1、 中考数学 （广东专用） 8.5 几何综合题型 1.(2020广西北部湾经济区,25,10分)如图,在ACE中,以AC为直径的O交CE于点D,连接AD,且DAE= ACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与O相切于点B. (1)求证:AP是O的切线; (2)连接AB交OP于点F,求证:FADDAE; (3)若tanOAF=,求的值. 1 2 AE AP 解析解析 (1)证明:AC为直径, ADC=90, ACE+CAD=90, 又DAE=ACE,DAE+DAC=90, OAAP, AP为圆O的切线. (2)证明:连接OB, PA,PB为圆O的切线,PA=PB, 又OB=OA,OP=OP
2、, OBPOAP(SSS),BOD=DOA, =,FAD=ACE, 在AOB中,AOF=BOF,OA=OB,OFAB, AFD=ADE=90, 又ACE=DAE, FAD=DAE, FADDAE. (3)在RtOFA中,tanOAF=, 设OF=x,则AF=2x,OA=x,DF=OD-OF=OA-OF=(-1)x, 易知APO=OAF,AP=2OA=2x, 由(2)知FAD=ACE, tanACE=tanFAD, AD DB 1 2 55 5 即=,又AC=2OA=2x, AE=(5-)x, =. AE AC DF AF ( 51) 2 x x 5 5 AE AP (55) 2 5 x x 5
3、1 2 思路分析思路分析 (1)证明OAAP即可得到结论,属于“连半径证垂直”的切线证明类型; (2)连接OB,由切线长定理可得PA=PB,根据SSS即可证明OBPOAP,进一步得到FAD=DAE, AFD=ADE=90,从而可证明FADDAE; (3)由tanOAF=可设OF=x,得到AF=2x,OA=x,AP=2x,由(2)知FAD=ACE,进而可得tanACE =tanFAD,列式=,最后进行求解即可. 1 2 55 AE AC DF AF ( 51) 2 x x 2.(2020浙江杭州,23,12分)如图,已知AC,BD为O的两条直径,连接AB,BC,OEAB于点E,点F是半径OC 的
4、中点,连接EF. (1)设O的半径为1,若BAC=30,求线段EF的长; (2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P, 求证:PE=PF; 若DF=EF,求BAC的度数. 解析解析 (1)因为OEAB,BAC=30,OA=1, 所以AOE=60,OE=OA=,AE=. 又因为点F是半径OC的中点,所以OF=OC=, 所以OE=OF,所以OFE=AOE=30,所以BAC=OFE. 所以EF=AE,所以EF=. (2)作FGAB于点G,与BO交于点H,连接EH. 证明:因为AC为O的直径,所以ABC=90, 所以FGBC,所以OFHOCB, 所以=,同理=,所以FH=OE. 又因为FHOE,所以四
5、边形OEHF是平行四边形, 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 FH BC OF OC 1 2 OE BC 1 2 所以PE=PF. 因为OEFGBC, 所以=1, 所以EG=GB,所以EF=BF. 因为DF=EF,所以DF=BF. 因为DO=BO,所以FOBD. 所以AOB是等腰直角三角形,所以BAC=45. EG GB OF FC 思路分析思路分析 (1)利用解直角三角形、等腰三角形的性质及判定,求出EF的值.(2)过点F作FGAB于点G, 交BD于点H,连接EH.由FGBC,OEBC推得FH=OE,判断出四边形OEHF是平行四边形,又由平行四 边形的对角线互相平分,得
6、PE=PF.根据平行线分线段成比例,可知G是EB的中点,即EG=GB.由FG AB,EG=GB可知EF=BF,故DF=BF.因为O是BD的中点,根据等腰三角形的性质可得FO与BD互相垂直,即 可求出BAC. 3.(2018江苏南京,26,8分)如图,在正方形ABCD中,E是AB边上一点,连接DE,过点A作AFDE,垂足为F, O经过点C、D、F,与AD相交于点G. (1)求证:AFGDFC; (2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求O的半径. 解析解析 (1)证明:在正方形ABCD中,ADC=90, CDF+ADF=90. AFDE,AFD=90. DAF+ADF=90. DAF=CDF
7、. 四边形GFCD是O的内接四边形, FCD+DGF=180. 又FGA+DGF=180, FGA=FCD. AFGDFC. (2)如图,连接CG. EAD=AFD=90, EDA=ADF, EDAADF, =. AFGDFC,=. EA DA AF DF AG DC AF DF =. 在正方形ABCD中,DA=DC, AG=EA=1, DG=DA-AG=4-1=3. CDG=90, CG=5, CG是O的直径. O的半径为. AG DC EA DA 22 DGDC 22 34 5 2 4.(2020山东潍坊,24,12分)如图1,在ABC中,A=90,AB=AC=+1,点D,E分别在边AB,
8、AC上,且AD=AE =1,连接DE.现将ADE绕点A顺时针方向旋转,旋转角为(0360),如图2,连接CE,BD,CD. (1)当00). 又AND是等边三角形, AN=AD=ND=b(m+n),A=N=D=60, 由折叠可知AG=AG,AH=AH,A=GAH=60, =. NGA+NAG=120,NAG+HAD=120, NGA=HAD. 又N=D,NGADAH, =, AG AH A G A H A G A H A NG A DH C C () () b mnbm b mnbn 2 2 mn mn 即=. AG AH 2 2 mn mn 方法总结方法总结 图形折叠问题的解题关键是找出对称轴,再根据轴对称性得出全等三角形,同时可以得到折 叠前后两图形对应边及对应角相等的关系.
