BP k k k k kkk k BQBP kk ,B Q P三点共线 例 2：已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为F，M为上顶点，O为坐标原点，若 OM
7、F的面积为 2 1 ，且椭圆的离心率为 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点， 且使点F为PQM的垂心？若存在，求出直 线l的方程；若不存在，请说明理由 解： （1） 111 222 OMF SOMOFbc 2 :2 :1:1 2 c ea b c a 1bc 222 2abc 椭圆方程为： 2 2 1 2 x y （2）设),( 11 yxP，),( 22 yxQ由（1）可得：0,1 ,1,0MF 1 MF k F为PQM的垂心 MFPQ 1 1 PQ MF k k 设:PQ yxm 由F为PQM的垂心可得：MPFQ 1122 ,1 ,1,MPx yFQxy
8、1212 110MP FQxxyy 因为,P Q在直线yxm上 11 22 yxm yxm ，代入可得： 1212 110 x xxmxm 即0) 1)(2 2 2121 mmmxxxx 考虑联立方程： 22 22 yxm xy 得02243 22 mmxx 222 1612 2203mmm 12 4 3 m xx , 3 22 2 21 m xx代入可得： 2 2 224 210 33 mm mmm 解得： 4 3 m 或1m 当1m时，PQM不存在，故舍去 当 3 4 m时，所求直线l存在，直线l的方程为 3 4 xy 小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线
9、垂直底边， 所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜 率关系） 例 3：如图，椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点是 1,0F ，O为坐标原点. （1） 若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形， 求 椭圆的方程； （2）设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于,A B两点，若直线l绕点F任意转动，恒有 222 OAOBAB, 求a的取值范围. 解： （1）由图可得： 1 0, 3 Mb 由正三角形性质可得： 3 , 63 MF MFOk 1 0 3 3 013 MF b k 3b 222 4abc 椭圆方程为： 22 1
10、43 xy （2）设:1l yk x， 1122 ,A x yB x y 222 OAOBAB 222 cos0 2 OAOBAB AOB OA OB AOB为钝角 1212 0OA OBx xy y 联立直线与椭圆方程： 2 222222 222222 1 1 yk x b xa kxa b b xa ya b ，整理可得： 2222222222 20a kbxa k xa ka b 222222 1212 222222 2 , a ka ka b xxx x a kba kb 2222 12121212 11y ykxxk x xkxxk 22222222222 222 2222222 2
11、a ka ba kk ba b k kkk a kba kba 222222222 1212 222 0 a ka bk ba b k x xy y a kb 222222222 0a ka bk ba b k恒成立 即 2222222 kaba ba b恒成立 2222 0aba b 22 1ba 222 2110aaa 解得： 15 2 a a的取值范围是 15 , 2 例 4：设,A B分别为椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距， 且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 （1）求椭圆的方程； （2）设P为直线4x 上不同于点4,0的任意一点， 若
12、直线,AP BP分别与椭圆相交于异于,A B的点,M N，证明：点B在以MN为直径的圆内 解： （1）依题意可得2ac，且到 右焦点距离的最小值为1ac 可解得：2,1ac 3b 椭圆方程为 22 1 43 xy （2）思路：若要证B在以MN为直径的圆内，只需证明MBN为钝角，即MBP为锐角， 从而只需证明0BM BP，因为,A B坐标可求，所以只要设出AM直线（斜率为k） ， 联立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标，从而BM BP可用 1 k表示。即可判断 BM BP的符号，进而完成证明 解：由（1）可得2,0 ,2,0AB，设直线,AM BN的斜率分别为k， 11 ,M x y ，则
13、:2AMyk x 联立AM与椭圆方程可得： 22 2 3412 yk x xy ，消去y可得： 2222 431616120kxk xk 22 11 22 161268 4343 A kk x xx kk AB(4,0) M N P o y x 11 2 12 2 43 k ykxk k ，即 2 22 6812 , 43 43 kk M kk 设 0 4,Py，因为P在直线AM上，所以 0 426ykk，即4,6Pk 2 22 1612 2,6, 43 43 kk BPkBM kk 22 222 321240 60 434343 kkk BP BMk kkk MBP为锐角， MBN为钝角 M
14、在以MN为直径的圆内 例 5：如图所示，已知过抛物线 2 4xy的焦点F的直线l与抛物 线相交于,A B两点，与椭圆 22 33 1 42 yx的交点为,C D，是否 存在直线l使得AFCFBFDF？若存在， 求出直线l的方 程，若不存在，请说明理由 解：依题意可知抛物线焦点0,1F，设:1lykx AFCFBFDF AFDF BFCF ，不妨设 AFDF BFCF 则,AFFB DFFC 设 11223344 ,A x yB x yC x yD x y 1122 ,1,1AFxyFBxy 3344 ,1,1CFxyFDxy 12 34 xx xx 考虑联立直线与抛物线方程： 2 2 1 44
15、0 4 ykx xkx xy 122 2 122 14 4 xxxk x xx ，消去 2 x可得： 2 2 1 4k 联立直线与椭圆方程： 2 2 22 1 6314 634 ykx xkx xy ，整理可得： 22 36610kxkx 344 2 2 344 2 6 1 36 1 36 k xxx k x xx k 2 2 2 136 36 k k 由可得： 2 2 2 36 4 36 k k k ，解得： 2 11kk 所以存在满足条件的直线，其方程为：1yx 例 6：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 20 xpy p的准线方程为 1 2 y ，过点 4,0M作抛物线的切线MA，
16、切点为A（异于点O） ，直线l过 点M与抛物线交于两点,P Q，与直线OA交于点N （1）求抛物线的方程 （2）试问 MNMN MPMQ 的值是否为定值？若是，求出定值；若不 是，请说明理由 解： （1）由准线方程可得： 1 1 22 p p 抛物线方程： 2 2xy （2）设切点 00 ,A x y，抛物线为 2 1 2 yx yx 切线斜率为 0 kx 切线方程为： 000 yyxxx，代入4,0M及 2 00 1 2 yx 可得： 2 000 1 4 2 xxx，解得： 0 0 x （舍）或 0 8x 8,32A :4OA yx 设:4PQ xmy , ,M P N Q共线且M在x轴上
17、11 PQ NN NN PQPQPQ yyMNMN yy yy MPMQyyyyy y 联立PQ和抛物线方程： 2 22 42 4 xy myy xmy ，整理可得： 22 82160m ymy 22 2816 , PQPQ m yyyy mm 再联立,OA PQ直线方程： 416 414 N yx y xmym 2 2 28 16 2 16 14 PQ N PQ m yyMNMN m y MPMQy ym m 例 7：在ABC中，,A B的坐标分别是 2,0 ,2,0，点G是ABC的重心，y轴上一 点M满足GMAB，且MCMB （1）求ABC的顶点C的轨迹E的方程 （2）直线: lykxm与
18、轨迹E相交于,P Q两点，若在轨迹E上存在点R，使得四边形 OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点） ，求m的取值范围 解： （1）设,C x y 由G是ABC的重心可得： , 3 3 x y G 由y轴上一点M满足平行关系，可得0, 3 y M 由MCMB可得： 2 2 22 1 02 3 xyyy 化简可得： 22 10 26 xy y C的轨迹E的方程为： 22 10 26 xy y （2） 四边形OPRQ为平行四边形 OROPOQ 设 1122 ,P x yQ x y 1212 ,R xx yy R在椭圆上 22 1212 36xxyy 2222 11221212 33626xyxyx
19、 xy y 因为,P Q在椭圆上，所以 22 11 22 22 36 36 xy xy ，代入可得： 12121212 6212633x xy yx xy y 联立方程可得： 222 22 3260 36 ykxm kxkmxm xy 2 1212 22 26 , 33 kmm xxx x kk 22 22 12121212 2 36 3 mk y ykxmkxmk x xkm xxm k 代入可得： 222 22 22 636 3323 33 mmk mk kk 222 3260kxkmxm有两不等实根可得： 2222 44360k mkm ，即 22 36180mk，代入 22 23km
20、222 36 231800mmm 另一方面： 22 230mk 2 36 22 mm或 6 2 m 66 , 22 m 例 8：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，直线l过点4,0 ,0,2AB，且 与椭圆C相切于点P （1）求椭圆C的方程 （ 2 ） 是 否 存 在 过 点4,0A的 直 线m与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点,M N， 使 得 2 3635APAMAN？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由 解（1） 1 2 c e a : :2: 3:1a b c 椭圆方程化为： 22 222 22 13412 43 xy xyc cc l
21、过4,0 ,0,2AB 设直线 1 :12 422 xy lyx 联立直线与椭圆方程： 222 3412 1 2 2 xyc yx 消去y可得： 2 22 1 34212 2 xxc 整理可得： 22 2430 xxc l与椭圆相切于P 2 44 4301cc 椭圆方程为： 22 1 43 xy ，且可解得 3 1, 2 P （2）思路：设直线m为4yk x， 1122 ,M x yN x y，由（1）可得： 3 1, 2 P ，再 由4,0A可知 245 4 AP，若要求得k（或证明不存在满足条件的k） ，则可通过等式 2 3635APAMAN列出关于k的方程。对于AMAN，尽管可以用两点间
22、距离公式 表示出,AMAN，但运算较为复杂。观察图形特点可知,A M N共线，从而可想到利用向 量数量积表示线段的乘积。 因为,AM AN同向， 所以AMANAM AN。 写出,AM AN 的坐标即可进行坐标运算， 然后再联立m与椭圆方程， 运用韦达定理整体代入即可得到关于k 的方程，求解即可 解：由题意可知直线m斜率存在，所以设直线 1122 :4 ,m yk xM x yN x y 由（1）可得： 3 1, 2 P 2 22345 140 24 AP ,A M N共线且,AM AN同向 AMANAM AN 1122 4,4,AMxyANxy 12121 21212 44416AM ANxx
23、y yx xy yxx 联立直线m与椭圆方程： 22 3412 4 xy yk x 消去y并整理可得： 2222 433264120kxk xk 22 1212 22 326412 , 4343 kk xxx x kk 2 2 1212 2 36 44 43 k yykxx k 2 222 2222 361 64123632 416 43434343 k kkk AM AN kkkk 2 3635APAMAN，代入 245 4 AP， 2 2 361 43 k AM AN k 可得： 2 2 361 45 3635 443 k k 可解得： 2 12 84 kk ，另一方面， 若方程 2222
24、 433264120kxk xk有两不等实根 则 2 222 324 43 64120kkk 解得: 11 22 k 2 4 k 符合题意 直线m的方程为： 2 4 4 yx ，即： 2 2 4 yx或 2 2 4 yx 例 9：设椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左，右焦点分别为 12 ,F F，上顶点为A，过点A与 2 AF垂直的直线交x轴负半轴与点Q ，且 122 20FFFQ （1）求椭圆C的离心率 （2）若过 2 , ,A Q F三点的圆恰好与直线:330l xy相切，求椭圆C的方程 （3）在（2）的条件下，过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于,M N两点，在
25、x轴 上是否存在点,0P m使得以,PM PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取 值范围；如果不存在，请说明理由 解： （1）依题意设 120 0,0 ,0 ,0Ab FcF cQ x 1220 2 ,0 ,0FFcFQxc 122 20FFFQ 00 403cxcxc 3 ,0Qc 2 , 3 AQAF bb kk cc 由 2 AQAF可得： 2 2 22 2 13 3 AQAF b kkbc c 22222 34accac 1 2 e （2）由（1）可得：:2:3:1a b c 2 AQAF 2 , ,A Q F的外接圆的直径为 2 QF，半径设为r 2 3 ,0 ,0QcF
26、 c 2 1 2 2 rQFc ，圆心,0c 由圆与直线相切可得： 3 234 2 c dccc 解得：1c 2 ,3ab 椭圆方程为 22 1 43 xy （3）由（2）得 12 1,0 ,1,0FF：设直线:1l yk x 设 1122 ,M x yN x y，若,PM PN为邻边的平行四边形是菱形 则P为MN垂直平分线上的点 22 112222 1212 22 22 3412 340 3412 xy xxyy xy 12121212 340 xxxxyyyy 设,M N中点 00 ,x y 0 000 3 340 4 x xkyy k MN的中垂线方程为： 00 1 yyxx k ，即
27、00 0 xkykyx 代入,0P m可得： 12 000 1 0 48 xx mkyxmx 联立方程： 22 2222 3412 4384120 1 xy kxk xk yk x 2 12 2 8 43 k xx k 2 2 2 11 0, 3 434 4 k m k k 所以存在满足题意的P，且m的取值范围是 1 0, 4 例 10：已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F，直线4y 与y轴的交点为P，与抛 物线的交点为Q，且 5 4 QFPQ （1）求抛物线C的方程 （2） 过F的直线l与抛物线C相交于,A B两点， 若AB垂直平分线 l与C相交于,M N两点， 且, ,A M B
28、N四点在同一个圆上，求l的方程 解： （1）设 0,4 Q x，可的 2 00 8 42pxx p 8 ,4Q p 0, 4P 8 PQ p 0 8 22 pp QFx p 且 5 4 QFPQ 85 8 24 p pp 解得2p 抛物线 2 :4C yx （2）由（1）可得1,0F 可设直线:1l xmy 联立方程 2 2 4 440 1 yx ymy xmy 设 1122 ,A x yB x y，则有 1212 4 ,4yym y y 2 1212 242xxm yym AB的中点 2 21,2Dmm 且 22 12 141ABmyym 由直线:1l xmy可得 l的斜率为m 设 2 :221lymm xm 整理可得： 2 1 23xym m 与 2 4yx联立消去x可得： 22 4 4 230yym m 设 3344 ,M x yN x y 2 3434 4 ,4 23yyy ym m 22 3434 2 14 4646xxyymm mm MN的中点 2 2 22 23,Em mm 22 2 4121mm MN m ，因为, ,A M B N共圆， 所以 222 2 DEADrME 22211 44 DEABMN 2 2222 2 2 24 4121 22 2241 mm mm mmm 整理后可得： 2 101mm l的方程为：10 xy 或10 xy
