1、 - 1 - 高中毕业年级第一次质量预测高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷理科数学试题卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分。在每小题给出的四
2、个选项中，只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1. 设集合2|xNxA， 2 1xyyB，则BA的子集个数为 A.2 B.4 C.8 D.16 答案：B 2. 复数 i i z 1 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 3. 郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018 年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是 - 2 - A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至
3、6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：A 4. 定义在R上的函数2) 3 1 ()( | mx xf为偶函數，) 2 1 (log2fa ，) 2 1 ( 3 1 fb ，)(mfc ，则 A.bac B.bca C.cba D.cab 答案：C 5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分 所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰 有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A. 5 16 B. 5 18 C.10 D. 5 32 答案：B 6.
4、 已知向量a与b夹角为 3 ，且1|a，3|2|ba，则 |b A.3 B.2 C.1 D. 2 3 答案：C 7. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日 自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b分别为3，1，则输出的 - 3 - n等于 .5 B.4 C.3 D.2 答案：B 8. 函数xxf x x cos 12 12 )( 的图象大致是 答案：C - 4 - 9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5 项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方
5、式共有多少种 A.60 B.90 C.120 D.150 答案：D 10. 已知抛物线xy2 2 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若 MFPF3，则|MN= A. 3 16 B. 3 8 C.2 D. 3 38 答案：B 11. 已知三棱锥ABCP 内接于球O，PA平面ABC，ABC为等边三角形，且边长为3，球O的表面 积为16，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 A. 7 15 B. 5 15 C. 2 15 D. 10 15 答案：D 12. 1),1(log 1|,12| )( 2 xx xx xf,2 4 15 4 5 )( 23 mxxxg，
6、若mxgfy)(有9个零 点，则m的取值范围是 A.) 1 , 0( B.)3 , 0( C.) 3 5 , 1 ( D.)3 , 3 5 ( 答案：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分. 13. 曲线12 2 xxey x 在点) 1 , 0(处的切线方程为_. 答案：10;xy - 5 - 14. 若 n S是等差数列 n a的前n项和，若0 1 a， 12 3aa ，则 5 10 S S _. 答案：4; 15. 已知双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的右顶点为A，以A为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲
7、线C的一 条渐近线相交于M，N两点，若ONOM 2 3 （O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_. 答案：; 5 30 16. 已知数列 n a满足：对任意 * Nn均有22 1 ppaa nn （p为常数，0p且1p），若 30,11, 6 , 2, 6,18, 5432 aaaa，则 1 a的所有可能取值的集合是_. 答案：.66, 2, 0 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生 都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分） 已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分
8、别为a，b，c，设 CcaBARsin)()sin(sin2 22 . （1）求角B； （）若b=12，c=8，求sinA的值 【解析】(I) 22 2 (sinsin)()sin .RABacC 22 22 (sinsin)()sin2 ,RRABacCR 即： 222 .acbac 3 分 222 1 cos. 22 acb B ac 因为0,B所以 3 B 6 分 (II)若12,8bc，由正弦定理， sinsin bc BC , 3 sin 3 C , - 6 - N O M B C A 由bc，故C为锐角， 6 cos. 3 C 9 分 36133 23 sinsin()sin().
9、 323236 ABCC 12 分 18. （12分） 已知三棱锥M-ABC中， MA=MB=MC=AC= 22， AB=BC=2， O为AC的中点， 点N在校BC上， 且 BCBN 3 2 . （1）证明：BO平面 AMC； （2）求二面角 N-AM-C 的正弦值. N O A C B M 【解析】（I）如图所示：连接OM， 在ABC中：2,2 2ABBCAC，则90 ,2ABCBO，OBAC.2 分 在MAC中： 2 2MAMCAC ，O为AC的中点，则OMAC，且 6.OM 4 分 在MOB中：2,6,2 2BOOMMB，满足： 222 BOOMMB 根据勾股定理逆定理得到OBOM ,A
10、C OM相交于O ， 故OB 平面AMC.6 分 （）因为,OB OC OM两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示 因为2 2MAMBMCAC,2ABBC 则 (0,2,0), ( 2,0,0),(0, 2,0),(0,0, 6)ABCM8 分 由 2 3 BNBC所以， 2 2 2 (,0) 33 N 设平 面MAN的法向量为( , , )mx y z，则 - 7 - 2 5 225 2 (,0) ( , , )0, 3333 (0, 2, 6) ( , , )260 AN nx y zxy AM nx y zyz 令3y ，得( 5 3, 3, 1)m 10 分 因为BO平面AMC，所以(
11、2,0,0)OB 为平面AMC的法向量， 所以( 5 3, 3, 1)m 与( 2,0,0)OB 所成角的余弦为 5 65 3 cos, 79 279 m OB 所以二面角的正弦值为 2 5 322 79 |sin,|1 () 797979 m OB .12 分 19. （12分） 已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b x a y E的离心率为 2 2 ，且过点 )0 , 1 (C . （1）求椭圆 E 的方程； （2） 若过点 )0 , 1( 的任意直线与椭圆E相交于A， B两点， 线段AB的中点为M， 求证， 恒有 |2|CMAB . 【解析】（I）由题意知1b， 2 2 c a
12、 .1 分 又因为 222 abc解得，2a . 3 分 所以椭圆方程为 2 2 1 2 y x. 4 分 （） 设过点 1 (,0) 3 直线为 1 3 xty，设 11 ,A x y， 22 ,B x y 由 2 2 1 3 1 2 xty x y 得 22 9 1812160ttyy ，且. 则 12 2 12 2 12 , 9 18 6 16 , 9 18 y y y t y t t 分 又因为 11 1,CAxy， 22 1,CBxy， 2 121212121212 4441 6 (1) (1)1 3339 C A C Bxxy yt yt yy yty ytyy 2 22 1641
13、216 10 9183 9189 tt t tt ，10 分 - 8 - 所以CACB. 因为线段AB的中点为M，所以| 2|ABCM.12 分 20. （12） 水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平， 其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称 达标）的概率为p（0p1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处 理后直接排放. 某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可 以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则
14、混合样本的化验结果必不达标 ，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接 排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越优. （1）若 3 22 p，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； （2） 若 3 22 p，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优？ 若“方案三”比“方案四更“优”，求p的取值范围. 【解析】(I)该混合样本达标的概率是 2 2 28 () 39 ，2 分 所以根据对
15、立事件原理，不达标的概率为 81 1 99 .4 分 (II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为 4. 方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为 1，概率为 8 9 ；若不达标则检测次数为 3，概率为 1 9 .故方案二的检测次数记为 2，2的可能取值为 2,4,6. 其分布列如下， 2 2 4 6 p 64 81 16 81 1 81 可求得方案二的期望为 2 6416119822 ()246 818181819 E - 9 - 方案四：混在一起检测，记检测次数为 4，4可取 1,5. 其分布列如下， 4 1 5 p 64 81 17 81 可求得方案四的期望为 4 641
16、7149 ()15 818181 E . 比较可得 42 ()()4EE，故选择方案四最“优”9 分 (ii)方案三：设化验次数为 3 ， 3 可取 2,5. 3 25 p 3 p 3 1p 333 3 ()25(1)53Eppp； 方案四：设化验次数为 4 ， 4 可取1,5 4 15 p 4 p 4 1p 444 4 ()5(1)54Eppp； 由题意得 34 34 3 ()()5354 4 EEppp. 故当 3 0 4 p时，方案三比方案四更“优”12 分 21. （12分） 已知函数 x e xxxf x ln)(. （1）求)(xf的最大值； （2）若1) 1 ()(bxe x x
17、xf x 恒成立，求实数b的取值范围. 【解析】(I)( )ln x e f xxx x ，定义域(0,) ， 22 1(1)(1)() ( )1 xx exxxe fx xxx ， 由1 x exx ，( )f x在(0,1增，在(1,)减， max ( )(1)1f xfe 4 分 (II) 1 ( )()e1 x f xxbx x ee lne1 xx x xxxbx xx - 10 - lne10 x xxxbx eln1 x xxx b x min eln1 (), x xxx b x 6 分 令 eln1 ( ) x xxx x x ， 2 ln ( ) x x ex x x 令
18、2 ( )ln x h xx ex，( )h x在(0,)单调递增，0, ( )xh x ，(1)0he ( )h x在(0,1)存在零点 0 x，即 0 2 000 ()ln0 x h xx ex 000 1 ln 2 0 000 00 ln1 ln0(ln)() xxx x x exx ee xx 9 分 由于 x yxe在(0,)单调递增，故 00 0 1 lnln,xx x 即 0 0 1 x e x ( )x在 0 (0,)x减，在 0 (,)x 增， 0 00000 min 00 eln111 ( )2 x xxxxx x xx 所以2b.12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共
19、10分，请考生在第分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P) 2 3 , 1 (，其参数方程 sin3 cos y ax （为参数），以原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证： 22 | 1 | 1 OBOA 为定值，并求出这个定值. 【解析】(I)将点 3 (1, ) 2 P代入曲线 E 的方程， 得 1cos , 3 3sin, 2
20、a 解得 2 4a ，2 分 所以曲线E的普通方程为 22 1 43 xy , 极坐标方程为 222 11 ( cossin)1 43 .5 分 ()不妨设点,A B的极坐标分别为 - 11 - 1212 ()()00, 2 AB ， 则 2222 11 2222 22 11 (cossin)1, 43 11 (cos ()sin ()1, 4232 即 22 2 1 22 2 2 111 cossin, 43 111 sincos, 43 8 分 22 12 11117 4312 ,即 22 117 |12OAOB 10 分 23. 选修4-5不等式选讲（10分） 已知函数mxxxf| 12
21、| 1|)(. （1）求不等式mxf)(的解集； （2）若恰好存在4个不同的整数n，使得0)(nf，求m的取值范围. 【解析】(I)由 f xm，得， 不等式两边同时平方，得 22 1)(21)xx( ，3 分 即3 (2)0 x x，解得20 x . 所以不等式 f xm的解集为 | 20 xx 5 分 ()设 g(x)|x1|2x1| 8 分 0( )f ng nm因为( 2)(0)0gg，( 3)1, ( 4)2, (1)3.ggg 又恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 0f n ， 所以21.m 故m的取值范围为1,2). 10 分 1 2, 2 1 ( )3 ,1, 2 2,1, xx g xxx xx
