1、21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 随堂演练获取新知情景导入例题讲解知识回顾第二十一章 一元二次方程课堂小结知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxax)04(2422acbaacbbx情景导入 方程ax2bxc0(a0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？2,42bbacxa获取新知 从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2pxq0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的
2、关系吗？思考1:u重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1 x2=q.一般的一元二次方程ax2bxc0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？思考2:如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2，那么12bxxa+=-12cx xa=你能证明这个结论吗？22124422bbacbbacxxaa-+-+=+22442bbacbbaca-+-=22ba-=.ba-=验证结论：()22244bbaca
3、-=244aca=.ca=一元二次方程的根与系数的关系：如果 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2，那么12bx+x=a-注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.归纳小结12cx xa=例题讲解例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x26x150；(2)3x27x90；(3)5x14x2.12127923.33 ，xxx x121.4x x 12553=44，xx 解：(1)x1x2(6)6，x1x215.例2 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.由于x1x2=15=得m=15.答：方程的另一个根
4、是5，m=15.3m解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以 x1+x2=1+x2=6，解得x2=5.121231,.22xxxx 解：根据根与系数的关系可知：22212112212,xxxx xx2221212122xxxxx x231132;224 121212113123.22xxxxx x例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.常见的变形公式:1211xx1212;xxx x121212(1)(1)1;xxx xxx1221xxxx221212xxx x2121212()2;xxx xx x12xx212()xx21212()4.xxx x222
5、121212()2;xxxxx x归纳总结随堂演练1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另 一个根是_，m=_.-3232x1x22.设 x1、x2是方程x24x+1=0的两个根，则(1)x1+x2=_,x1x2=_，(2)x12+x22=(x1+x2)2-_=_,(3)(x1-x2)2=(_)2-4x1x2=_.411412x1+x23.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;（2）2x2-3x-2=0.解：(1)这里 a=1,b=7,c=6.=b2 -4ac=72 4 1 6=25 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么
6、x1+x2=-7,x1 x2=6.（2）2x2-3x-2=0.（2）这里 a=2,b=-3,c=-2.=b2 -4ac=（-3）2 4 2 (-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1.324.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7.12,xxk1 21.2kx x1()1 4,2kk （2）因为k=-7,所以 则1 24x x ，222121212()()474(4)65.xxxxx x 127,x x课堂小结根与系数的关系内 容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应 用222121212()2xxxxx x22121212()()4xxxxx x12121211xxxxx x12bxxa 12cxxa=注意式子成立的前提条件是b2-4ac0.
