1、 中考数学 （安徽专用） 第六章 图形与变换 6.3 解直角三角形 考点一 锐角三角函数 20162020年全国中考题组 1.(2020天津,2,3分)2sin 45的值等于( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 B 2sin 45=2=,故选B. 2 2 2 2.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60=,则2sin 60=2=,故选C. 3 2 3 2 3 3.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为( ) A.3 B. C.
2、D. 1 3 10 10 3 10 10 答案答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A=3. BC AC 4.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则( ) A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B 答案答案 B RtABC中,C=90,A、B、C所对的边分别为a、b、c,sin B=,即b=csin B,故A 选项不成立,B选项成立;tan B=,即b=atan B,故C选项不成立,D选项不成立.故选B. b c b a 5.(2019吉林,21,7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示
3、.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC 的长为30 cm,与墙壁的夹角CAD为43,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1 cm). (参考数据:sin 43=0.68,cos 43=0.73,tan 43=0.93) 解析解析 如图,过点C作CFAB于点F,则AFC=90.(1分) 在RtACF中,AC=30 cm,CAF=43, cosCAF=, AF=AC cosCAF =30cos 43 =300.73=21.9(cm).(5分) CE=BF=AB+AF =170+21.9=191.9192(cm). 因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192 cm.(7分) 评
4、分说明:(1)计算过程与结果中,写“=”或“”均不扣分;(2)计算过程不加单位不扣分. AF AC 考点二 解直角三角形 1.(2018湖北孝感,4,3分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8,则sin A等于( ) A. B. C. D. 3 5 4 5 3 4 4 3 答案答案 A 由勾股定理可得BC=6,sin A=. 22 -AB AC 22 10 -8 BC AB 6 10 3 5 2.(2020内蒙古包头,8,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,D是AB的中点,BECD,交CD的延长线于点E. 若AC=2,BC=2,则BE的长为( ) A. B. C. D.
5、2 2 6 3 6 2 32 答案答案 A 在RtABC中,AB=2, sinABC=, D是AB的中点,CD=BD,DCB=ABC, 在RtBCE中,sinECB=,=, 解得BE=. 22 ACBC 22 2(2 2) 3 AC AB 2 2 3 3 3 BE BC2 2 BE 2 2 BE3 3 2 6 3 3.(2020安徽,8,4分)如图,RtABC中,C=90,点D在AC上,DBC=A.若AC=4,cos A=,则BD的长度为 ( ) A. B. C. D.4 4 5 9 4 12 5 15 4 答案答案 C 在RtABC中,C=90,AC=4,cos A=,AB=5,BC=3,D
6、BC=A, cosDBC=,BD=,故选C. AC AB 4 5 22 -AB AC BC BD 4 5 15 4 思路分析思路分析 先利用cos A的值和勾股定理求出BC的长,再利用cosDBC=cos A=求出BD的长. 4 5 4.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D. 1 2 3 3 3 答案答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS), AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC=1,故
7、选B. , 90?, , ADBE ADBBEC BDCE BC AB 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,17,3分)如图,直线l:y=x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1,过点A1作A1B1l,交x 轴于点B1,过点B1作B1A2x轴,交直线l于点A2;过点A2作A2B2l,交x轴于点B2,过点B2作B2A3x轴,交直线l 于点A3,依此规律,若图中阴影A1OB1的面积为S1,阴影A2B1B2的面积为S2,阴影A3B2B3的面积为S3, ,则Sn= . 3 3 答案答案 3 6 2 -2 4 3 n 解析解析 在y=x+1中, 令x=0,得y=1,即OA1=1, 令y=0,得x=-,即OA=.
8、在RtAOA1中,tanA1AO=, A1AO=30,AA1O=60, A1B1l, OA1B1=30, OB1=OA1 tan 30=, =, =+1=,即A2B1=, 3 3 33 3 3 3 3 2 A x 3 3 2 A y 3 3 3 3 4 3 4 3 同理可得B1B2= ,A3B2=,B2B3= , S1=OB1 OA1=1=, S2=B1B2 A2B1= =, S3=B2B3 A3B2= =, Sn=. 4 9 3 16 9 16 27 3 1 2 1 2 3 3 3 6 1 2 1 2 4 9 3 4 3 3 6 2 4 3 1 2 1 2 16 27 3 16 9 3 6
9、4 4 3 3 6 2 -2 4 3 n 6.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是 直线段,且AB=BD=600 m,=75,=45,求DE的长. (参考数据:sin 750.97,cos 750.26,1.41) 2 解析解析 在RtBDF中,由sin =可得, DF=BD sin =600sin 45 =600=300423(m).(3分) 在RtABC中,由cos =可得, BC=AB cos =600cos 756000.26=156(m).(6分) 所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).(8
10、分) DF BD 2 2 2 BC AB 7.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人在点A处 测得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得DEB=60,求C、D 两点间的距离. 解析解析 如图,过D作l1的垂线,垂足为F. DEB=60,DAB=30, ADE=DEB-DAB=30, ADE为等腰三角形, DE=AE=20(米).(3分) 在RtDEF中,EF=DE cos 60=20=10(米).(6分) DFAF,DFB=90, ACDF, 1 2 已知l1l2,CDAF,
11、 四边形ACDF为矩形. CD=AF=AE+EF=30(米). 答:C、D两点间的距离为30米.(10分) 考点三 解直角三角形的应用 1.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是( ) A.DAB B.DCE C.DCA D.ADC 答案答案 B 从点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B. 2.(2018辽宁大连,13,4分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B 点6 m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53,若测角仪的高度是1.5 m,则旗杆AB的高度约为 m.(精确到0.1 m.参考数据:sin 530.80,cos 5
12、30.60,tan 531.33) 答案答案 9.5 解析解析 过点D作DEAB,垂足为E. 在D处测得旗杆顶端A的仰角为53, ADE=53, DE=BC=6 m, AE=DE tan 5361.33=7.98 m, AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.489.5 m. 3.(2020安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的 仰角CBD=36.9,塔顶A的仰角ABD=42.0,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上). (参考数据:tan 36.90.75, sin 36.90.60,tan 42.00.90) 解
13、析解析 由题意,在RtABD与RtCBD中, AD=BDtanABD0.9BD,CD=BDtanCBD0.75BD. 于是AC=AD-CD=0.15BD. 因为AC=15米,所以BD=100米. 所以山高CD=0.75BD=75米.(8分) 解题关键解题关键 根据图形建立等式关系AC=AD-CD是解答本题的关键. 4.(2020四川成都,18,8分)成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅 游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D 处测得塔A处的仰角为45,塔底部B处的俯角为22.已知建筑物的高CD约为61米,请
14、计算观景台的高AB 的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40) 解析解析 如图所示,过D作DFAB于F, 则四边形CDFB是矩形, CD=BF=61米, 在RtADF中,AFD=90,ADF=45, AF=DF, 在RtDFB中,tan 22=, DF=152.5米, BF DF 61 0.40 AB=AF+BF=152.5+61=213.5米214米. 答:观景台的高AB约为214米. 5.(2020广西北部湾经济区,23,8分)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向,距离小岛40 n mile的点A 处,它沿着点A的南偏东15的方
15、向航行. (1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)? (2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20 n mile到点C处时突然发生事故,渔船马上向 小岛B上的救援队求救,问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少 (结果保留根号)? 6 解析解析 (1)过B点作AC的垂线BD,交AC于点D, 由垂线段最短,知AC上的D点距离B点最近,AD即为所求, 由题意可知BAF=30,CAF=15, BAD=45,AD=BD=ABsin 45=40=20 n mile, 渔船航行20 n mile时,距离小岛B最近. (2)在RtBDC中,tan C=, C=
16、30,DBC=60, 2 2 2 2 BD DC 20 2 20 6 3 3 BC=40 n mile, ABD=45,ABE=90-30=60, DBE=15, EBC=DBC-DBE=45. 答:从B处沿南偏东45的方向航行到达事故地点航程最短,最短航程为40 n mile. 2 2 思路分析思路分析 (1)过B点作AC的垂线BD交AC于点D,则AD为所求,根据已知条件得到BAD=45即可解答; (2)根据特殊角的三角函数值得到C=30,DBC=60,从而求出BC的长度,再求出DBE的大小,即可得 到EBC的大小. 6.(2019河南,19,9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(
17、塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝 塑像DE在高55 m的小山EC上.在A处测得塑像底部E的仰角为34,再沿AC方向前进21 m到达B处,测得塑 像顶部D的仰角为60,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1 m.参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 34 0.67,1.73) 3 解析解析 在RtACE中,A=34,CE=55, AC=82.1. BC=AC-AB=82.1-21=61.1.(4分) 在RtBCD中, CBD=60, CD=BC tan 6061.11.73105.7.(7分) DE=CD-CE=105.7-5551. 所以炎帝塑像DE的高度约为51 m.(9
18、分) 55 0.67 思路分析思路分析 已知EC=55,A=34,先解RtACE,求得AC的长,由BC=AC-AB得BC的长,再解RtBCD,求 得CD的长,可得DE=CD-CE51 m. 7.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地 面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰 好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8 米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.30.82
19、,tan 84.310.02) 解析解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45, AEF=90. 在RtAEF中,=tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE, =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米). 答:旗杆AB的高度约为18米.(10分) 解法二:作FGAB于点G, AE FE AB FD AE FE 由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8, FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAF
20、G中,=tanAFG=tan 39.3, AG FG 即=tan 39.3, 解得AB=18.218(米). 答:旗杆AB的高度约为18米.(10分) -1.8 1.8 AB AB 思路分析思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中对应边 的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三 角形AFG中由锐角三角函数求出AB. 8.(2019天津,22,10分)如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰 角为31,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为4
21、5.根据测得的数据,计算这座 灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60. 解析解析 根据题意,CAD=31,CBD=45,CDA=90,AB=30, 在RtACD中,tanCAD=, AD=, 在RtBCD中,tanCBD=, BD=CD, 又AD=AB+BD, =30+CD, CD=45. 答:这座灯塔的高度CD约为45 m. CD AD CD BD 300.60 1-0.60 思路分析思路分析 在RtACD中利用CAD的三角函数表示出AD;在RtBCD中利用CBD的三角函数表示 出BD,进而根据AD=BD+30,求得CD的高
22、度. 解题关键解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形. 9.(2018江苏南京,23,8分)如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处竖立标杆CD,标杆的高是2 m,在DB上选 取观测点E、F,从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58、45,从F测得C、A的仰角分别为 22、70.求建筑物AB的高度.(精确到0.1 m.参考数据:tan 220.40,tan 581.60,tan 702.75) 解析 在RtCED中,CED=58, tan 58=, DE=. 在RtCFD中,CFD=22, tan 22=,DF=, EF=DF-DE=-.
23、 同理,EF=BE-BF=-. -=-, 解得AB5.9(m). 因此,建筑物AB的高度约为5.9 m. CD DE CD DF 10.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下 的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度. 解析解析 (1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60, AC=20 米. (2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形, AF=DE,DF=AE. 设CD=x米,在RtC
24、DE中,DE=x米, 3 1 2 CE=x米, 在RtBDF中,BDF=45, BF=DF=AB-AF=米, DF=AE=AC+CE, 20+x=60-x, 解得x=80-120, 即CD=(80-120)米. 3 2 1 60- 2 x 3 3 2 1 2 3 3 考点一 锐角三角函数 教师专用题组 1.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于( ) A. B. C.1 D. 2 2 3 2 3 答案答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30=,故选B. 3 2 2.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地
25、面夹角的正切值等于( ) A. B. C. D. 5 13 12 13 5 12 13 12 答案答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的 正切值等于=,故选C. 50 120 5 12 思路分析思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值. 3.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是( ) A. B. C. D. 3 4 4 3 3 5 4 5 答案答案 D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5.cos =.故选D. OB OA
26、 4 5 4.(2018山东滨州,15,5分)在ABC中,C=90,若tan A=,则sin B= . 1 2 答案答案 2 5 5 解析解析 在RtABC中,C=90,tan A=, 设a=x,则b=2x,则c=x, sin B=. a b 1 2 22 (2 )xx5 b c 2 5 x x 2 5 5 考点二 解直角三角形 1.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若 DE=1,则BC的长为( ) A.2+ B.+ C.2+ D.3 2233 答案答案 A 过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,D
27、E=DF=1.B=30,BD=2DE=2. C=45,DC=DF=,BC=BD+CD=2+,故选A. 222 2.(2020广西北部湾经济区,11,3分)九章算术是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读k n,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双 门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是( ) 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 答案答案 C 如图,过O作OECD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故FO=DE= DC
28、=1寸. 设AO=AD=BC=OB=x寸, 则AF=(x-1)寸, 在RtADF中,AD2=AF2+DF2,即x2=(x-1)2+102, 解得x=,故AB=2x=101寸,故选C. 1 2 101 2 3.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图, ABC=90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 . 答案答案 2-
29、2 5 解析解析 连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,ABC=90,BE=MN,长度也始终保持不 变.显然点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,DE有最小值. ABC=90,MN=4,E为MN的中点,BE=2. 点D到BA,BC的距离分别为4和2, BD=2,DE最小值=BD-BE=2-2. 1 2 1 2 22 4255 解题关键解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上是解题的关键. 1 2 4.(2019浙江杭州,14,4分)在直角三
30、角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= . 答案答案 或 3 2 2 5 5 解析解析 当AC为斜边,AB为直角边时,如图. 2AB=AC,BC=AB, cos C=. 当AB,AC均为直角边时,如图. 22 -AC AB3 BC AC 3 2 AB AB 3 2 2AB=AC,BC=AB, cos C=. 综上所述,cos C=或. 22 ABAC 5 AC BC 2 5 AB AB 2 5 5 3 2 2 5 5 5.(2019新疆,14,5分)如图,在ABC中,AB=AC=4,将ABC绕点A顺时针旋转30,得到ACD,延长AD交 BC的延长线于点E,则DE的长为 . 答案答案 2-
31、2 3 解析解析 由旋转得,CAD=CAB=30,AD=AC=4, BCA=ACD=ADC=75. ECD=180-275=30. E=75-30=45. 过点C作CHAE于H点, 在RtACH中,CH=AC=2,AH=2. HD=AD-AH=4-2. 在RtCHE中,E=45, EH=CH=2. DE=EH-HD=2-(4-2)=2-2. 1 2 3 3 33 思路分析思路分析 根据旋转的性质可知CAD=CAB=30,AD=AC=4.从而得到DCE=30,E=45.过点C作 CHAE于H点,在RtACH中,求出CH和AH的长,在RtCHE中可求EH的长,利用DE=EH-(AD-AH)即可 求
32、解. 6.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足 为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 . 答案答案 2 5 5 解析解析 BAM+EAD=90,EAD+EDA=90, BAM=EDA.又B=AED=90, ADEMAB.=,即=. AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0), 则BM=2x, 在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2, 解得x=(舍负),BM=2x=. AE BM DE AB AE BM 1 1 5 5 2 5 5 7.(2017山西,15,3分)一副三
33、角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60 ,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm. 答案答案 (+) 26 解析解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,点E为AB的中点,EMBD,DE=AB=4 cm,EM=AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知 ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2 cm,MN=EM=2 cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2- 2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=
34、EN+FN=2+-=(+)cm. 3 1 2 1 2 22 1 2 3 2 2 6226226 8.(2020河南,18,9分)位于河南省登封市境内的元代观星台,是中国现存最早的天文台,也是世界文化遗产 之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示,他们在地面一条水平步 道MP上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22,然后沿MP方向前进16 m到达点N处, 测得点A的仰角为45,测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 22 0.40,1.4
35、1); (2)“景点简介”显示,观星台的高度为12.6 m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理 2 化建议. 解析解析 (1)如图,过点A作AFMP,垂足为点F,交BC的延长线于点E, 由题意知,四边形MBCN和四边形NCEF均为矩形,(2分) 设AE=x m, 在RtACE中,AEC=90,ACE=45, CE=AE=x m,(3分) 在RtABE中,AEB=90,ABE=22, tan 22=, BE=x m,(4分) BE-CE=BC, x-x=16. 解得x=10.67.(6分) EF=BM=1.6 m, AF=AE+EF=10.67+1.612.3 m. 即观星台最高
36、点A距离地面的高度约为12.3 m.(7分) (2)误差为12.6-12.3=0.3(m).(8分) 可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可).(9分) AE BE 0.40 x5 2 5 2 32 3 考点三 解直角三角形的应用 1.(2020重庆A卷,9,4分)如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)i=10.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的 仰角为28,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin 280.47, cos 280.88
37、,tan 280.53)( ) A.76.9 m B.82.1 m C.94.8 m D.112.6 m 答案答案 B 过点D作DEBC,交BC的延长线于E,作DFAB,交AB于F,设DE=x m,因为山坡CD的坡比为 10.75,所以x2+(0.75x)2=452,解得x=36,则CE=0.7536=27 m,BF=DE=36 m,所以DF=BE=60+27=87 m,在 RtADF中,AF=DF tanADF=87tan 28870.53=46.11 m,故AB=36+46.11=82.1182.1 m,故选B. 2.(2018江苏苏州,8,3分)如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域
38、执行巡航任务,当海监船由西向东航 行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30方向, 保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( ) A.40海里 B.60海里 C.20 海里 D.40 海里 33 答案答案 D 由题意可知APB=30,A=90,AB=20,BC=40, 在RtPAB中,PB=2AB=40,PBA=60,PA=20, PB=BC,BPC=C=30,PC=2PA=40, 海监船与岛屿P之间的距离是40 海里. 故选D. 3 3 3 3.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学
39、楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学 楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD 的坡度i=10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为( ) (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6) A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米 答案答案 B 如图,延长AB交直线ED于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形. 在RtCJD中,=,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k=, BM=CJ=
40、,DJ=, 又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE=, CJ DJ 1 0.75 4 3 2 5 8 5 6 5 46 5 在RtAEM中,tanAEM=, tan 58=1.6, 解得AB13.1(米),故选B. AM EM 8 5 46 5 AB 4.(2018辽宁葫芦岛,15,3分)如图,某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上,一架无人机在空中沿MN 方向水平飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C处时,测得景点A的俯角为 45,景点B的俯角为30,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A、B间的距离为 米(结果保留 根号). 答案答案 (100+100)
41、 3 解析解析 MCA=45,NCB=30, ACD=45,DCB=60,B=30. CD=100米, AD=CD=100米,DB=CD=100米, AB=AD+DB=(100+100)米, 故两景点A、B间的距离为(100+100)米. 33 3 3 5.(2020内蒙古包头,22,8分)如图,一个人骑自行车由A地到C地途经B地.当他由A地出发时,发现他的北偏 东45方向有一电视塔P,他由A地向正北方向骑行了3 km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75方向, 然后他由B地向北偏东15方向骑行了6 km到达C地. (1)求A地与电视塔P的距离; (2)求C地与电视塔P的距离. 2 解析解析 (
42、1)过点B作BDAP于点D,ADB=90. BAP=45,ABD=45. 在RtADB中,sin A=,AB=3, AD=BD=3=3. NBP=75,APB=NBP-A=30. 在RtBDP中,tanDPB=, BD AB 2 2 2 2 BD DP 3 3 DP=3. AP=AD+PD=3+3km. A地与电视塔P的距离为(3+3)km.(5分) (2)在RtBDP中,BPD=30,BD=3,BP=6. BC=6,BP=BC. CBP=NBP-NBC=60,BCP为等边三角形, CP=BC=6.C地与电视塔P的距离为6 km.(8分) 3 3 3 思路分析思路分析 (1)已知AB的长及BA
43、P,NBC,NBP的度数,求AP的长,关键在于将AB及已知角构造到直 角三角形中,过B作BDAP于点D,在RtABD中,利用三角函数求得AD,BD的长,然后在RtBDP中,利用 三角函数求得DP的长,从而求得AP的长;(2)在RtBDP中,利用三角函数求得BP的长,得BCP为等腰三 角形,又求得CBP=60,证得BCP为等边三角形,得CP的长. 6.(2020新疆,20,9分)如图,为测量建筑物CD的高度,在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22,再向建筑物 CD前进30米到达B点,测得建筑物顶部D点的仰角为58(A,B,C三点在一条直线上),求建筑物CD的高度. (结果保留整数.参考数据:sin
44、 220.37,cos 220.93,tan 220.40,sin 580.85,cos 580.53,tan 58 1.60) 解析解析 设建筑物CD的高度为x m, 在RtBCD和RtADC中, tan 58=,tan 22=, BC=, AC=. 则-=30, 即-=30, 解得x=16. 答:建筑物CD的高度为16 m. CD BC CD AC 0.4 x 1.6 x 7.(2020海南,20,10分)为了促进海口主城区与江东新区联动发展,文明东越江通道将于今年年底竣工通 车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图,隧道AB在水平直线上,且无人 机和隧道在同一个铅
45、垂面内,无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行,到达点P处测得点A的俯角为3 0,继续飞行1 500米到达点Q处,测得点B的俯角为45. (1)填空:A= 度,B= 度; (2)求隧道AB的长度(结果精确到1米). (参考数据:1.414,1.732) 23 解析解析 (1)30;45.(4分) (2)过点P作PMAB于点M,过点Q作QNAB于点N, 则PM=QN=450米,MN=PQ=1 500米, 在RtAPM中,tan A=, AM=450(米),(6分) 在RtQNB中, tan B=, NB=450(米),(8分) AB=AM+MN+NB=450+1 500+4502 729(米)
46、.(9分) 答:隧道AB的长度约为2 729米.(10分) PM AM tan PM A 450 3 3 3 QN NB tan QN B 450 1 3 思路分析思路分析 (1)根据平行线的性质即可得解;(2)分别作PMAB,QNAB,构造直角三角形,然后利用锐角 三角函数求出AM和NB的长,而NM=PQ,问题即可解决. 8.(2020云南昆明,21,9分)【材料阅读】 2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛 峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个觇标,找到2 个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是水
47、平的,光线在空气中会发生折射,所 以当两个测量点的水平距离大于300 m时,还要考虑球气差,球气差计算公式为f=(其中d为两点间 的水平距离,R为地球的半径,R取6 400 000 m),即:山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔高 度+球气差. 【问题解决】 某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点A,B的水平距 离d=800 m,测量仪AC=1.5 m,觇标DE=2 m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上,在测量点A处用测量仪 测得山顶觇标顶端E的仰角为37,测量点A处的海拔高度为1 800 m. (1)数据6 400 000用科学记数法表示为 ; (2)请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到0.01 m) (参考数据:sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75) 2 0.43d R 解析解析 (1)6.4106.(2分) (2)过点C作CMEB,垂足为M, 由题意得ECM=37,四边形ABMC为矩形, 则CM=AB=800 m,BM=AC=1.5 m,(4分) 在RtCME中,CME
