1、侵权必究11.3.2 多边形的内角和第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和侵权必究1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）学习目标侵权必究新课导入 教学目标 教学重点侵权必究 如如图，从多边形的一个顶点图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的出发，沿多边形的各各边走过边走过各顶点，再回到点各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，然后转向出发的方向，一一共转过共转过了多少度呢？了多少度呢？新课导入侵权必究讲授新课 典例精讲 归纳总结侵权必究1知识点知识点多边形的内角和多边形的内角和思考思考 我们知道，三角形的内角和等
2、于我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、，正方形、长方形长方形的内角的内角和都和都 等于等于360.那么，任意一个四边形那么，任意一个四边形的内角和是否也的内角和是否也等于等于360呢？你能利用呢？你能利用 三角形内角和三角形内角和定理证明四边形的内角和定理证明四边形的内角和等于等于360吗？吗？讲授新课侵权必究任意四边形的内角和等于多少度？任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？你是怎样得到的？ABCD讲授新课侵权必究ABCD2 180=360 4 180 360=360 四边形的内角和是四边形的内角和是3603603 180 180=360 ABCDABCDEP讲授新课侵权必究
3、多边形多边形的边数的边数图图 形形从一个顶点引出从一个顶点引出的对角线条数的对角线条数分割出的三分割出的三角形的个数角形的个数多边形的多边形的内角和内角和3456 n(n2)1804 1802 1803 1801 18001122334n3n2讲授新课侵权必究 一般地，从一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作边形的一个顶点出发，可以作(n 3)条对角线，它们将条对角线，它们将n边形分为（边形分为（n 2)个三角形，个三角形，n边形边形的内角和等于的内角和等于180(n 2).把一个多边形分成几个三角把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边的分法
4、，能得出多边 形内角形内角和公式吗？和公式吗？讲授新课侵权必究 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：如图，四边形ABCD中，A+C=180.A+B+C+D=(42)180=360，因为 BD=360（AC）=360 180=180.所以 ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.典例精析讲授新课侵权必究【变式题】如图，在四边形ABCD中，A与C互补，BE平分ABC，DF平分ADC，若BEDF，求证：DCF为直角三角形证明：在四边形ABCD中，A与C互补，ABC+ADC=180，BE平分ABC，DF平分ADC，CDF+EBF=90，BEDF，E
5、BF=CFD，CDF+CFD=90，故DCF为直角三角形运用了整体思想讲授新课侵权必究一一个个多边形的各内角都等于多边形的各内角都等于120，它是几边形？，它是几边形？1已知正多边形的每个内角都是已知正多边形的每个内角都是156，求这个多边形，求这个多边形的边数的边数2解：解：设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，则，则(n2)180n120，解得，解得n6.所以它是六边形所以它是六边形解：解：设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，由题意得，由题意得(n2)180156n，解得，解得n15，即这个多边形的边数为，即这个多边形的边数为15.练一练讲授新课侵权必究四川遂宁四川遂宁若一个
6、多边形的内角和是若一个多边形的内角和是1 260，则这个多边形的边数是则这个多边形的边数是_设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，由题意知，由题意知，(n2)180 1 260，解得，解得n9.导引：导引：9讲授新课侵权必究(1)已知多边形的内角和求边数已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内的方法：根据多边形内 角和公式列方程：角和公式列方程：(n2)180 内角和，解方程内角和，解方程 求出求出n，即得多边形的边数；，即得多边形的边数；(2)已知正多边形每个内角的度数已知正多边形每个内角的度数k求边数求边数n的方法：根据的方法：根据 多边形内角和公式列方程：多边形内角和公式列方
7、程：(n2)180 kn，解，解 方程求出方程求出n，即得多边形的边数，即得多边形的边数讲授新课总结归纳侵权必究 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）180=360+720，解得n=8，这个多边形的每个内角都相等，（8-2）180=1080，它每一个内角的度数为10808=135典例精析讲授新课侵权必究 已知n边形的内角和=（n-2）180（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不对，说明理由；解：360180=2，630180=3.90，
8、甲的说法对，乙的说法不对，360180+2=4 故甲同学说的边数n是4；讲授新课侵权必究（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x解：依题意有（n+x-2）180-（n-2）180=360，解得x=2故x的值是2讲授新课侵权必究【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x，则有1125x1125180，即180645x180745，因为x为多边形的内角和，所以它是180的倍数，所以x18071260.所以729，126
9、01125135.因此，漏加的这个内角是135，这个多边形是九边形思路点拨：多边形的内角的度数在0180之间.讲授新课侵权必究 如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度数解析：根据五边形的内角和等于540，由C,D,E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求得P的度数可运用了整体思想讲授新课侵权必究解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540-C-D-E=230.AP平分EAB,PAB EAB，同理可得ABP ABC，P+PAB+PB
10、A=180，P=180-PAB-PBA=180 (EAB+ABC)=180 230=6512121212讲授新课侵权必究241324132413241324132413241324132413241324132413 用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？讲授新课侵权必究如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123 45A互补5180=9002知识点知识点多边形的外角和多边形的外角和讲授新课侵权必究EBCD123 45A
11、五边形外角和=360=5个平角五边形内角和=5180(52)180结论：五边形的外角和等于360.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？讲授新课侵权必究在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和n边形外角和n边形的外角和等于360.(n2)180=360=n个平角-n边形内角和=n180 AnA2A3A4123 4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关讲授新课侵权必究问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是(2)180,nn 360.n练一练：(1)若一个正多边形的内角
12、是120,那么这是正_边形.(2)已知多边形的每个外角都是45,则这个多边形是 _边形.六正八讲授新课侵权必究典例精析 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.它的内角和等于(n2)180，多边形外角和等于360，(n2)180=2 360.解得 n=6.这个多边形的边数为6.讲授新课侵权必究 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x,外角为2x,根据题意得 7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140，每个外角是40.360 40=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？
13、讲授新课侵权必究解法二：设这个多边形的边数为n,根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.18027,3602n讲授新课侵权必究【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60，求这个多边形的每个内角的度数及边数解：设该正多边形的内角是x，外角是y，则得到一个方程组 解得而任何多边形的外角和是360，则该正多边形的边数为360120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三条60,180,yxxy60,120.xy讲授新课侵权必究 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的度数解：由题意得AB=AE,所以AEB=(180-A)=36，所以BED=AED-AEB=108-36
14、=72.52180=1085AAED，12讲授新课侵权必究当堂练习 当堂反馈 即学即用侵权必究1.判断(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等 ()2.一个正多边形的内角和为720，则这个正多边形的 每一个内角等于_120当堂练习侵权必究3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米150当堂练习侵权必究4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800 B.540 C.720 D.810 D
15、5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（）A.360 B.540 C.720 D.900 B当堂练习侵权必究6.一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：180018010，原多边形边数为10212.一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，新多边形的边数可能是11，12，13，新多边形的内角和可能是1620，1800，1980.当堂练习侵权必究能力提升：如图，求1234567的度数.解：如图，3489，12345671289567五边形的内角和540.89当堂练习侵权必究课堂小结 归纳总结 构建脉络侵权必究多边形的内角和内角和计算 公 式(n-2)180(n 3的整数）外角和多边形的外角和等于360特别注意：与边数无关.正多边形内角=，外角=(2)180nn 360n课堂小结侵权必究Thanks侵权必究
