1、120242024 年天津高考数学真题年天津高考数学真题一、单选题一、单选题1集合1,2,3,4A，2,3,4,5B，则AB（）A1,2,3,4B2,3,4C2,4D 12设,a bR，则“33ab”是“33ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3下列图中，相关性系数最大的是（）ABCD4下列函数是偶函数的是（）A22e1xxyxB22cos1xxyxCe1xxyxD|sin4exxxy5若0.30.34.24.24.2log0.2abc，则abc，的大小关系为（）AabcBbacCcabDbca6若,m n为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的
2、是（）A若/m，n ，则/m nB若/,/mn，则/m nC若/,mn，则mnD若/,mn，则m与n相交7已知函数 sin303fxx的最小正周期为则函数在,12 6的最小值是（）A32B32C0D328 双曲线22221()00axyabb，的左、右焦点分别为12.FF P、是双曲线右支上一点，且直线2PF的斜率为212PFF是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（）A22182yxB22184xyC22128xyD22148xy9一个五面体ABCDEF已知ADBECF，且两两之间距离为 1并已知123ADBECF，则该五面体的体积为（）A36B3 3142C32D3 3142二、填空
3、题二、填空题10已知i是虚数单位，复数 5i52i211在63333xx的展开式中，常数项为1222(1)25xy的圆心与抛物线22(0)ypx p的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为13,A B C D E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为14在边长为 1 的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，1,2CEDE BEBABCuuruuruuu r，则；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF DG 的最小值为15若函数 2221fxxaxax有唯一零点，则a的取值范围为三、解答题三、解答题16在
4、ABC中，92cos5163aBbc，(1)求a；(2)求sinA；(3)求cos2BA17已知四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABCD为梯形，/ABCD，1A A平面ABCD，ADAB，其中12,1ABAAADDCN是11BC的中点，M是1DD的中点(1)求证1/D N平面1CB M；(2)求平面1CB M与平面11BBCC的夹角余弦值；(3)求点B到平面1CB M的距离318已知椭圆22221(0)xyabab椭圆的离心率12e 左顶点为A，下顶点为BC，是线段OB的中点，其中3 32ABCS(1)求椭圆方程(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点PQ，在y轴上是否存在点T使得0
5、TP TQ 恒成立若存在求出这个T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由19已知数列 na是公比大于 0 的等比数列其前n项和为nS若1231,1aSa(1)求数列 na前n项和nS；(2)设11,2,knnkkk nabbk ana，11b，其中k是大于 1 的正整数（）当1kna时，求证：1nknbab；（）求1nSiib420设函数 lnf xx x(1)求 f x图象上点 1,1f处的切线方程；(2)若 f xa xx在0,x时恒成立，求a的取值范围；(3)若12,0,1x x，证明 121212f xf xxx120242024 年天津高考数学真题年天津高考数学真题参考答案：参考答案
6、：1B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合1,2,3,4A，2,3,4,5B，所以2,3,4AB，故选：B2C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33ab和33ab都当且仅当ab，所以二者互为充要条件.故选：C.3A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察 4 幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r值相比于其他 3 图更接近 1.故选：A4B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对 A，设 22e1xxf xx，函数定义域
7、为R，但112e1f，112ef，则 11ff，故 A 错误；对 B，设 22cos1xxg xx，函数定义域为R，且 2222coscos11xxxxgxg xxx，则 g x为偶函数，故 B 正确；对 C，设 e1xxh xx，函数定义域为|1x x ，不关于原点对称，则 h x不是偶函数，故 C 错误；对 D，设|sin4exxxx，函数定义域为R，因为 sin1 41e，sin1 41e，则 11，则 x不是偶函数，故 D 错误.故选：B.5B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.2【详解】因为4.2xy 在R上递增，且0.300.3，所以0.300.304.24.24.
8、2，所以0.30.304.214.2，即01ab，因为4.2logyx在(0,)上递增，且00.21，所以4.24.2log0.2log10，即0c，所以bac，故选：B6C【分析】根据线面平行的性质可判断 AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断 CD 的正误.【详解】对于 A，若/m，n ，则,m n平行或异面，故 A 错误.对于 B，若/,/mn，则,m n平行或异面或相交，故 B 错误.对于 C，/,mn，过m作平面，使得s，因为m，故/m s，而s，故ns，故mn，故 C 正确.对于 D，若/,mn，则m与n相交或异面，故 D 错误.故选：C.7A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式
9、求出，得 sin2f xx，再整体求出,12 6 x时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】sin3sin 3sin33f xxxx，由23T得23，即 sin2f xx，当,12 6 x时，2,6 3x，画出 sin2f xx 图象，如下图，由图可知，sin2f xx 在,12 6上递减，所以，当6x 时，min3sin32fx 3故选：A8C【分析】可利用12PFF三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PFm，由面积公式求出m，由勾股定理得出c，结合第一定义再求出a.【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，1290FPF，设2PFm，211122,PF FPF
10、F，由21tan2PFk，求得12sin5，因为1290FPF，所以121PFPFkk，求得112PFk，即21tan2，21sin5，由正弦定理可得：121212:sin:sin:sin902:1:5PFPFFF，则由2PFm得1122,25PFm FFcm，由1212112822PF FSPFPFmm得2 2m，则21122 2,4 2,22 10,10PFPFFFcc，由双曲线第一定义可得：1222 2PFPFa，222,8abca，所以双曲线的方程为22128xy.故选：C9C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJLMN
11、（顶点与五面体ABCDEF一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N；,E M;,F L重合，因为ADBECF，且两两之间距离为 11,2,3ADBECF，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为 1 的等边三角形，侧棱长为13223 14，213221131 1422ABC DEFABC HIJVV .4故选：C.1075i【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】5i52i55i2 5i275i.故答案为：75i.1120【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333xx的展开式的通项为63636 216633C3C,0,1,
12、63rrrrrrrxTxrx，令630r，可得3r，所以常数项为0363 C20.故答案为：20.1245/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到直线AF的距离.【详解】圆22(1)25xy的圆心为1,0F，故12p即2p，由2221254xyyx可得22240 xx，故4x 或6x（舍），故4,4A，故直线4:13AFyx 即4340 xy或4340 xy，故原点到直线AF的距离为4455d，故答案为：451335125【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A活动，他再选择B
13、活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE,共 10 种情况，其中甲选到A有 6 种可能性：,ABC ABD ABE ACD ACE ADE，则甲选到A得概率为：63105P；乙选A活动有 6 种可能性：,ABC ABD ABE ACD ACE ADE，其中再选则B有 3 种可能性：,ABC ABD ABE，故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，则甲选到A的概率为2435C3C5P M；乙选了A活动，他再选择B活动的概率为133524
14、351C2CCP MNCP N MP M故答案为：35；121443518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得，设BFBEkuuu ruur，求,AF DGuuu r uuu r，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得，设1,3,03F aaa，求,AF DGuuu r uuu r，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CEDE，即23CEBAuuruur，则13BEBCCEBABCuuu ruuruuuurruuu r，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BCBA
15、BA BC ，因为F为线段BE上的动点，设1,0,13BFkBEkBAkBC k ，则113AFABBFABkBEkBAkBC ，6又因为G为AF中点，则11 111122 32DGDAAGBCAFkBAkBC ，可得11 1111132 32AF DGkBAkBCkBAkBC 221 11563112 329510kkkk，又因为0,1k，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以 B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则11,0,0,0,0,1,1,1,13ABCDE，可得11,0,0,1,13BABCBE ，因为,BEBABC ，则131，所以43；因为点F在线段1
16、:3,03BE yx x 上，设1,3,03F aaa，且G为AF中点，则13,22aGa，可得131,3,122aAFaaDGa，则22132331522510aAF DGaaa ，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518；故答案为：43；518.153,11,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 22 xaxg x 与 23,21,axxah xax xa，则两函数图象有7唯一交点，分0a、0a 与0a进行讨论，当0a 时，计算函数定义域可得xa或0 x，计算可得0,2a时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当0,2a时，在y轴右侧无交点的情况即可得
17、；当0a时，按同一方式讨论即可得.【详解】令 0fx，即2221xaxax，由题可得20 xax，当0a 时，xR，有22211x ，则22x ，不符合要求，舍去；当0a 时，则223,22121,axxaxaxaxax xa，即函数 22 xaxg x 与函数 23,21,axxah xax xa有唯一交点，由20 xax，可得xa或0 x，当0 x 时，则20ax，则22211xaxaxax ，即22441xaxax，整理得2242121210axaxa xa x，当2a 时，即410 x，即14x ，当0,2a，12xa 或102xa（正值舍去），当2,a时，102xa 或102xa，有
18、两解，舍去，即当0,2a时，22210 xaxax 在0 x 时有唯一解，则当0,2a时，22210 xaxax 在xa时需无解，当0,2a，且xa时，由函数 23,21,axxah xax xa关于2xa对称，令 0h x，可得1xa或3xa，且函数 h x在1 2,a a上单调递减，在2 3,a a上单调递增，令 22 xaxg xy，即2222142axyaa，8故xa时，g x图象为双曲线 222214yxaa右支的x轴上方部分向右平移2a所得，由 222214yxaa的渐近线方程为22ayxxa ，即 g x部分的渐近线方程为22ayx，其斜率为2，又0,2a，即 23,21,axx
19、ah xax xa在2xa时的斜率0,2a，令 220 xxg xa，可得xa或0 x（舍去），且函数 g x在,a 上单调递增，故有13aaaa，解得13a，故13a符合要求；当a0时，则223,22121,axxaxaxaxax xa，即函数 22 xaxg x 与函数 23,21,axxah xax xa有唯一交点，由20 xax，可得0 x 或xa，当0 x 时，则20ax，则22211xaxaxax ，即22441xaxax，整理得2242121210axaxa xa x，当2a 时，即410 x，即14x，当2,0a，102xa（负值舍去）或102xa，当,2a 时，102xa 或
20、102xa，有两解，舍去，即当2,0a 时，22210 xaxax 在0 x 时有唯一解，则当2,0a 时，22210 xaxax 在xa时需无解，当2,0a，且xa时，9由函数 23,21,axxah xax xa关于2xa对称，令 0h x，可得1xa或3xa，且函数 h x在2 1,a a上单调递减，在3 2,a a上单调递增，同理可得：xa时，g x图象为双曲线 222214yxaa左支的x轴上方部分向左平移2a所得，g x部分的渐近线方程为22ayx，其斜率为2，又2,0a，即 23,21,axxah xax xa在2xa时的斜率2,0a，令 220 xxg xa，可得xa或0 x（
21、舍去），且函数 g x在,a上单调递减，故有13aaaa，解得31a，故31a 符合要求；综上所述，3,11,3a.故答案为：3,11,3.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 fx的零点问题转化为函数 22 xaxg x 与函数 23,21,axxah xax xa的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.16(1)4(2)74(3)5764【分析】（1）2,3at ct，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sinB，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA，则得到sin A；（3）法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到cos A，再利用二倍角公式和两角差的余弦
22、公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.10【详解】（1）设2,3at ct，0t，则根据余弦定理得2222cosbacacB，即22925492 2316tttt，解得2t（负舍）；则4,6ac.（2）法一：因为B为三角形内角，所以2295 7sin1cos11616BB，再根据正弦定理得sinsinabAB，即45sin5 716A，解得7sin4A，法二：由余弦定理得2222225643cos22 5 64bcaAbc，因为0,A，则237sin144A（3）法一：因为9cos016B，且0,B，所以0,2B，由（2）法一知5 7sin16B，因为ab，则AB，所以27
23、3cos144A，则733 7sin22sincos2448AAA，2231cos22cos12148AA 195 73 757cos2coscos2sinsin281616864BABABA.法二：733 7sin22sincos2448AAA，则2231cos22cos12148AA ，因为B为三角形内角，所以2295 7sin1cos11616BB，所以915 73 757cos2coscos2sinsin216816864BABABA17(1)证明见解析(2)2 2211(3)2 1111【分析】（1）取1CB中点P，连接NP，MP，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N/DMP
24、，结合线面平11行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【详解】（1）取1CB中点P，连接NP，MP，由N是11BC的中点，故1/NP CC，且112NPCC，由M是1DD的中点，故1111122D MDDCC，且11/D M CC，则有1/D M NP、1D MNP，故四边形1D MPN是平行四边形，故1/D N MP，又MP平面1CB M，1D N 平面1CB M，故1/D N平面1CB M；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有0,0,0A、2,0,0B、12,0,
25、2B、0,1,1M、1,1,0C、11,1,2C，则有11,1,2CB、1,0,1CM 、10,0,2BB，设平面1CB M与平面11BBCC的法向量分别为111,mx y z、222,nxy z，则有111111200m CBxyzm CMxz ，1222122020n CBxyzn BBz，分别取121xx，则有13y、11z、21y，20z，即1,3,1m、1,1,0n，则1 32 22cos,111 9 11 1m nm nmn ，12故平面1CB M与平面11BBCC的夹角余弦值为2 2211；（3）由10,0,2BB，平面1CB M的法向量为1,3,1m，则有122 11111 9
26、 1BB mm，即点B到平面1CB M的距离为2 1111.18(1)221129xy(2)存在30,32Ttt ，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32ykx，1122,0,P x yQ xyTt，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t表示TP TQ ，再根据0TP TQ 可求t的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2ac，3bc，其中c为半焦距，所以32,0,0,3,0,2cAcBcC，故133 32222ABCScc，故3c，所以2 3a，3b，
27、故椭圆方程为：221129xy.（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32ykx，设1122,0,P x yQ xyTt，由22343632xyykx可得223412270kxkx，故222144108 343245760kkk且1212221227,3434kxxx xkk 而1122,TPx ytTQxyt，13故121212123322TP TQx xytytx xkxtkxt 22121233122kx xktxxt22222731231342342kkkttkk 222222232727 1812332234kkk tttkk22223321245327234t
28、tktk，因为0TP TQ 恒成立，故223212450332702ttt，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则0,3,0,3PQ或0,3,0,3PQ，此时需33t ，两者结合可得332t .综上，存在30,32Ttt ，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19(1)21nnS(2)证明见详解；131 419nnSiinb【分析】（1）设等比数列 na的公比为0q，根据题意结合等比数列通项公式求q，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）根据题意分析可知12
29、,1kknabk，121nkkb，利用作差法分析证明；根据题意结合等差数列求和公式可得12112131 434 49kkkkiibkk，再结合裂项相消法分析求解.【详解】（1）设等比数列 na的公比为0q，因为1231,1aSa，即1231aaa，14可得211qq，整理得220qq，解得2q=或1q （舍去），所以122112nnnS.（2）（i）由（1）可知12nna，且N*,2kk，当124kkna时，则111221111kkkkkannaa ，即11kkana 可知12,1kknabk，1111222121kkknakkbbaakkkk，可得111211 21 22120knknkkk
30、kkkkkbkab，当且仅当2k 时，等号成立，所以1nknbab；（ii）由（1）可知：1211nnnSa，若1n，则111,1Sb；若2n，则112kkkaa，当1221kki 时，12iibbk，可知 ib为等差数列，可得111211112221122431 434 429kkkkkkkkiibkkkkk，所以2321131 41115 42 48 45 431 434 499nnSnniinbnn ，且1n，符合上式，综上所述：131 419nnSiinb.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221kki 时，12iibbk，可知 ib为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得12112
31、131 434 49kkkkiibkk.20(1)1yx(2)2(3)证明过程见解析15【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x的单调性，再对12,x x分类讨论.【详解】（1）由于 lnf xxx，故 ln1fxx.所以 10f，11f，所以所求的切线经过1,0，且斜率为1，故其方程为1yx.（2）设 1 lnh ttt ，则 111th ttt，从而当01t 时 0h t，当1t 时 0h t.所以 h t在0,1上递减，在1,上递增，这就说明 1h th，即1lntt，且等号成立当且仅当1t.设 12lng ta tt
32、，则 111ln12lnf xa xxxxa xxx ax gxxx.当0,x时，1x的取值范围是0,，所以命题等价于对任意0,t，都有 0g t.一方面，若对任意0,t，都有 0g t，则对0,t有 112012ln12ln1212g ta tta ta tatattt，取2t，得01a，故10a.再取2ta，得220222 2222aaaaaaa，所以2a.另一方面，若2a，则对任意0,t都有 212ln20g ttth t，满足条件.综合以上两个方面，知a的取值范围是 2.（3）先证明一个结论：对0ab，有 ln1ln1f bf aabba.证明：前面已经证明不等式1lntt，故lnln
33、lnlnlnlnln1ln1bbbaaabaaabbbbbabaa，且1lnlnlnlnlnlnlnln1ln11aabbaabbbabbaaaaaabababb，所以lnlnln1ln1bbaaabba，即 ln1ln1f bf aabba.16由 ln1fxx，可知当10ex时 0fx，当1ex 时 0fx.所以 f x在10,e上递减，在1e,上递增.不妨设12xx，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211exx时，有12212212121ln1fxfxfxfxxxxxxxx，结论成立；情况二：当1210exx时，有12121122lnlnfxfxfxfxxxxx
34、.对任意的10,ec，设 lnlnxxxcccx，则 1ln12xxcx.由于 x单调递增，且有11111122211211111ln1ln111022222e2ee22ecccccccccccc ，且当2124 ln1xcc，2cx 时，由12ln12ccx可知 1112ln1ln1ln102222cxxccxcxcx .所以 x在0,c上存在零点0 x，再结合 x单调递增，即知00 xx时 0 x，0 xxc时 0 x.故 x在00,x上递减，在0,x c上递增.当0 xxc时，有 0 xc；当00 xx时，由于112ln221eecfcfc ，故我们可以取1ln,1qcc.从而当201c
35、xq时，由cxq c，可得 1lnlnlnlnln0 xxxcccxcccxccq cccqc .再根据 x在00,x上递减，即知对00 xx都有 0 x；综合可知对任意0 xc，都有 0 x，即 lnln0 xxxcccx.根据10,ec和0 xc的任意性，取2cx，1xx，就得到112221lnln0 xxxxxx.所以1212112221lnlnfxfxfxfxxxxxxx.情况三：当12101exx时，根据情况一和情况二的讨论，可得 112111eef xfxxx，17222111eeffxxxx.而根据 f x的单调性，知 1211ef xf xf xf或 1221ef xf xff x.故一定有1221fxfxxx成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第 3 小问中，需要结合 f x的单调性进行分类讨论.
