1、 中考数学 （北京专用） 3.3 反比例函数 北京中考题组 1.(2020北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别 为y1,y2,则y1+y2的值为 . m x 答案答案 0 解析解析 根据题意可知直线y=x和双曲线y=的交点为(-,-), (,),所以y1+y2=-+=0. m x mmmmmm 一题多解一题多解 已知直线y=x和双曲线y=都关于原点对称,所以它们的交点也关于原点对称,所以两交点的 纵坐标互为相反数,所以y1+y2=0. m x 2.(2019北京,13,2分)在平面直角坐标系xOy中,点A(a,b)(a0,b0
2、)在双曲线y=上,点A关于x轴的对称点B 在双曲线y=上,则k1+k2的值为 . 1 k x 2 k x 答案答案 0 解析解析 点A(a,b)(a0,b0)在双曲线y=上,k1=ab.点B与点A关于x轴对称,点B坐标为(a,-b),同理 有k2=-ab.k1+k2=0. 1 k x 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过表示对称点的坐标求出k1和k2与ab的关系,进而化简得到答案. 3.(2017北京,23,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m). (1)求k,m的值. (2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线
3、y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y =(x0)的图象于点N. 当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由; 若PNPM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围. k x k x 解析解析 (1)直线y=x-2经过点A(3,m),m=1. 又函数y=(x0)的图象经过点A(3,1),k=3. (2)PM=PN.理由:当n=1时,点P的坐标为(1,1), 点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3), PM=PN=2. n的取值范围是00时,y=0,y=(x0)的图象在第一象限,当x0,y=-(x0)的图象在第二象限, 所以坐标系的原点应为点M,故选A. 1 x 1 x
4、 1 x 1 x 2.(2018江西,6,3分)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线l1,直线l2与 双曲线y=的关系,下列结论中的是( ) A.两直线中总有一条与双曲线相交 B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C.当-2m0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是2 3 x 错误 答案答案 D 由于m、m+2不同时为零,所以两直线中总有一条与双曲线相交,选项A中结论正确;当m=1时, 点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),当x=1时,y=3,直线l1与双曲线的交点
5、坐标为(1,3);当x=3时,y= =1,直线l2与双曲线的交点坐标为(3,1). =,当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等,选项B中结 论正确;当-2m0时,0m+20)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点 D,若矩形OABC的面积为8,则k的值为 . k x 答案答案 2 解析解析 设D(xD,yD),xD0,yD0,过D分别作DEOA,DFOC,则DF=xD,DE=yD,且DFOA,DEOC, 点D为AC的中点, OA=2DF=2xD,OC=2DE=2yD. 矩形OABC的面积等于8,OA OC=8, 即2xD 2yD=8,xDyD=2. 又点D在反比例函数y=(k0,x
6、0)的图象上, k=xDyD=2. k x 5.(2020贵州贵阳,19,10分)如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象相交,其中一个交点的横 坐标是2. (1)求反比例函数的表达式; (2)将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位,求平移后的图象与反比例函数y=图象的交点坐标; (3)直接写出一个一次函数,使其过点(0,5),且与反比例函数y=的图象没有公共点. k x k x k x 解析解析 (1)一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象的一个交点的横坐标是2,且当x=2时,y=3, 其中一个交点是(2,3). k=23=6.反比例函数的表达式是y=. (2)将一次
7、函数y=x+1的图象向下平移2个单位, 平移后的图象对应的表达式是y=x-1. 由xy=6及y=x-1,可得一元二次方程x2-x-6=0, 解得x1=-2,x2=3. 平移后的图象与反比例函数的图象的交点坐标为(-2,-3),(3,2). (3)y=-2x+5(答案不唯一). k x 6 x 考点二 反比例函数的应用 1.(2019内蒙古包头,19,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将ABO沿直线AB翻折后得 到ABC,若反比例函数y=(x0)经过点D,则OB BE的值为 . 3 2x 答案答案 3 解析解析 根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y=上,顶点
8、A,C在双曲线y=-上.设AB与x轴交于 点M,BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=,SABC=3.OB=BD=AC,BEAC,SABC=BE AC=BE 2OB=3,即OB BE=3. 3 2x 3 2x 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 根据图形的对称性可得点A、C在双曲线y=-上,点B在双曲线y=上,由反比例函数y= 中k的几何意义得SABC=2|k|=3,即SABC=BE AC=BE 2OB=BE OB=3. 3 2x 3 2x k x 1 2 1 2 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,反比例函数中比例系数k的几何意义.要
9、根据k的几何意义求得S ABC,SABC可以表示为 BE AC,又因为OB=AC,进而求得OB BE的值. 1 2 1 2 3.(2018福建,16,4分)如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,BCx轴,ACy轴,则ABC面积的最 小值为 . 3 x 答案答案 6 解析解析 令=x+m,整理得x2+mx-3=0, 则xA=,xB=, BCx轴,ACy轴,且直线AB为y=x+m, AC=BC=xA-xB=, SABC=(m2+12)6,当且仅当m=0时取“=”. 故ABC面积的最小值为6. 3 x 2 12 2 mm 2 12 2 mm 2 12m 1 2 解题关键解题关键 由y=x
10、+m知直线AB与x轴所成的锐角为45,且ABC为等腰直角三角形是解本题的关键. 4.(2016新疆乌鲁木齐,14,4分)如图,直线y=-2x+4与双曲线y=交于A,B两点,与x轴交于点C,若AB=2BC,则 k= . k x 答案答案 3 2 解析解析 过点A作AEx轴,垂足为E,过点B作BFx轴,垂足为F,AEBF,CBFCAE,= ,AB=2BC,=,yB=yA,xA yA=k,xB yB=k,xB=3xA. 由题意可知C点坐标为(2,0),则CF=2-xB,CE=2-xA, =,2-xA=3(2-xB),又xB=3xA,2-xA=3(2-3xA),解得xA=. BC AC BF AE C
11、F CE BF AE CF CE 1 3 1 3 CF CE 1 3 1 2 把xA=代入y=-2x+4,得yA=3, A点坐标为,k=3=. 1 2 1 ,3 2 1 2 3 2 5.(2020福建,16,4分)设A,B,C,D是反比例函数y=图象上的任意四点,现有以下结论: 四边形ABCD可以是平行四边形; 四边形ABCD可以是菱形; 四边形ABCD不可能是矩形; 四边形ABCD不可能是正方形. 其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号) k x 答案答案 解析解析 由反比例函数y=(k0)的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,可知四边形ABCD的对角线 可以互相平分,但不垂直.故正确的
12、结论是. k x 方法点拨方法点拨 反比例函数的图象性质(轴对称性,中心对称性)为中考重要的考点,所以以下结论应牢记: 反比例函数图象的两条对称轴为直线y=x,直线y=-x. 如图,若OA=OB,则点A,B关于直线y=x对称,若A(x,y),则B(y,x). 如图,SAOB=S梯形AMNB. 如图,直线AB与x轴,y轴分别交于点D,C,则AC=BD. 6.(2020河北,19,6分)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点 记作Tm(m为18的整数).函数y=(x0)的图象为曲线L. (1)若L过点T1,则k= ; (2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm
13、,则m= ; (3)若曲线L使得T1T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有 个. k x 答案答案 (1)-16 (2)5 (3)7 解析解析 因为每个台阶的高和宽分别是1和2,T1的纵坐标为1,T8的横坐标为-2,所以T1的坐标为(-16,1),T4的 坐标为(-10,4),T5的坐标为(-8,5). (1)若L过点T1,则k=-161=-16. (2)若L过点T4,则k=-104=-40, 因为-85=-40,所以L过点T5,则m=5. (3)当k=-16时,L经过点T1和T8;当k=-40时,L经过点T4和T5.显然若曲线L使得T1T8这些点分布在它的两侧, 每侧各4个点
14、,一定是点T3,T6,T4,T5在曲线上方,其余四个点在曲线下方.点T3的坐标为(-12,3),若L过点T3,则 k=-123=-36;点T2的坐标为(-14,2),若L过点T2,则k=-142=-28.所以满足题意的k的取值范围为-36k0)图象上一点,过点B分别向坐标轴作垂线,垂足为A, C.反比例函数y=(x0)的图象经过OB的中点M,与AB,BC分别相交于点D,E.连接DE并延长交x轴于点F, 点G与点O关于点C对称,连接BF,BG. (1)填空:k= ; (2)求BDF的面积; (3)求证:四边形BDFG为平行四边形. 8 x k x 解析解析 (1)2.(2分) 详解:点B在反比例
15、函数y=(x0)的图象上, 可设点B的坐标为, OB的中点M的坐标为. 点M在反比例函数y=(x0)的图象上,k=2. (2)ABOC,B,则D, BD=m-=m. SBDF=m=3.(6分) 8 x 8 ,m m 4 , 2 m m k x2 m4 m 8 ,m m 8 , 4 m m 4 m3 4 1 2 3 4 8 m (3)证明:由(2)知B,D,则A,E,C(m,0). BE=-=,CE=. CFBD,ECFEBD, =, CF=. 点G与点O关于点C对称, CG=OC=AB=m, FG=CG-CF=m-=m, BD=FG. 又BDFG, 四边形BDFG是平行四边形.(10分) 8
16、,m m 8 , 4 m m 8 0, m 2 ,m m 8 m 2 m 6 m 2 m CF BD CE BE 4 m 4 m3 4 一题多解一题多解 (2)连接OD,则SAOD=1.SAOB=4,SBOD=4-1=3.OFAB,点F到AB的距离等于 点O到AB的距离,SBDF=SBOD=3. | 2 k|8| 2 8.(2019四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+5和y=-2x的图象相交于点A,反 比例函数y=的图象经过点A. (1)求反比例函数的表达式; (2)设一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=的图象的另一个交点为B,连接OB,求ABO的面积.
17、 1 2 k x 1 2 k x 解析解析 (1)由解得 点A的坐标为(-2,4). 把(-2,4)代入y=中,得4=,k=-8. 反比例函数的表达式为y=. (2)由解得 B(-8,1),直线BO的解析式为y=-x.过点A作ACx轴交BO于点C,则yC=, 1 5, 2 2 , yx yx 2, 4. x y k x2 k 8 x 1 5, 2 8 , yx y x 1 1 2, 4, x y 2 2 8, 1. x y 1 8 1 4 SABO= AC (xO-xB)=(0+8)=15. 1 2 1 2 1 4 4 思路分析思路分析 (1)联立两直线解析式得方程组,方程组的解即为点A的坐标
18、;(2)联立直线与反比例函数解析 式,求得点B坐标,进而得到直线BO的解析式,用“铅垂法”求得ABO的面积. 9.(2019辽宁大连,22,9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,点B在 OA的延长线上,BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若SACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长. k x 3 2 解析解析 (1)将(3,2)代入y=中,得2=,解得k=6,所以该反比例函数的解析式为y=(x0). (2)过A作AEBC于点E,延长EA交y轴于点F, 点A的坐标为
19、(3,2),AF=3, BCx轴,点C的坐标为(a,0), 点D的坐标为,AE=a-3. SACD=CD AE= (a-3)=, a=6,经检验,a=6是上述分式方程的解. 点D的坐标为(6,1). 设OA所在直线的解析式为y=mx(m0), 将(3,2)代入,得2=3m,解得m=, k x3 k6 x 6 , a a 1 2 1 2 6 a 3 2 2 3 OA所在直线的解析式为y=x,当x=6时,y=6=4.点B的坐标为(6,4).BD=3. 2 3 2 3 10.(2019贵州贵阳,22,10分)如图,已知一次函数y=-2x+8的图象与坐标轴交于A,B两点,并与反比例函数y= 的图象相切
20、于点C. (1)切点C的坐标是 ; (2)若点M为线段BC的中点,将一次函数y=-2x+8的图象向左平移m(m0)个单位后,点C和点M平移后的对 应点同时落在另一个反比例函数y=的图象上时,求k的值. 8 x k x 解析解析 (1)令-2x+8=,得x2-4x+4=0(x0), 解得x1=x2=2, 则y=4,切点C的坐标为(2,4). 故填(2,4). (2)由(1)可知C(2,4),直线y=-2x+8与x轴交于点B, B(4,0),线段BC的中点M(3,2). 直线AB向左平移m(m0)个单位,点C平移后的对应点的坐标为(2-m,4), 点M平移后的对应点的坐标为(3-m,2), 平移后
21、的对应点同时落在反比例函数y=的图象上, 8 x k x 解得k的值是4. 2(3), 4(2), mk mk 1, 4. m k 思路分析思路分析 (1)联立两个解析式求出点C的坐标;(2)首先求出平移后点C和点M对应点的坐标(用含m的代 数式表示横坐标),然后根据两点落在另一反比例函数图象上列出二元一次方程组,求出m和k的值. A组 20182020年模拟基础题组 考点一 反比例函数的图象和性质 1.(2019北京门头沟二模,6)已知点A(1,m)与点B(3,n)都在反比例函数y=(k0)的图象上,那么m与n的关系 是( ) A.mn C.m=n D.不能确定 k x 答案答案 B y=(
22、k0), 在第一象限内y随x的增大而减小. 01n.故选B. k x 2.(2020北京朝阳二模,13)若点A(4,-3),B(2,m)在同一个反比例函数的图象上,则m的值为 . 答案答案 -6 解析解析 由题意可知4(-3)=2m,所以m=-6. 3.(2020北京顺义一模,14)已知点A(2,-3)关于x轴的对称点A在反比例函数y=的图象上,则实数k的值为 . k x 答案答案 6 解析解析 点A(2,-3)关于x轴的对称点A的坐标为(2,3),把A(2,3)代入y=得k=23=6. k x 4.(2018北京丰台一模,10)有一个反比例函数,它满足:图象经过点(1,1);在第一象限内y随
23、自变量x的 增大而减小,则这个函数的表达式为 . 答案答案 y= 1 x 解析解析 设该函数为y=(k0),因为其图象过点(1,1),所以k=1,即y=,经检验,y=满足题意,故y=. k x 1 x 1 x 1 x 5.(2020北京丰台一模,21)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+4的图象与y轴交于点A,与反比例函数y =的图象的一个交点为M. (1)求点A的坐标; (2)连接OM,如果MOA的面积等于2,求k的值. k x 解析解析 (1)令x=0,则y=4.A(0,4).(2分) (2)SAOM=2,AO=4,AO|xM|=2,|xM|=1.(3分) 当xM=1时,yM=5.如
24、图,y=的图象过点(1,5), 1 2 k x k=5.(4分) 当xM=-1时,yM=3.如图,y=的图象过点(-1,3), k x k=-3. 综上所述,k=5或-3.(5分) 6.(2020北京通州一模,24)已知:在平面直角坐标系xOy中,对于任意的实数a(a0),直线y=ax+a-2都经过 平面内一个定点A. (1)求点A的坐标; (2)反比例函数y=的图象与直线y=ax+a-2交于点A和另外一点P(m,n). 求b的值; 当n-2时,求m的取值范围. b x 解析解析 (1)当x=-1时,y=-a+a-2=-2, A(-1,-2).(1分) (2)把点A(-1,-2)代入反比例函数
25、y=中, 得b=2.(2分) 若点P(m,n)在第一象限, 当n-2时,m0;(3分) 若点P(m,n)在第三象限, 当n-2时,m-2时,m0或m-1.(6分) b x 7.(2018北京顺义一模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与曲线y=(k0)相交于A(-3,a),B两 点. (1)求k的值; (2)过点P(0,m)作直线l,使直线l与y轴垂直,直线l与直线AB交于点M,与曲线y=(k0)交于点N,若点P在点 M与点N之间,直接写出m的取值范围. k x k x 解析解析 (1)点A(-3,a)在直线y=2x+4上, a=2(-3)+4=-2,点A的坐标为(-3,-
26、2). 点A(-3,-2)在曲线y=(k0)上, -2=,k=6. (2)m的取值范围是0m4. 提示:当m4时,点P不在点M与点N之间,不合题意;当m0时,点P不在点M与点N之间,也不合题意.因为曲 线y=(k0)与坐标轴没有交点,所以m的取值范围是0m0)的图象经过点A,作ACx轴于点 C. (1)求k的值; (2)直线AB:y=ax+b(a0)经过点A交x轴于点B.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.线段AB,AC,BC围成的 区域(不含边界)为W. 直线AB经过(0,1)时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有1个整点,结合函数图象,求a的取值范围. k x 解析解析 (1)观察函
27、数图象可知A(2,2),代入y=,可得k=4.(1分) (2)1个.(2分) 当直线AB经过点A(2,2),(0,1)时区域W内恰有1个整点,此时a=. 当直线AB经过点A(2,2),(1,1)时区域W内没有整点,此时a=1.(3分) 当a0)的图象与直线y=2x-2交于点A (2,m). (1)求k,m的值; (2)点B为函数y=(x0)的图象上的一点,直线AB与y轴交于点C,当AC=2AB时,求点C的坐标. k x k x 解析解析 (1)直线y=2x-2过点A(2,m), m=22-2=2,即A(2,2).(2分) 函数y=(x0)的图象过点A(2,2),k=4.(3分) (2)当点B在
28、点A左侧时,AC=2AB, 点B的横坐标为1.点B的坐标为(1,4).直线AB的表达式为y=-2x+6.点C的坐标为(0,6); 当点B在点A右侧时,AC=2AB, 点B的横坐标为3.点B的坐标为. 直线AB的表达式为y=-x+, 点C的坐标为. 点C的坐标为(0,6)或.(5分) k x 4 3, 3 2 3 10 3 10 0, 3 10 0, 3 4.(2018北京海淀一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),Q(-1,2),函数y=(m0). (1)当函数y=(m0)的图象经过点P时,求m的值; (2)若P,Q两点中恰有一个点的坐标满足不等式组(m0),求m的取值范围.
29、 m x m x , m y x yxm 解析解析 (1)函数y=(m0)的图象经过点P(2,2),2=,即m=4. (2)当点P(2,2)满足(m0)时,由不等式组得0m0)时, 由不等式组得m3.P,Q两点中恰有一个点的坐标满足(m0), m的取值范围是00)与BC边交于点E,且CEEB=12,则矩形OABC的面积为 . 3 x 答案答案 9 解析解析 设E点坐标为,CEEB=12,B点坐标为,矩形OABC的面积=3t=9. 3 , t t 3 3 , t t 3 t 思路分析思路分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征,设E点坐标为,利用CEEB=12,B点坐标可表 示为,然后根据矩形面积
30、公式计算. 3 , t t 3 3 , t t 二、解答题(共54分) 4.(2020北京海淀一模,23)在平面直角坐标系xOy中,直线x=3与直线y=x+1交于点A,函数y=(k0,x0) 的图象与直线x=3,直线y=x+1分别交于点B,C. (1)求点A的坐标. (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数y=(k0,x0)的图象在点B,C之间的部分与线段AB,AC围 成的区域(不含边界)为W. 当k=1时,结合函数图象,求区域W内整点的个数; 若区域W内恰有1个整点,直接写出k的取值范围. 1 2 k x 1 2 k x 解析解析 (1)直线x=3与直线y=x+1交于点A, 解得A. (
31、2)如图1所示,当k=1时,根据题意B,C, 1 2 3, 1 1, 2 x yx 3, 5 . 2 x y 5 3, 2 1 3, 3 31 13, 2 在W区域内有1个整点:(2,1); 若区域W内恰有1个整点, 当C点在直线x=3的左边时,如图1,在W区域内有1个整点:(2,1), 1k2;当C点在直线x=3的右边时, 如图2,在W区域内有1个整点:(4,4), 16k20.综上,当区域W内恰有1个整点时,1k2或16k20. 解题关键解题关键 解决整点问题的关键是精准画图,同时要利用临界点和特殊点进行验证,从而确定取值范围. 5.(2020北京朝阳一模,25)在平面直角坐标系xOy中,
32、直线y=1与一次函数y=-x+m的图象交于点P,与反比例 函数y=的图象交于点Q,点A(1,1)与点B关于y轴对称. (1)直接写出点B的坐标; (2)求点P,Q的坐标(用含m的式子表示); (3)若P,Q两点中只有一个点在线段AB上,直接写出m的取值范围. m x 解析解析 (1)B(-1,1).(2)把y=1代入y=-x+m,得x=m-1.把y=1代入y=,得x=m.P(m-1,1),Q(m,1). (3)-1m0或1m2. 提示:点B在点A左侧,距离为2的位置,由(2)知,点P在点Q左侧,距离为1的位置,当点Q与点B重合时,m=-1, 符合题意;当点P与点B重合时,m=0,此时点Q在线段
33、AB上,不符合题意,即可得-1m0.当点Q与点A重合 时,m=1,此时点P在线段AB上,不符合题意;当点P与点A重合时,m=2,符合题意,即可得10)的图象在第 一象限交于点A,B,且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为D,E. 已知A(1,4),=. (1)求m的值和一次函数的解析式; (2)若点M为反比例函数图象在A,B之间的动点,作射线OM交直线AB于点N,当MN长度最大时,直接写出 点M的坐标. m x CD CE 1 4 解析解析 (1)将点A(4,1)代入y=,得m=4. 反比例函数的解析式为y=. BEy轴,ADy轴,CEB=CDA=90.
34、CDACEB.=. =,BE=4AD. A(1,4),AD=1.BE=4.xB=4. yB=1.B(4,1). 将A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b, 得解得 m x 4 x CD CE AD BE CD CE 1 4 4 B x 4, 41. kb kb 1, 5. k b 一次函数的解析式为y=-x+5.(3分) (2)点A与点B关于直线y=x对称,反比例函数y=-关于直线y=x对称, 当OM所在直线的解析式为y=x时,MN的长度最大, 解方程组得或(舍去) 此时M点的坐标为(2,2).(5分) 4 x 4 , , y x yx 2, 2 x y 2, 2, x y 解题关键解题关
35、键 解决本题(2)问的关键是明确求函数图象交点问题的方法:要把两个函数关系式联立成方程 组求解.若方程组有解,则两者有交点;若方程组无解,则两者无交点. 7.(2020北京石景山一模,22)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+3与函数y=(x0)的图象交于点A (1,m),与x轴交于点B. (1)求m,k的值; (2)过动点P(0,n)(n0)作平行于x轴的直线,交函数y=(x0)的图象于点C,交直线y=x+3于点D. 当n=2时,求线段CD的长; 若CDOB,结合函数的图象,直接写出n的取值范围. k x k x 解析解析 (1)直线y=x+3经过点A(1,m),m=4. 又函数y=
36、的图象经过点A(1,4),k=4. (2)当n=2时,点P的坐标为(0,2), 点C的坐标为(2,2),点D的坐标为(-1,2). CD=3. 当y=0时,x+3=0,解得x=-3,则B(-3,0), 当y=n时,n=,解得x=, 点C的坐标为, 当y=n时,x+3=n,解得x=n-3, 点D的坐标为(n-3,n). 当点C在点D的右侧时, k x 4 x 4 n 4 ,n n 若CD=OB,即-(n-3)=3,解得n1=2,n2=-2(舍去), 当0n2时,CDOB; 当点C在点D的左侧时, 若CD=OB,即n-3-=3,解得n3=3+,n4=3-(舍去), 当n3+时,CDOB, 综上所述
37、,n的取值范围为0n2或n3+. 4 n 4 n 1313 13 13 8.(2019北京石景山一模,23)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x0)的图象经过点A(-1,6),直线y= mx-2与x轴交于点B(-1,0). (1)求k,m的值; (2)过第二象限的点P(n,-2n)作平行于x轴的直线,交直线y=mx-2于点C,交函数y=(x0)的图象于点D. 当n=-1时,判断线段PD与PC的数量关系,并说明理由; 若PD2PC,结合函数的图象,直接写出n的取值范围. k x k x 解析解析 (1)函数y=(x0)的图象经过点A(-1,6), k=-6.(1分) 直线y=mx-2与x
38、轴交于点B(-1,0), m=-2.(2分) (2)PD=2PC.理由如下:(3分) k x 当n=-1时,点P的坐标为(-1,2), 点C的坐标为(-2,2),点D的坐标为(-3,2). PC=1,PD=2.PD=2PC.(4分) -1n0或n-3.(6分) (提示:由题意可知,PC恒为1,当PD=2PC时,n=-1或-3,所以当PD2PC时,-1n0或n-3.) 9.(2019北京怀柔一模,23)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)的图象交于A,B两点. (1)求直线的表达式; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数y=(x0)的图象在点A、B之间的部分与线段AB围成的
39、 区域(不含边界)为W. 当m=2时,直接写出区域W内的整点的坐标 ; 若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求m的取值范围. m x m x 解析解析 如图, (1)设直线与y轴的交点为C(0,b), 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9, 6|b|=9,b=3. 1 2 k0,b=3. 直线y=kx+b经过点(6,0)和(0,3), 直线的表达式为y=-x+3.(2分) (2)(3,1).(4分) 当y=的图象经过点(1,1)时,可得m=1.当y=的图象经过点(2,1)时,可得m=2. 所以,1m0)的图象与直线l1:y=x+b交于点A(3,a-2). (1)求a,b的值; (2)直线l2
40、:y=-x+m与x轴交于点B,与直线l1交于点C,若SABC6,求m的取值范围. a x 解析解析 (1)函数y=(x0)的图象过点A(3,a-2), a-2=,解得a=3. 直线l1:y=x+b过点A(3,1), b=-2. (2)设直线y=x-2与x轴交于点D,则D(2,0), 直线y=-x+m与x轴交于点B(m,0), 与直线y=x-2交于点C. 当SABC=SBCD+SABD时,如图1,此时m0. 令(m-2)2-(m-2)16, 解得m8或m-2(舍去). 综上所述,当SABC6时,m8或m-2. 1 4 1 2 11.(2019北京朝阳一模,23)如图,在平面直角坐标系xOy中,点
41、A在x轴上,点B在第一象限内,OAB=90,OA =AB,OAB的面积为2,反比例函数y=的图象经过点B. (1)求k的值; (2)已知点P坐标为(a,0),过点P作直线OB的垂线l,点O,A关于直线l的对称点分别为O,A,若线段OA与反 比例函数y=的图象有公共点,直接写出a的取值范围. k x k x 解析解析 OAB的面积为2,OA=AB,OAB=90, =2. k=4.(2分) (2)-2a1-或2a1+.(6分) (提示:如图, 2 k 55 当点P与点A重合时,点O与点B重合,此时a=2;设点P的横坐标为2+m,则点A的纵坐标为m(m0),代入反比 例表达式解得m=-1(负舍),故2a1+,m0时同理可得-2a1-.) 555 解题关键解题关键 解决本题第二问的关键是通过画图发现对称后图象的规律,进而通过方程解决.
