1、 中考数学 （江苏专用） 7.2 概 率 考点1 事件及随机事件的概率 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2020泰州,4,3分)如图,电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡,同时闭合开关A、B或同时闭合 开关C、D都可以使小灯泡发光.下列操作中,“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是( ) A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关 答案答案 B A.只闭合1个开关,小灯泡不会发光,属于不可能事件,不符合题意; B.只闭合2个开关,小灯泡可能发光也可能不发光,是随机事件,符合题意; C.只闭合3个开关,小灯泡一定会发光,是必然事件,不符合题意;
2、 D.闭合4个开关,小灯泡一定会发光,是必然事件,不符合题意.故选B. 2.(2016徐州,3,3分)下列事件中的不可能事件是( ) A.通常加热到100 时,水沸腾 B.抛掷2枚正方体骰子,都是6点朝上 C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D.任意画一个三角形,其内角和是360 答案答案 D A中事件是确定事件;B、C中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;三角形的内角和 是180,不可能是360,所以D中事件是不可能事件,故选D. 3.(2020苏州,13,3分)一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动,并随机停留在某块地砖上.每块地砖的 大小、质地完全相同,那么该小球停留在黑色区域
3、的概率是 . 答案答案 3 8 解析解析 设每块方格地砖的边长为1, 由题图可知,黑色区域的面积为6,所有方格地砖的面积为16,小球停留在黑色区域的概率是. 3 8 4.(2019扬州,11,3分)扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下: 抽取的 毛绒玩 具数n 20 50 100 200 500 1 000 1 500 2 000 优等品 的频数m 19 47 91 184 462 921 1 379 1 846 优等品的 频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923 m n 从这批玩具中,任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的
4、概率的估计值是 .(精确到0.01) 答案答案 0.92 解析解析 从这批毛绒玩具中,任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92. 5.(2018扬州,11,3分)有4根细木棒,长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,从中任选3根,恰好能搭成一个三角形 的概率是 . 答案答案 3 4 解析解析 根据题意,从4根细木棒中任取3根,有2 cm、3 cm、4 cm;3 cm、4 cm、5 cm;2 cm、3 cm、5 cm; 2 cm、4 cm、5 cm,共4种取法, 而能搭成一个三角形的有2 cm、3 cm、4 cm;3 cm、4 cm、5 cm;2 cm,4 cm,5 cm,
5、共3种.故所求概率为. 3 4 方法总结方法总结 本题考查概率的计算方法,使用列举法解题时,注意按一定顺序列举,做到不重不漏.用到的知 识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 6.(2018宿迁,16,3分)小明和小丽按如下规则做游戏:桌面上放有7根火柴棒,每次取1根或2根,最后取完者 获胜.若由小明先取,且小明获胜是必然事件,则小明第一次应该取走火柴棒的根数是 . 答案答案 1 解析解析 若小明第一次取走1根,小丽也取走1根,小明第二次取走2根,小丽无论取走1根还是两根,小明都将 取走最后一根; 若小明第一次取走1根,小丽取走2根,小明第二次取走1根,小丽无论取走1根还是2根,小明都将取走
6、最后 一根.由小明先取,且小明获胜是必然事件,故答案为1. 7.(2017徐州,10,3分)如图,转盘中6个扇形的面积相等,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,指针指向的 数小于5的概率为 . 答案答案 2 3 解析解析 共6个数,小于5的有4个, P(小于5)=,故答案为. 4 6 2 3 2 3 8.(2017苏州,15,3分)如图,在“33”的网格中,有3个涂成黑色的小方格.若再从余下的6个小方格中随机 选取1个涂成黑色,则完成的图案为轴对称图案的概率是 . 答案答案 1 3 解析解析 完成的图案为轴对称图案的情况有两种,如图: 故所求概率为=. 2 6 1 3 9.(2017南京,21
7、,8分)全面两孩政策实施后,甲、乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同, 回答下列问题: (1)甲家庭已有一个男孩,准备再生一个孩子,则第二个孩子是女孩的概率是 ; (2)乙家庭没有孩子,准备生两个孩子,求至少有一个孩子是女孩的概率. 解析解析 (1).(2分) (2)乙家庭没有孩子,准备生两个孩子,所有可能出现的结果有(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女),共4种, 它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“至少有一个孩子是女孩”(记为事件A)的结果有3种,所以 P(A)=.(8分) 1 2 3 4 考点2 概率的计算与应用 1.(2018无锡,9,3分)如图是一个沿33正
8、方形方格纸的对角线AB剪下的图形,一质点P由A点出发,沿格点 线每次向右或向上运动1个单位长度,则点P由A点运动到B点的不同路径共有( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.7条 答案答案 B 如图,将各格点(除格点A、B)分别记为1、2、3、4、5、6、7、8, 画树状图如下: 由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5条,故选B. 2.(2018徐州,10,2分)如图,小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球,则小球停在小正方形内 部(阴影)区域的概率为( ) A. B. C. D. 3 4 1 3 1 2 1 4 答案答案 C 设小正方形的边长为1,则其面积为1. 根据勾股定
9、理,得小正方形对角线长为,即圆的直径为, 圆的直径正好是大正方形的边长, 大正方形的边长为, 则大正方形的面积为=2,故小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为.故选C. 22 2 22 1 2 思路分析思路分析 算出阴影部分的面积及大正方形的面积,这个比值就是所求的概率. 3.(2019镇江,11,2分)如图,有两个转盘A、B,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1,2,分别转 动转盘A、B,当转盘停止转动时,若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是,则转盘B中 标有数字1的扇形的圆心角的度数是 . 1 9 答案答案 80 解析解析 设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的
10、概率为x, 根据题意得x=,解得x=, 转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为360=80. 1 2 1 9 2 9 2 9 4.(2016淮安,13,3分)一个不透明的袋中装有3个黄球和4个蓝球,这些球除颜色外完全相同,从袋子中随机 摸出一个球,摸出的球是黄球的概率是 . 答案答案 3 7 解析解析 共有7个球,其中黄球有3个,所以P(摸出的球是黄球)=. 3 7 5.(2020南京,22,8分)甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览. (1)求甲选择的2个景点是A、B的概率; (2)甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 . 解析解析 (1)甲从A、B、C这3个景点
11、中随机选择2个景点,所有可能出现的结果共有3种,即(A,B)、(A,C)、 (B,C),这些结果出现的可能性相等.所有的结果中,满足甲选择的2个景点是A、B(记为事件M)的结果有1 种,即(A,B),所以P(M)=. (2). 详解:画树状图如下. 共有9种等可能的情况,其中甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的情况有3种,所以P(甲、乙两人选择的 2个景点相同)=. 1 3 1 3 3 9 1 3 6.(2020苏州,23,8分)在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分别标有数字0、1、2,它们除数字外 都相同.小明先从布袋中任意摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标,将此球放
12、 回、搅匀,再从布袋中任意摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标.请用树状图或 表格列出点A所有可能的坐标,并求出点A在坐标轴上的概率. 解析解析 解法一:画树状图如图. 由图可知共有9种等可能的情况, 而点A在坐标轴上的情况有5种, P(点A在坐标轴上)=. 5 9 解法二:列表如下: 横坐标 纵坐标 0 1 2 0 (0,0) (1,0) (2,0) 1 (0,1) (1,1) (2,1) 2 (0,2) (1,2) (2,2) 由表可知共有9种等可能的情况, 而点A在坐标轴上的情况有5种, P(点A在坐标轴上)=. 5 9 7.(2020淮安,22,8分)一只不透明的袋子
13、中,装有三个大小、质地都相同的乒乓球,球面上分别标有字 母A、O、K,搅匀后先从袋中任意摸出一个球,将对应字母记入图中左边的方格内;然后将球放回袋中搅 匀,再从袋中任意摸出一个球,将对应字母记入图中右边的方格内. (1)第一次摸到字母A的概率为 ; (2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率. 解析解析 (1)第一次摸到字母A的概率=. (2)所有可能的情况如图所示: 所以两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率=. 1 3 1 9 8.(2019苏州,22,6分)在一个不透明的盒子中装有4张卡片,4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片 除数
14、字外都相同,将卡片搅匀. (1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数数字卡片的概率是 ; (2)先从盒子中任意抽取一张卡片,再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的2张卡片标有的数 字之和大于4的概率(请用画树状图或列表等方法求解). 解析解析 (1). (2)用表格列出所有可能出现的结果如下表: 1 2 第二张 第一张 1 2 3 4 1 (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) 由表格可知,共有12种可能的结果,并且它们的出现是等可能的,其中两次抽取卡片数字之和大于
15、4的情 况包括(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共8种. 所以P(抽取的两张卡片数字之和大于4)=. 8 12 2 3 9.(2019南京,21,8分)某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动,要求每位学生选择两 天参加活动. (1)甲同学随机选择两天,其中有一天是星期二的概率是多少? (2)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率是 . 解析解析 (1)甲同学随机选择两天,所有可能出现的结果共有6种,即(星期一,星期二),(星期一,星期三),(星期 一,星期四),(星期二,星期三),(星期二,星期四),(星期
16、三,星期四),这些结果出现的可能性相等.所有的结果 中,满足有一天是星期二(记为事件A)的结果有3种,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期二,星期四), 所以P(A)=.(5分) (2).(8分) 详解:乙同学随机选择连续的两天,共有3个等可能的结果,即(星期一,星期二),(星期二,星期三),(星期三, 星期四), 其中有一天是星期二的结果有2个,即(星期一,星期二),(星期二,星期三), 乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期二的概率P=. 3 6 1 2 2 3 2 3 10.(2018淮安,21,8分)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球,球面上分别标有数字1、
17、 -2、3,搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回),记下数字作为点A的横坐标,再从余下的两个小球中 任意摸出一个小球,记下数字作为点A的纵坐标. (1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果; (2)求点A落在第四象限的概率. 解析解析 (1)列表得: 1 -2 3 1 (1,-2) (1,3) -2 (-2,1) (-2,3) 3 (3,1) (3,-2) (2)由表可知,共有6种等可能的结果,其中点A落在第四象限的有2种结果, 所以点A落在第四象限的概率为=. 2 6 1 3 方法总结方法总结 此题考查了列表法或画树状图法求概率的知识,难度不大,注意列表法或画树状图法可以不 重复,不
18、遗漏地列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;画树状图法适合两步或两步以上完 成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比. 11.(2017盐城,20,8分)为了弘扬祖国的优秀传统文化,某校组织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参 加,其中,有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑无 路”. (1)小明回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择,若随机选择其中一个,则小明回答 正确的概率是 ; (2)小丽回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难 以抉择,若分别随机选择,请用列表或画树状图的方
19、法求小丽回答正确的概率. 解析解析 (1)对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择, 随机选择其中一个正确的概率为. (2)画树状图如下: 由树状图可知共有4种可能结果,其中正确的有1种, 所以小丽回答正确的概率为. 1 2 1 4 考点1 事件及随机事件的概率 B组 20162020年全国中考题组 1.(2020云南,10,4分)下列说法正确的是( ) A.为了解三名学生的视力情况,采用抽样调查 B.任意画一个三角形,其内角和是360是必然事件 C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩(单位:环)的平均数分别为、,方差分别为、.若=, =0.4,=2,则甲的成绩比乙的稳定 D.一个抽奖活动中,
20、中奖概率为,表示抽奖20次就有1次中奖 x甲x乙 2 s甲 2 s乙x甲x乙 2 s甲 2 s乙 1 20 答案答案 C 为了解三名学生的视力情况,应采用全面调查,选项A错误;任意画一个三角形,其内角和是360 是不可能事件,选项B错误;抽奖中奖概率为,表示抽一次奖中奖的可能性为,不能表示抽奖20次就 有1次中奖,选项D错误;因为0,解得k0.5,所以0.50, a0,b0, 易知满足条件的a,b的值有2种情况,即a=1,b=-4或a=2,b=-4, 二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为=. 2 0, -0, 2 -40, a b a ba 2 12 1 6 三、解答题(共36分) 1
21、7.(7分)(2020盐城,23)生活在数学时代的我们,很多场合用二维码(如图)来表示不同的信息,类似地,可 通过在矩形网格中,对每一个小方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息,例如:网格中只有一 个小方格,如图,通过涂黑色或不涂色可表示两个不同的信息. (1)用画树状图或列表的方法,求图可表示不同信息的总个数;(图中标号1、2表示两个不同位置的小 方格,下同) (2)图为22的网格图,它可表示不同信息的总个数为 ; (3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”,准备在证件的右下角采用nn的网格图来表示各人身 份信息,若该校师生共492人,则n的最小值为 . 解析解析 (1)画树状图如
22、图所示: 题图可以表示不同信息的总个数为4. (2)16. (3)3. 提示:1个小方格可表示2个信息;2个小方格可表示22个信息;k个小方格可表示2k个信息,29=512 492,k9,结合网格为nn,可知n的最小值为3. 18.(7分)(2019苏州,23)某校计划组织学生参加“书法”“摄影”“航模”“围棋”四个课外兴趣小组, 要求每人必须参加,并且只能选择其中的一个小组.为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从 全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图 (部分信息未给出),请你根据给出的信息解答下列问题: 调查结果扇形统计图 调查结果
23、条形统计图 (1)求参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据); (2)m= ,n= ; (3)若该校共有1 200名学生,试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人. 解析解析 (1)=150(人). 答:参加这次问卷调查的学生人数为150. 补全条形统计图如图: (2)36;16. 30 20% (3)1 2000.16=192(人). 答:估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有192人. 19.(8分)(2020湖南常德,23)今年24月某市出现了200名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者 进行了免费治疗.图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的
24、人数分布统计图(不完整),图2是这三类患 者的人均治疗费用统计图,请回答下列问题. (1)轻症患者的人数是多少? (2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元? (3)所有患者的平均治疗费用是多少万元? (4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转 入另一病房,请用画树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率. 图1 图2 解析解析 (1)由题图1知,轻症患者所占的百分比为80%,而新冠肺炎患者为200人, 故轻症患者的人数=20080%=160.(2分) (2)该市为治疗危重症患者共花费200(1-80%-15%)10=100(万元).
25、(4分) (3)所有患者的平均治疗费用=2.15(万元).(5分) (4)画树状图为 共有20种等可能的情况,恰好选中B、D两位患者的情况有2种, 恰好选中B、D两位患者转入另一病房的概率P=.(8分) 1.5 1603 (200 15%)100 200 2 20 1 10 20.(6分)(2019常州,23)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子 中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中. (1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ; (2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余
26、下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长 度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接) 解析解析 (1)搅匀后从中摸出1个盒子,可能有A型(正方形)、B型(菱形)或C型(等腰直角三角形)这3种情况, 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种, 盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是. (2)画树状图为: 共有6种等可能的情况,其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种,即A和C,C和A, 2 3 拼成的图形是轴对称图形的概率为=. 2 6 1 3 21.(8分)素养题为了解某共享单车的使用情况,小月对部分用户的骑行时间t(分)进行了随机抽查,将获
27、 得的数据分成四组(A:0t30;B:30t60;C:60120),并绘制出如图所示的两幅不完整的统 计图. (1)求D组所在扇形的圆心角的度数,并补全条形统计图; (2)小月打算在C、D两组中各随机选一名用户进行采访,若这两组中各有两名女士,请用列表或画树状 图的方法求出恰好选中一男一女的概率. 解析解析 (1)被调查的总人数为630%=20(人), C组人数为2020%=4(人), 则D组人数为20-(6+7+4)=3(人), D组所在扇形的圆心角的度数为360=54, 补全图形如下: (2)树状图如下: 3 20 共有12种等可能的情况,其中选中一名男士和一名女士的情况有6种, 选中一名男士和一名女士的概率为=. 6 12 1 2 思路分析思路分析 (1)由A组人数及其所占百分比求得总人数,再乘C组百分比求得C组人数,继而根据各组人数 之和等于总人数求出D组的人数,用360乘D组人数所占比例得解; (2)画出树状图,可得共有12种等可能的情况,其中选中一名男士和一名女士的情况有6种,即可得到选中 一名男士和一名女士的概率.
