1、 中考数学 （浙江专用） 9.2 旋转操作型问题 1.(2020绍兴,9,4分)如图,等腰直角三角形ABC中,ABC=90,BA=BC,将BC绕点B顺时针旋转(090), 得到BP,连接CP,过点A作AHCP交CP的延长线于点H,连接AP,则PAH的度数( ) A.随着的增大而增大 B.随着的增大而减小 C.不变 D.随着的增大,先增大后减小 答案答案 C 将BC绕点B顺时针旋转(090),得到BP,BC=BP=BA,BCP=BPC,BPA=BAP. CBP+BCP+BPC=180,ABP+BAP+BPA=180,ABP+CBP=90,BPC+BPA =(360-90)=135=CPA. CP
2、A=AHC+PAH=135,PAH=135-90=45,PAH的度数是定值.故选C. 1 2 2.(2018内蒙古包头,20,3分)如图,在RtACB中,ACB=90,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重 合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE. 下列结论: ACEBCD; 若BCD=25,则AED=65; DE2=2CF CA; 若AB=3,AD=2BD,则AF=. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 2 5 3 答案答案 解析解析 根据旋转的性质及AC=BC可得ACEBCD; 在BDC中,BDC=180-45-2
3、5=110,AEC=110.由题意知CD=CE,DCE=90,DEC=45, AED=AEC-DEC=65;ACE=FCE,FEC=CAE=45,CFECEA,=, 即CE2=CF CA, 在RtDCE中,2CE2=DE2,DE2=2CF CA; AB=3,AD=2BD,AC=3,AD=2,AE=BD=, 易知DAE=90,DE=, 由知DE2=2CF CA,()2=2CF3,CF=, AF=AC-CF=. 所以正确的结论为. CE CA CF CE 222 22 ADAE10 10 5 3 4 3 思路分析思路分析 根据旋转的性质及AC=BC可判断正确;由BCD=25,B=45,可得BDC=
4、AEC=110, 由题意知DCE为等腰直角三角形,进而求得AED=65,正确;易证CFECEA,则CE2=CF CA,根 据DE2=2CE2可知正确;在RtADE中,由勾股定理得DE=,根据DE2=2CF CA求得CF=,进而求得 AF=,所以错. 10 5 3 4 3 疑难突破疑难突破 本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质等知识, 灵活运用旋转的性质是关键,难点在于由旋转的性质得到数量关系及由题中条件判定三角形相似,并由 相似的性质求线段间的数量关系,再求有关线段的长度. 3.(2020福建,24,12分)如图,ADE由ABC绕点A按逆时针方向旋转90
5、得到,且点B的对应点D恰好落在 BC的延长线上,AD,EC相交于点P. (1)求BDE的度数; (2)F是EC延长线上的点,且CDF=DAC. 判断DF和PF的数量关系,并证明; 求证:=. EP PF PC CF 解析解析 本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与 性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,考查推理能力,考查化归与转化思想. (1)由旋转的性质可知,AB=AD,BAD=90,ABCADE, 在RtABD中,B=ADB=45, ADE=B=45, BDE=ADB+ADE=90. (2)DF=PF. 证明:由旋转的性质可知,AC=
6、AE,CAE=90, 在RtACE中,ACE=AEC=45, CDF=CAD,ACE=ADB=45, ADB+CDF=ACE+CAD, 即FPD=FDP,DF=PF. 证明:过点P作PHED交DF于点H, HPF=DEP,=, EP PF DH HF DPF=ADE+DEP=45+DEP, DPF=ACE+DAC=45+DAC, DEP=DAC,又CDF=DAC, DEP=CDF,HPF=CDF, 又FD=FP,F=F,HPFCDF, HF=CF,DH=PC, 又=,=. EP PF DH HF EP PF PC CF 4.(2020内蒙古包头,25,12分)如图,在RtABC中,ACB=90
7、,AC=4,BC=2,RtABC绕点C按顺时针方向 旋转得到RtABC,AC与AB交于点D. (1)如图1,当ABAC时,过点B作BEAC,垂足为E,连接AE. 求证:AD=BD; 求的值; (2)如图2,当ACAB时,过点D作DMAB,交BC于点N,交AC的延长线于点M,求的值. 图1 图2 DN NM 解析解析 (1)证明:ABAC,BAC=ACA. BAC=BAC,ACA=BAC,AD=CD. ACA+BCD=90,BAC+ABC=90, BCD=ABC,CD=BD,AD=BD.(3分) 在RtABC中,BC=2,AC=4,AB=2. BEAC,BEC=90, 在RtBEC和RtACB中
8、,BCE=ABC,tanBCE=tanABC, =2,BE=2CE. 在RtBEC中,BE2+CE2=BC2,(2CE)2+CE2=4,CE=. CD=AB,CD=,DE=CD-CE=, =.AD=BD,SADE=SBDE, 5 BE CE AC BC 2 5 5 1 2 5 3 5 5 CE DE 2 3 SABE=2SADE,=.(8分) (2)ACAB,NCD=BDC=90. DMAB,DNC=ABC=ABC. DC=CD,NCDBDC, NC=BD,DN=CB=2. BCD+ABC=90,BAC+ABC=90, BCD=BAC. 在RtCDB和RtACB中,tanBCD=tanBAC,
9、=. SABC=AB CD=AC BC,CD=,BD=, CN=,AD=.NCD=BDC=90,CNAB, NCM=BAC.NMC=DMA,MNCMDA, 1 3 BD CD BC AC 1 2 1 2 4 5 5 2 5 5 2 5 5 8 5 5 =,=,MN=,=3.(12分) MN MD CN AD2 MN MN 1 4 2 3 DN NM 5.(2020绍兴,24,14分)如图,矩形DEFG中,DG=2,DE=3,RtABC中,ACB=90,CA=CB=2,FG,BC的延长 线相交于点O,且FGBC,OG=2,OC=4.将ABC绕点O逆时针旋转(0180)得到ABC. (1)当=30
10、时,求点C到直线OF的距离; (2)在图1中,取AB的中点P,连接CP,如图2. 当CP与矩形DEFG的一条边平行时,求点C到直线DE的距离; 当线段AP与矩形DEFG的边有且只有一个交点时,求该交点到直线DG的距离的取值范围. 解析解析 (1)作CHOF于点H,如图1, 图1 HCO=COC=30,CH=CO cos 30=2, 点C到直线OF的距离为2. (2)当CPOF时,如图2,作CMOF于点M, 图2 3 3 CPOF,O=180-OCP=45, OCM是等腰直角三角形, OC=4,CM=2, 点C到DE的距离为2-2. 当CPDG时,如图3,作CNOF于点N, 图3 则OCN为等腰
11、直角三角形,CN=2, 2 2 2 点C到DE的距离为2+2. 设d为所求距离, 第一种情况,当AP与DE相交时, 当点A在DE上时,如图4, 图4 OA=2,OM=2,OMA=90, AM=4,AD=2,即d=2. 当点P在DE上时,如图5,作PKOB于点K, 2 5 图5 PK=1,OK=5,OP=,PM=, 即d=-2,2d-2. 第二种情况,当AP与FG相交但不与EF相交时,当A在FG上时,显然有AG=2-2,即d=2-2. 当点P在EF上时,如图6,AP与GF交于点Q, 2622 2222 55 OP=,OF=5,PF=1. 过点P作PTOB于点T,PROQ交OB于点R, OFPOTP,FOP=TOP, PROQ,OPR=POR,即OR=PR, PT2+TR2=PR2,PR=2.6,RT=2.4,BPRBQO, 26 图6 =,=, OQ=,GQ=,即d=. 2-2d. 第三种情况,当AP经过点F时,如图7,显然d=3. 图7 由以上三种情况知2d-2或d=3. B R B O PR OQ 3.4 6 2.6 OQ 78 17 44 17 44 17 5 44 17 22
