1、 中考数学 （福建专用） 6.3 解直角三角形 20162020年全国中考题组 考点一 锐角三角函数 1.(2020湖南长沙,6,3分)从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30时,船离灯塔的水平距 离是( ) A.42米 B.14米 C.21米 D.42米 33 答案答案 A 如图,根据题意可知,船离灯塔的水平距离AC=42米,故选A. tan30 BC 42 3 3 3 2.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则( ) A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B 答案答案 B
2、RtABC中,C=90,A、B、C所对的边分别为a、b、c,sin B=,即b=csin B,故A 选项不成立,B选项成立;tan B=,即b=atan B,故C选项不成立,D选项不成立.故选B. b c b a 3.(2016三明,9,4分)如图,在RtABC中,斜边AB的长为m,A=35,则直角边BC的长是( ) A.msin 35 B.mcos 35 C. D. sin35 m cos35 m 答案答案 A sin A=,AB=m,A=35, BC=msin 35,故选A. BC AB 4.(2016福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A
3、,B重合),连 接OP,设POB=,则点P的坐标是( ) A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos ) AB 答案答案 C 过P作PQOB,交OB于点Q, 在RtOPQ中,OP=1,POQ=, sin =,cos =,即PQ=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C. PQ OP OQ OP 思路分析思路分析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键. 5.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D
4、. 1 2 3 3 3 答案答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS), AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC=1,故选B. , 90 , , ADBE ADBBEC BDCE BC AB 6.(2016龙岩,13,4分)如图,若点A的坐标为(1,),则sin1= . 3 答案答案 3 2 解析解析 过A作ABx轴于B,则OB=1,AB=,由勾股定理,得OA=2, 则sin1=. 3 22 OBAB AB OA 3 2 7.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果: sin27
5、+sin2830.122+0.992=0.994 5, sin222+sin2680.372+0.932=1.001 8, sin229+sin2610.482+0.872=0.987 3, sin237+sin2530.602+0.802=1.000 0, sin245+sin245=+=1. 据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1. (1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立; (2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例. 2 2 2 2 2 2 解析解析 (1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin23
6、0+sin260=+=+=1. 所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立. (2)小明的猜想成立.证明如下: 如图,ABC中,C=90, 设A=,则B=90-. sin2+sin2(90-)=+=1. 2 1 2 2 3 2 1 4 3 4 2 BC AB 2 AC AB 22 2 BCAC AB 2 2 AB AB 8.(2018贵州贵阳,18,8分)如图1,在RtABC中,以下是小亮探索与之间关系的方法: sin A=,sin B=, c=,c=, =. 根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角ABC中,探索,之间的关系,并写出探索过程. sin a Asin b B a c
7、b c sin a Asin b B sin a Asin b B sin a A sin b Bsin c C 解析解析 如图1,过点A作BC边上的高AD, 图1 在RtABD中,sin B=,在RtACD中,sin C=, AD=csin B,AD=bsin C, csin B=bsin C,=. 同理,如图2,过点B作AC边上的高BE, AD c AD b sin b Bsin c C 图2 在RtABE中,sin A=,在RtBCE中,sin C=, BE=csin A,BE=asin C, csin A=asin C, =. 综上,=. BE c BE a sin a Asin c
8、C sin a Asin b Bsin c C 考点二 解直角三角形 1.(2020江苏苏州,7,3分)如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置 测角仪,测得旗杆顶的仰角ACE=;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB =b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( ) A.a+btan B.a+bsin C.a+ D.a+ tan b sin b 答案答案 A 延长CE交AB于F, 由题意得,四边形CDBF为矩形, CF=DB=b,FB=CD=a, 在RtACF中,ACF=,CF=b, tanACF=, AF
9、=CF tanACF=btan , AB=AF+BF=a+btan ,故选A. AF CF 解题关键解题关键 本题主要考查了解直角三角形,解题关键是通过构造直角三角形,将实际问题转化为数学问 题. 2.(2016莆田,9,4分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC=4,将ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处, EF为折痕,若AE=3,则sinBFD的值为( ) A. B. C. D. 1 3 2 2 3 2 4 3 5 答案答案 A 在ABC中,ACB=90,AC=BC=4, A=B, 由折叠的性质得AEFDEF,EDF=A, EDF=B, 又CDE+EDF=BFD+B,CDE=BFD
10、. AE=DE=3,CE=4-3=1,在直角ECD中,sinCDE=,sinBFD=.故选A. CE ED 1 3 1 3 思路分析思路分析 本题主要考查了翻折的性质及其应用问题,解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三 角形外角的性质等知识来解决问题. 3.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是( ) A.DAB B.DCE C.DCA D.ADC 答案答案 B 从点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B. 4.(2016福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一 个角(O)为60,A,B,C都在格点上,则ta
11、nABC的值是 . 答案答案 3 2 解析解析 如图,在网格中取格点E,F,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得 AEF=30,BEF=60,易知AE=a,EB=2a, AEB=90, tanABC=. 3 AE BE 3 2 a a 3 2 思路分析思路分析 本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角之间的关系等知识,解题的关键是添加 辅助线构造直角三角形,属于中考常考题型. 5.(2020四川成都,18,8分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅 游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附
12、近一建筑物楼顶D 处测得塔A处的仰角为45,塔底部B处的俯角为22.已知建筑物的高CD约为61米,请计算观景台的高AB 的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40) 解析解析 如图所示,过D作DFAB于F, 则四边形CDFB是矩形, CD=BF=61米, 在RtADF中,AFD=90,ADF=45,AF=DF, 在RtDFB中,tan 22=,DF=152.5米, AB=AF+BF=152.5+61=213.5米214米. 答:观景台的高AB约为214米. BF DFtan22 BF 61 0.40 6.(2016莆田,20,8分)小梅家
13、的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,A,B两点立于 地面,将晒衣架稳固张开,测得张角AOB=62,立杆OA=OB=140 cm.小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度 为122 cm,问这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖到地面?请通过计算说明理由.(参考数据:sin 59 0.86,cos 590.52,tan 591.66) 解析解析 会.理由:如图,过点O作OEAB于E. OA=OB,AOB=62, OAB=OBA=59. 在RtAEO中,OE=OA sinOAE=140sin 591400.86=120.4 cm. 120.4122, 这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖到地面. 思
14、路分析思路分析 本题考查了直角三角形的应用,解题的关键是构造直角三角形. 7.(2016漳州,21,8分)如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高 度BC为米,tan A=,现把图中的货物继续往前平移,当货物顶点D与C重合时,仍可把货物放平装进货 厢,求BD的长.(结果保留根号) 5 1 3 解析解析 如图,点D与点C重合时,BC=BD,BCB=CBD=A, tan A=, tanBCB=, 设BB=x米,则BC=3x米, 1 3 BB B C 1 3 在RtBCB中,BB2+BC2=BC2, 即x2+(3x)2=()2, 解得x=(负值舍去), BD=BC=
15、米. 5 2 2 3 2 2 思路分析思路分析 点D与点C重合时,BC=BD,BCB=CBD=A,利用tan A=得到tanBCB=,然后 设BB=x米,则BC=3x米,在RtBCB中,利用勾股定理求得答案即可. 1 3 BB B C 1 3 8.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰 角为31,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45.根据测得的数据,计算这座 灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60. 解析解析 根据题意,CAD=31,
16、CBD=45,CDA=90,AB=30, 在RtACD中,tanCAD=, AD=. 在RtBCD中,tanCBD=, BD=CD, 又AD=AB+BD, =30+CD, CD=45. 答:这座灯塔的高度CD约为45 m. CD AD tan31 CD CD BD tan45 CD tan31 CD 30tan31 1tan31 300.60 10.60 思路分析思路分析 在RtACD中利用CAD的三角函数表示出AD;在RtBCD中利用CBD的三角函数表示 出BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高度. 教师专用题组 考点一 锐角三角函数 1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等
17、于( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60=,则2sin 60=2=,故选C. 3 2 3 2 3 2.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为( ) A.3 B. C. D. 1 3 10 10 3 10 10 答案答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A=3. BC AC 3.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinBAC=( ) A. B. C. D. 2 6 26 26 26 13 13 13 答案答案 B 如图,作BDAC于D, 设正
18、方形网格中每个小正方形的边长为1, AB=, 又BD=, sinBAC=.故选B. 22 3213 22 11 2 2 2 BD AB 2 2 13 26 26 4.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE, EF.若AB=2,AD=3,则cosAEF的值是 . 答案答案 2 2 解析解析 连接AF. 四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=C=90. 点E是CD的中点,AB=2,CE=1. FC=2BF,BC=3,BF=1,FC=2. 易证ABFFCE, AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90, AFB+
19、EFC=90,AFE=90. AEF是等腰直角三角形, cosAEF=cos 45=. 2 2 考点二 解直角三角形 1.(2020安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的 仰角CBD=36.9,塔顶A的仰角ABD=42.0,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上). (参考数据:tan 36.90.75, sin 36.90.60,tan 42.00.90) 解析解析 由题意,在RtABD与RtCBD中, AD=BDtanABD0.9BD,CD=BDtanCBD0.75BD. 于是AC=AD-CD=0.15BD. 因为AC=15米
20、,所以BD=100米. 所以山高CD=0.75BD=75米.(8分) 解题关键解题关键 根据图形建立等式关系AC=AD-CD是解答本题的关键. 2.(2019陕西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小 组的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是, 他们先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45; 再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方 向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵
21、古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与 地面的距离EF=1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均 垂直于FB,求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计) 解析解析 过点C作CHAB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5.(1分) 在RtACH中,ACH=45, AH=CH=BD.AB=AH+BH=BD+0.5.(2分) EFFB,ABFB,EFG=ABG=90. 由题意,易知EGF=AGB, EFGABG.(4分) =,即=.(5分) 解之,得BD=17.5.(6分) AB=17.5+0.5=18.这棵古树的高AB为
22、18 m.(7分) EF AB FG BG 1.6 0.5BD 2 5BD 思路分析思路分析 首先在RtACH中利用45角求出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明EFG ABG,利用相似三角形的性质得出含BD的比例式,进而求出BD的长,最后求出古树AB的高度. 3.(2019山西,20,9分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案, 并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗 杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之 间的距离时,都分别测量了两次并取它
23、们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整). 课题 测量旗杆的高度 成员 组长: 组员:, 测量工具 测量角度的仪器,皮尺等 测量示意图 说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的 高度AC=BD=1.5 m,测点A,B与H在同一条水平直 线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B, C,D都在同一竖直平面内.点C,D,E在同一条直线 上,点E在GH上. 课题 测量旗杆的高度 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 GCE的度数 25.6 25.8 25.7 GDE的度数 31.2 30.8 31 A,B之间的距 离 5.4 m 5.6 m 任务一:两次测量A,B之间的
24、距离的平均值是 m; 任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度; (参考数据:sin 25.70.43,cos 25.70.90,tan 25.70.48,sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60) 任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的 方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可) 解析解析 任务一:5.5.(1分) 任务二:由题意可得四边形ACDB,四边形ACEH都是矩形, EH=AC=1.5,CD=AB=5.5.(2分) 设EG=x m. 在RtDEG中,DEG=
25、90,GDE=31, tan 31=, DE=.(3分) 在RtCEG中,CEG=90,GCE=25.7, tan 25.7=, CE=.(4分) CD=CE-DE, EG DE tan31 x EG CE tan25.7 x -=5.5.(5分) x=13.2.(6分) GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7.(7分) 答:旗杆GH的高度为14.7 m.(8分) 任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(9分) tan25.7 x tan31 x 解题关键解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型. A组 2018
26、2020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:44分 一、选择题（每小题4分，共20分） 1.(2020宁德二检,5)如图,有一斜坡AB的长为10,坡角B=36,则斜坡AB的铅垂高度AC为( ) A.10 tan 36 B.10 sin 36 C. D.10 cos 36 10 sin36 答案答案 B sin B=, AC=AB sin B=10 sin 36, 故选B. AC AB 2.(2020福州福清线上质检,6)如图,A,B,C是31的正方形网格中的三个格点,则tan B的值为( ) A. B. C. D. 1 2 5 5 2 5 5 10 5 答案答案 A 如图所示, 在RtABD
27、中,tan B=,故选A. AD BD 1 2 3.(2019厦门二检,2)如图,在ACB中,C=90,则等于( ) A.sinA B.sinB C.tanA D.tanB BC AB 答案答案 A 在直角三角形中,sinA=,cosA=,tanA=, =sinA,故选A. A 的对边 斜边 A 的邻边 斜边 A A 的对边 的邻边 BC AB 4.(2020漳州一检,7)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则cosBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D. 1 2 2 2 3 2 答案答案 C 如图所示,连接BC. 易知AB=,BC=,AC=, AB2+BC2=A
28、C2, 则ABC为直角三角形,ABC=90, BAC=BCA=45, cosBAC=. 故选C. 5510 2 2 5.(2018莆田二检,6)如图,AB是O的切线,A为切点,连接OB交O于点C.若OA=3,tanAOB=,则BC的 长为( ) 4 3 A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 A 由AB是O的切线可得OAB=90,又OA=3,tanAOB=,得AB=4,由勾股定理得出OB= 5,又OC=OA,因此BC=OB-OC=5-3=2. AB OA 4 3 二、填空题（每小题4分，共8分） 6.(2019泉州晋江质检,13)机器人沿着坡度为17的斜坡向上走了5 米,则机器人在竖直方向上
29、上升的 高度为 米. 2 答案答案 1 解析解析 如图所示,由题意可设AC为x米,BC为7x米,由勾股定理可得x2+(7x)2=(5)2,解得x=1. 2 7.(2019龙岩二检,13)已知A是锐角,且sinA=,则cosA= . 1 3 答案答案 2 2 3 解析解析 如图,在RtABC中,sinA=, 设BC=a,则AB=3a, AC=2a. cosA=. BC AB 1 3 22 ABBC2 AC AB 2 2 3 a a 2 2 3 三、解答题（共16分） 8.(2020福州一检,19)福建省会福州拥有“三山两塔一条江”,其中报恩定光多宝塔(别名白塔)位于于山 风景区,利用标杆可以估算
30、白塔的高度.如图,标杆BE高1.5 m,测得AB=0.9 m,BC=39.1 m,求白塔的高CD. 解析解析 依题意,得CDAC,BEAC, ABE=ACD=90.(2分) A=A, ABEACD,(4分) =.(5分) AB=0.9,BC=39.1,BE=1.5, AC=40,(6分) =,(7分) CD=, 白塔的高CD为米.(8分) AB AC BE CD 0.9 40 1.5 CD 200 3 200 3 9.(2019泉州晋江质检,21)在四边形ABCD中,CDAB,ACBD于点O,AC=CB,=,求sinDBC的值. CD AB 1 2 解析解析 CDAB, OCDOAB,(2分)
31、 =, =.(3分) AC=CB, =.(5分) ACBD, COB=90.(6分) 在RtCOB中, sinDBC=sinOBC=.(8分) OC OA CD AB 1 2 OC AC 1 3 OC BC 1 3 OC BC 1 3 B组 20182020年模拟提升题组 时间:40分钟 分值:50分 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2019泉州石狮质检,8)如图,过MAN的边AM上的一点B(不与点A重合),作BCAN于点C,过点C作CD AM于点D,则下列线段的比等于tanA的是( ) A. B. C. D. CD AC BD BC BD CD CD BC 答案答案 C BCAN,
32、 ACD+BCD=90. CDAM, A+ACD=90. A=BCD. tanA=tanBCD=,故选C. BD CD 2.(2020漳州一检,9)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,若BC=n,BAC=,则下列结论错误的是( ) A.AC= B.CD= C.OA= D.BD= sin n tan n 2sin n cos n 答案答案 D 在RtABC中,sin =,AC=.故A中结论正确. 在RtABC中,tan =. CD=AB,CD=AB=.故B中结论正确. OA=AC, OA=AC=,故C中结论正确. BD=AC,BD=,故D中结论错误. 故选D. BC ACsin n BC AB
33、tan n 1 2 1 22sin n sin n 3.(2020龙岩二检,10)如图,ABC中,AB=AC,BAC=30,D是AB上一点,且BD=2AD,将ABC沿过D的一 条直线翻折,点B恰好落在AC边上的F点处,折痕交BC于点E,则sinFEC的值为( ) A. B. C. D. 1 3 1 4 3 3 5 5 答案答案 B 过D作DHAC,垂足为H,设DH=x. BAC=30,AD=2x, BD=2AD,BD=4x, 由折叠可知B=DFE,DF=BD=4x. AB=AC, B=C, AFE=DFE+AFD=FEC+C, AFD=FEC, sinFEC=sinAFD=. DH DF4 x
34、 x 1 4 二、填空题（每小题4分，共8分） 4.(2020厦门二检,15)图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图,其中OC为桌面(台灯底座 的厚度忽略不计),台灯支架AO与灯管AB的长度都为30 cm,且夹角为150(即BAO=150).若保持该夹 角不变,当支架AO绕点O顺时针旋转30时,支架与灯管的位置如图2所示,则灯管末梢B的高度会降低 cm. 答案答案 15 解析解析 在图1中,过B点作BEOC于E点,过A点作ADBE于D点,易证四边形OADE是矩形, OAD=90,DE=AO=30 cm, BAD=BAO-DAO=150-90=60, 在RtABD中,sin 60=,B
35、D=15 cm, BD AB 3 2 3 BE=BD+DE=(15+30)cm. 在图2中,过A1作A1FOC于F点,过B1作B1E1OC于E1点,过A1作A1MB1E1于M点,易证四边形A1FE1M为矩 形, FA1M=90,ME1=A1F. AOA1=30, OA1F=AOA1=30, B1A1M=OA1B1-OA1F-FA1M=150-30-90=30, B1M=A1B1=15 cm, 在RtA1OF中,sin 60=, A1F=OA1 sin 60=30=15 cm, B1E1=B1M+ME1=B1M+A1F=(15+15)cm, BE-B1E1=(15+30)-(15+15)=15(
36、cm). 3 1 2 1 1 AF OA 3 2 3 3 33 灯管末梢B的高度会降低15 cm. 解后反思解后反思 本题主要考查解直角三角形的应用,根据已知求出BE,A1F和B1M的长是解决问题的关键. 5.(2020漳州一检,14)、均为锐角,且满足+=0,则-= . 3 sin 2 tan1 答案答案 15 解析解析 0,0, 且+=0, sin =,tan =1, =60,=45, -=60-45=15. 3 sin 2 tan1 3 sin 2 tan1 3 2 三、解答题（共30分） 6.(2020福州二检,24)已知ABC,AB=AC,BAC=90,D是AB边上一点,连接CD,E
37、是CD上一点,且AED= 45. (1)如图1,若AE=DE, 求证:CD平分ACB; 求的值; (2)如图2,连接BE,若AEBE,求tanABE的值. AD DB 解析解析 (1)证明:AED=45,AE=DE, EDA=67.5.(1分) DCA=22.5. AB=AC,BAC=90, ACB=ABC=45,(2分) DCB=22.5, 即DCA=DCB, CD平分ACB.(3分) 过点D作DFBC于点F, 18045 2 DFB=90. BAC=90, DACA. 又CD平分ACB, AD=FD,(4分) =. 在RtBFD中,ABC=45, AD DB FD DB sinDBF=,(
38、5分) =.(6分) (2)解法一:过点A作AGAE交CD的延长线于点G,连接BG, GAE=90. 又BAC=90,AED=45, BAG=CAE,AGE=45,AEC=135,(7分) AGE=AEG, FD DB 2 2 AD DB 2 2 AG=AE.(8分) AB=AC, AGBAEC,(9分) AGB=AEC=135,CE=BG, BGE=90.(10分) AEBE, AEB=90, BEG=45, 在RtBEG和RtAGE中, BE=GE,AE=GE cos 45=GE,(11分) 在RtABE中,tanABE=.(12分) 解法二:AEBE, cos45 GE 2 2 2 AE
39、 BE 2 2 2 GE GE 1 2 AEB=90, BAE+ABE=90. AED=45, BED=45,EAC+ECA=45, AEC=BEC=135.(7分) BAC=90, BAE+EAC=90, ABE=EAC. ABC=45, ABE+EBC=45, ECA=EBC,(8分) AECCEB. =.(9分) BE CE EC EA BC CA 在RtABC中,BC=CA,(10分) =, BE=CE,AE=CE.(11分) 在RtABE中,tanABE=.(12分) cos45 CA 2 BE CE EC EA BC CA 2 2 2 2 AE BE 2 2 2 CE CE 1 2
40、 7.(2020漳州一检,22)如图,某校数学兴趣小组为测量该校旗杆AB及笃志楼CD的高度,先在操场的F处用 测角仪EF测得旗杆顶端A的仰角AEG为45,此时笃志楼顶端C恰好在视线EA上,再向前走8 m到达B 处,用该测角仪又测得笃志楼顶端C的仰角CGH为60.已知测角仪高度为1.5 m,点F、B、D在同一水 平线上. (1)求旗杆AB的高度; (2)求笃志楼CD的高度(精确到0.1 m). (参考数据:1.41,1.73) 23 解析解析 (1)在RtAEG中,AGE=90,AEG=45, AG=EG=8.(2分) AB=AG+GB=8+1.5=9.5.(3分) 旗杆AB的高为9.5 m.(
41、4分) (2)设GH=x m. CGH=60, CH=GH tan 60=x.(5分) 在RtCEH中,CHE=90,CEH=45, CH=EH=EG+GH, x=8+x.(6分) 解得x=.(7分) CD=DH+CH=1.5+x=1.5+20.5.(9分) 3 3 8 31 3 8 3 31 答:笃志楼CD的高约为20.5 m.(10分) 注:笃志楼CD的高约为20.4 m不扣分. 8.(2018龙岩二检,22) (1)知识延伸:如图1,在ABC中,C=90,AB=c,BC=a,AC=b,根据三角函数的定义得sin2A+cos2A= ; (2)拓展运用:如图2,在锐角三角形ABC中,AB=c,BC=a,AC=b. 求证:b2=a2+c2-2accos B; 已知:a=3,b=,c=2,求B的度数. 7 解析解析 (1)1. (2)证明:过A作ADBC,垂足为点D. 设BD=x,则CD=a-x, 由勾股定理得AB2-BD2=AC2-CD2, c2-x2=b2-(a-x)2, b2=a2+c2-2ax. 在RtABD中,cos B=,即x=ccos B, b2=a2+c2-2accos B. 当a=3,b=,c=2时,()2=32+22-232cos B. x c 77 cos B=, B=60. 1 2
