1、 中考数学 （福建专用） 8.3 几何综合题 1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,m+1),B(a,m+1),C(3,m+3),D(1,m+a),m0,a1.若ADBC,判断四边 形ABCD的形状,并说明理由. 解析解析 四边形ABCD是正方形. 理由:A(1,m+1),B(a,m+1), yA=yB.ABx轴. A(1,m+1),D(1,m+a), xA=xD.ADy轴. DAB=90. 又a1, AB=a-1,AD=a-1,AD=AB. ADCB,CBy轴. xC=xB,a=3. yC=yD=m+3. CDx轴. CDAB. 四边形ABCD是平行四边形. 又DAB=90, 四边形A
2、BCD是矩形. 又AD=AB, 矩形ABCD是正方形. 2.(2020福州福清线上质检,24)如图,B,E是O上的两个定点,A为优弧BE上的动点,过点B作BCAB交射 线AE于点C,过点C作CFBC,点D在CF上,且EBD=A. (1)求证:BD与O相切; (2)已知A=30. 若BE=3,求BD的长; 当O,C两点间的距离最短时,判断A,B,C,D四点所组成的四边形的形状,并说明理由. 解析解析 (1)证明:连接BO并延长,交O于点G,连接EG. =, BGE=BAE=EBD.(1分) BG为O的直径, BEG=90,(2分) BGE+GBE=90, EBD+GBE=90, GBBD.(3分
3、) 点B在O上, BD与O相切.(4分) BE BE (2)连接AG. BCAB, ABC=90, 由(1)知GBD=90, GBD=ABC, GBA=CBD, BCDBAG.(6分) =tan 30=, BD BG BC BA 3 3 在RtBGE中,BGE=BAE=30,BE=3, BG=2BE=6,(7分) BD=6=2.(8分) 四边形ABDC是平行四边形.理由如下: 由知=,=, =. B,E为定点,BE为定值, BD为定值,D为定点.(9分) BCD=90, 点C在以BD为直径的M上运动, 当点C在线段OM上时,OC最小.(10分) 3 3 3 BE BG 1 2 BD BG 3
4、3 BE BD 3 2 此时在RtOBM中,=. OMB=60, MC=MB, MDC=MCD=30=A.(11分) ABBC,CDBC, ABCD, A+ACD=180, BM OB 1 2 1 2 BD BG 3 3 BDC+ACD=180, ACBD. 四边形ABDC为平行四边形.(12分) 3.(2020漳州一检,24)如图,在四边形ABCD中,ACB=ADC=90,AC平分BAD,过点C作CEAD交AB 于点E,连接DE交AC于点F. (1)求证:AC2=AB AD; (2)若AB=4,AD=3,求EF的长. 33 解析解析 (1)证明:AC平分BAD, 1=2.(1分) ACB=A
5、DC=90, ACBADC.(3分) =.(4分) AC2=AB AD.(5分) (2)AB=4,AD=3, AC=6. BC=2.(6分) AC AD AB AC 33 22 ABAC 22 (4 3)63 BC=AB. 1=30, 2=1=30.(7分) ACB=ADC=90, B=ACD=60. CEAD, 3=2=30,BCE=ACB-3=60. BCE是等边三角形. CE=BC=2.(8分) 在RtADC中,2=30, CD=AC=3. CEAD, DCE=180-ADC=90. 1 2 3 1 2 DE=.(9分) CEAD, CEFADF.(10分) =.(11分) =. DE=
6、, EF=.(12分) 22 CECD 22 (2 3)3 21 EF DF CE AD 2 3 3 3 2 3 EF DE 2 5 21 2 21 5 4.(2020三明一检,25)已知,在EFG中,EFG=90,EF=FG,且点E,F分别在矩形ABCD的边AB,AD上. (1)如图1,当点G在CD上时,求证:AEFDFG; (2)如图2,若F是AD的中点,FG与CD相交于点N,连接EN,求证:EN=AE+DN; (3)如图3,若AE=AD,EG,FG分别交CD于点M,N,求证:MG2=MN MD. 四边形ABCD是矩形, A=D=90,2+3=90. 1=3.(2分) 又EF=FG,AEF
7、DFG.(4分) (2)证法一:延长EF交CD的延长线于点H. 四边形ABCD是矩形,ABCD. 证明证明 (1)EFG=90,1+2=90.(1分) A=5=90,4=H. F是AD的中点, AF=DF. AEFDHF.(6分) EF=HF,AE=DH. 又EFG=90,EN=HN. HN=DH+DN, EN=AE+DN.(8分) 证法二:过点N作NPAB,垂足为P,则PN=AD, F是AD的中点, AF=DF=AD. 由(1)可得A=D=90,AFE=DNF, AEFDFN.(6分) =. =AE DN. 即AD2=4AE DN. 在RtENP中,EN2=PN2+PE2, EN2=AD2+
8、(AE-DN)2=4AE DN+(AE-DN)2=(AE+DN)2. EN=AE+DN.(8分) (3)证法一:连接DE,DG,AE=AD,A=90, 1 2 AE DF AF DN 2 1 2 AD AED=45,=. EF=FG,EFG=90,FEG=45,=, AED-FED=FEG-FED,即AEF=DEG.(9分) 又=, AEFDEG,AFE=DGE, 易知AFE=DNF=GNM, DGE=GNM.(12分) AE DE 2 2 FE GE 2 2 AE DE FE GE 又DMG=GMN,DMGGMN. =. MG2=MN MD.(14分) 证法二:过点G作GQAD交AD的延长线
9、于点Q,连接DG, 易得AEFQFG,AE=QF,AF=QG. AE=AD,AD=QF. AD-FD=QF-FD,即AF=DQ.(10分) DQ=QG. 又GQAD,QDG=45, DM GM MG MN MDG=45, EFG=90,EF=FG, MGN=45. MDG=MGN.(12分) 又DMG=GMN, DMGGMN, =. MG2=MN MD.(14分) DM GM MG MN 5.阅读材料:如图1,在AOB中,O=90,OA=OB,点P在AB边上,PEOA于点E,PFOB于点F,则PE+PF= OA.(此结论不必证明,可直接应用) (1)【理解与应用】 如图2,正方形ABCD的边长
10、为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PEOA于点E,PFOB于点F,则 PE+PF的值为 ; (2)【类比与推理】 如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PEOB交AC于点E,PFOA交 BD于点F,求PE+PF的值; (3)【拓展与延伸】 如图4,O的半径为4,A,B,C,D是O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PEBC 交AC于点E,PFAD交BD于点F,当ADG=BCH=30时,PE+PF是不是定值?若是,求出这个定值;若不 是,请说明理由. 解析解析 (1). 四边形ABCD是正方形, OA=O
11、B=OC=OD,ABC=AOB=90. AB=BC=2, AC=2. OA=. OA=OB,AOB=90,PEOA,PFOB, PE+PF=OA=. (2)四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC=OD,DAB=90. AB=4,AD=3, BD=5, OA=OB=OC=OD=. 2 2 2 2 5 2 PEOB,PFAO, AEPAOB,BFPBOA. =,=. +=+=1. +=1. EP+FP=. PE+PF的值为. (3)PE+PF是定值. 连接OA、OB、OC、OD,如图. EP OB AP AB FP OA BP AB EP OB FP OA AP AB BP AB 5 2 EP 5 2 FP 5 2 5 2 DG与O相切, ODG=90. GDA=30, ODA=60. OA=OD, AOD是等边三角形, AD=OA=4. 同理可得,BC=4. PEBC,PFAD, AEPACB,BFPBDA. =,=. +=+=1. +=1. PE+PF=4. 当ADG=BCH=30时,PE+PF=4. PE BC AP AB PF AD PB AB PE BC PF AD AP AB PB AB 4 PE 4 PF
