1、 中考数学 （北京专用） 3.2 一次函数 北京中考题组 1.(2020北京,22,5分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k0)的图象由函数y=x的图象平移得到, 且经过点(1,2). (1)求这个一次函数的解析式; (2)当x1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围. 解析解析 (1)一次函数y=kx+b(k0)的图象由函数y=x的图象平移得到,k=1.(1分) 一次函数y=x+b的图象过点(1,2), 1+b=2, b=1.(2分) 这个一次函数的解析式为y=x+1.(3分) (2)m2.(5分) 详解:当x1时,函
2、数y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m0)的图象在直线y=x+1上方,临界 条件为当x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2,当m2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x1 时,y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值.m的取值范围为m2. 2.(2016北京,21,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,过点A(-6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(m,4). (1)求直线l1的表达式; (2)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l1,l2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,写出n的取值范围. 解析解析 (1)点B(m,4)在直线l2:
3、y=2x上,m=2. 设直线l1的表达式为y=kx+b(k0). 直线l1经过点A(-6,0),B(2,4), 解得 直线l1的表达式为y=x+3. (2)n2(提示:作出直线,确定l1在l2上方时,x的取值范围). 60, 24, kb kb 1 , 2 3. k b 1 2 思路分析思路分析 (1)先求B的坐标,再由A、B的坐标确定直线l1的表达式.(2)作出直线,观察图象得n的取值范围. 解题关键解题关键 待定系数法确定函数表达式是常考问题,第(2)问的实质为求l1在l2上方时,x的取值范围. 3.(2019北京,25,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+1(k0)与直线x
4、=k,直线y=-k分别交于点A,B,直 线x=k与直线y=-k交于点C. (1)求直线l与y轴的交点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB,BC,CA围成的区域(不含边界)为W. 当k=2时,结合函数图象,求区域W内的整点个数; 若区域W内没有整点,直接写出k的取值范围. 解析解析 (1)令x=0,解得y=1. 直线y=kx+1(k0)与y轴的交点坐标为(0,1). (2)当k=2时,三条直线分别为y=2x+1,x=2,y=-2. 点A(2,5),B,C(2,-2). 结合函数图象,可得区域W内的整点个数为6. -1k0时,区域W始终包含原点,故不合题意; 3 , 2 2 当
5、k=-1时,如图所示: 故k=-1符合题意;易知-1k0时符合题意; 当-2k-1时,点(-1,2)始终在区域W内;当k=-2时,如图所示: 故k=-2符合题意; 当k-2时,直线x=-2上始终有整点在区域W内. 综上所述,k的取值范围是-1k0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象 G交于点B,与y轴交于点C. (1)求k的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含 边界)为W. 当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围. k x 1 4 解析解析 (1
6、)由函数y=(x0)的图象过点A(4,1),得k=14=4. (2)整点个数为3. 如图, k x 若b0,当直线过点(1,2)时,b=, 当直线过点(1,3)时,b=,b; 若b0,当直线过点(4,0)时,b=-1,当直线过点(5,0)时,b=-,-b-1. 综上,-b-1或b. 7 4 11 4 7 4 11 4 5 4 5 4 5 4 7 4 11 4 思路分析思路分析 本题的第(2)问需要结合题意画图理解,寻找图象中的临界点. 教师专用题组 考点一 一次函数的图象和性质 1.(2020广东广州,6,3分)一次函数y=-3x+1的图象过点(x1,y1),(x1+1,y2),(x1+2,y
7、3),则( ) A.y1y2y3 B.y3y2y1 C.y2y1y3 D.y3y1y2 答案答案 B 将点(x1,y1),(x1+1,y2),(x1+2,y3)代入y=-3x+1中,得y1=-3x1+1,y2=-3(x1+1)+1=-3x1-2,y3=-3(x1+2)+1=-3 x1-5. y1-y2=-3x1+1-(-3x1-2)=3,y2-y3=-3x1-2-(-3x1-5)=3,y2y1,y3y2,y3y2y1.故选B. 一题多解一题多解 对于一次函数y=-3x+1,-30,y随x的增大而减小,又x1x1+1x1+2,y3y20.把(-5,3)代入函数解析式得,k=-0,所以选项A不符
8、合题意;把(1,-3)代入函数解析式得,k=-20,所 以选项C符合题意;把(5,-1)代入函数解析式得,k=0,所以选项D不符合题意.故选C. 4 5 3 2 3.(2018内蒙古呼和浩特,6,3分)若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=-x+b-1上, 则常数b=( ) A. B.2 C.-1 D.1 1 2 1 2 答案答案 B 由x+2y-b=0得y=-x+,因为点(x,y)既在直线y=-x+上,又在直线y=-x+b-1上,所以=b-1, 解得b=2.故选B. 1 22 b1 22 b1 22 b 思路分析思路分析 将方程化为函数的形式,结合两直线重合,列
9、出关于b的方程. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要注意一次函数与二元一次方程的关系,通过等式变形寻找相同的系数 和常数项. 4.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 . 答案答案 k3 解析解析 由题意得k-30,所以k3. 5.(2018云南昆明,5,3分)如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点O旋转90后,再向左平移1个单位长度 得到点A,则过点A的正比例函数的解析式为 . 答案答案 y=-4x或y=-x 4 3 解析解析 分情况讨论:当点A绕原点O顺时针旋转90时,旋转后得点A(2,-4),向左平移1个单
10、位长度得点 (1,-4),代入y=kx(k0)中,得k=-4,所以y=-4x;当点A绕原点O逆时针旋转90时,旋转后得点A(-2,4),向左 平移1个单位长度得点(-3,4),代入y=kx(k0)中,得k=-,所以y=-x.所以过点A的正比例函数的解析式为 y=-4x或y=-x. 4 3 4 3 4 3 思路分析思路分析 点A绕坐标原点O旋转90,要分顺时针和逆时针两种情况分别求旋转后所得点的坐标,从而 得平移后的点的坐标,再将平移后的点的坐标代入y=kx(k0)求解即可. 易错警示易错警示 本题考查了点在平面直角坐标系内的旋转和平移、正比例函数解析式的求法,题中旋转未 指出旋转方向,需分情况
11、讨论,若考虑不全,则会漏解,导致失分. 6.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),ABx轴于点B.平 移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 . 6 x 答案答案 y=x-3 3 2 解析解析 将点A的坐标代入y=,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k=,因为ABx轴,所以点B(2,0),由平移 可得直线l对应的函数表达式为y=(x-2)=x-3. 6 x 3 2 3 2 3 2 思路分析思路分析 先把点A的坐标代入y=得m的值,然后求k的值,由ABx轴得点B的坐标,从而由平移及直线l 过点B得
12、直线l对应的函数表达式. 6 x 7.(2020河北,24,10分)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图所示.而 某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l. (1)求直线l的解析式; (2)请在图上画出直线l(不要求列表计算),并求直线l被直线l和y轴所截线段的长; (3)设直线y=a与直线l,l及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值. 解析解析 (1)把x=-1,y=-2;x=0,y=1代入y=kx+b,得 解得 直线l的解析式为y=3x+1. (2)如图,l为所画直线.
13、由k,b交换位置得直线l的解析式为y=x+3.设直线l与直线l交于点A,与y轴交于点B,过点A作ACy轴于点 C. 2, 1. kb b 3, 1. k b 联立得解得 A(1,4). 在RtACB中,AC=1,BC=4-3=1, AB=. 即直线l被直线l和y轴所截线段的长为. (3)或或7. 详解:直线y=a与直线l,l及y轴有三个不同的交点,交点分别为,(a-3,a),(0,a).若点与点(a- 3,a)关于点(0,a)对称,则+a-3=0,解得a=; 若点与点(0,a)关于点(a-3,a)对称,则-(a-3)=a-3,解得a=; 3, 31, yx yx 1, 4. x y 22 AC
14、BC2 2 5 2 17 5 1, 3 a a 1, 3 a a 1 3 a 5 2 1, 3 a a 1 3 a 17 5 若点(a-3,a)与点(0,a)关于点对称,则a-3-=,解得a=7.综上,a的值为或或7. 1, 3 a a 1 3 a 1 3 a 5 2 17 5 疑难突破疑难突破 将y=a代入两条直线解析式可得出直线y=a与直线l,l的交点坐标,再写出直线y=a与y轴交点 的坐标,然后结合其中两点关于第三点对称,找出关于a的等量关系求解即可. 考点二 一次函数的应用 1.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是
15、( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 答案答案 D 直线y=x+a不经过第二象限,a0. 当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解; 当a0,方程有两个解. 故方程有1个解或2个解.故选D. 易错警示易错警示 本题易将a=0的情况漏掉,从而错选C. 2.(2016黑龙江哈尔滨,10,3分)明君社区有一块空地需要绿化,某绿化组承担了此项任务,绿化组工作一段 时间后,提高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S(单位:m2)与工作时间t(单位:h)之间的函数关系如图 所示.则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( ) A.300 m2 B.150 m2 C.330 m2
16、D.450 m2 答案答案 B 设绿化组提高效率后S与t的函数解析式为S=kt+b(k0),t2,把(4,1 200)、(5,1 650)代入得 解得 所以提高效率后的函数解析式为S=450t-600(t2). 把t=2代入解析式S=450t-600,得S=300, 则绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积为3002=150 m2,故选B. 41 200, 51 650, kb kb 450, 600, k b 3.(2019贵州贵阳,12,4分)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的 方程组的解是 . 11 22 ,yk xb yk x
17、b 答案答案 2 1 x y 解析解析 由题图知一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象的交点坐标为(2,1), 关于x,y的方程组的解是 11 22 ,yk xb yk xb 2, 1. x y 4.(2019河北,24,10分)长为300 m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图,当队伍排尾行进到位置O时, 在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后, 他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m). (1)当v=2时,解答: 求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围); 当甲赶
18、到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t 的函数关系式(不写t的取值范围); (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中 行进的路程. 解析解析 (1)排头走的路程为2t m,则S头=2t+300.(2分) 甲从排尾赶到排头时,有4t=2t+300,得t=150. 此时,S头=2150+300=600.(5分) 甲从排头返回的时间为(t-150)s,则S甲=600-4(t-150)=-4t+1 200.(7分) (2)设甲从排尾赶到排头用时为t1s,则2vt1=vt1+300,
19、 t1=. 设甲返回到排尾用时为t2s,则300=2vt2+vt2, t2=. T=t1+t2=.(9分) 队伍在此过程中行进的路程是Tv= v=400(m).(10分) 300 v 100 v 400 v 400 v 思路分析思路分析 (1)当v=2时,排头走的路程为2t m,则有S头=2t+300;甲赶到排头位置,即甲走的路程等于S 头,则4t=2t+300,求得t值,代入得出S头的值,甲从排头返回的时间为(t-150)s,最后得出S甲=600-4(t-150)=-4t+1 200;(2)分析得出甲从排尾赶到排头时有2vt1=vt1+300,解得t1=,当甲从排头返回到排尾时,有300=2
20、vt2+ vt2,解得t2=,可得T=t1+t2=,最后得出队伍在此过程中行进的路程. 300 v 100 v 400 v 5.(2019黑龙江齐齐哈尔,22,10分)甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该 公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行.货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维 修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通 知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x (小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)货车的速度是 千米/
21、小时;轿车的速度是 千米/小时;t值为 ; (2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米. 解析解析 (1)由题图知,当x=0时,货车距乙地50 km. 又货车比轿车早出发1小时,货车速度为50 km/h. 甲、乙两地相距400 km,货车需要=8小时到达. 则轿车行驶时间为8-1-1=6小时. t=3,轿车速度为=80 km/h. 故答案为50,80,3.(3分) (2)由题意可得A(3,240),B(4,240),C(7,0), 设直线OA的解析式为y=k1x(k10), 将A点坐标
22、代入可得k1=80,y=80 x(0 x3),(5分) 当3x0,y的值随x值的增大而增大. x600,当x=600时,y最小,为12600+16 000=23 200. 这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润为23 200元.(7分) 3 000 2 m 3 000 2 m 2 000 2 x 思路分析思路分析 (1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋,根据“销售题表中规格的红枣和小 米共3 000 kg,获得利润4.2万元”列出方程求解即可;(2)这后五个月,销售这种规格的红枣为x(kg),列出y 与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性及x的取值范围求出
23、最值. 解题关键解题关键 本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,确定自变量的取值范围,列出函数关系式是解题 的关键. A组 20182020年模拟基础题组 考点一 一次函数的图象和性质 1.(2020北京东城二模,11)若点(a,10)在直线y=3x+1上,则a的值等于 . 答案答案 3 解析解析 点(a,10)在直线y=3x+1上,3a+1=10,a=3. 2.(2020北京门头沟一模,13)若一次函数的图象过点(0,2),且函数y随自变量x的增大而增大,请写出一个符 合要求的一次函数表达式: . 答案答案 y=x+2,答案不唯一 解析解析 设一次函数的解析式为y=kx+b,把(0,2)代
24、入得b=2,y=kx+2.函数y随自变量x的增大而增大, k0.k可取1,此时一次函数解析式为y=x+2.答案不唯一. 3.(2020北京海淀二模,12)函数y=kx+1(k0)的图象上有两点P1(-1,y1),P2(1,y2),若y10,例如k=1,答案不唯一. 4.(2018北京西城一模,14)在平面直角坐标系xOy中,如果当x0时,函数y=kx-1(k0)图象上的点都在直线 y=-1上方,请写出一个符合条件的函数y=kx-1(k0)的表达式: . 答案答案 y=x-1(答案不唯一) 解析解析 函数y=kx-1的图象经过(0,-1), 由题意可知只要图象从左到右上升,即k0即可. 5.(2
25、020北京房山一模,21)在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与一次函数y=2x-1的图象交 于A、B两点,已知A(m,-3). (1)求k及点B的坐标; (2)若点C是y轴上一点,且SABC=5,直接写出点C的坐标. k x 解析解析 (1)把y=-3代入y=2x-1,得x=-1, A(-1,-3),(1分) 由y=的图象经过点A(-1,-3)可得k=3,(2分) 由解得或B.(3分) (2)A,B在一次函数y=2x-1的图象上, 直线AB的解析式为y=2x-1,直线AB与y轴交于点(0,-1),设点C的纵坐标为y, 当点C在AB与y轴交点上方时,(y+1)=5,解得y=3; 当点
26、C在AB与y轴交点下方时,(-1-y)=5,解得y=-5, k x 21, 3 , yx y x 1, 3 x y 3 , 2 2, x y 3 ,2 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 点C的坐标为(0,3)或(0,-5). 易错警示易错警示 本题(2)问由于点C是y轴上的点,所以可能在正半轴或负半轴上,都需要验证,避免丢解. 6.(2019北京顺义一模,23)在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x-6与双曲线y=(k0)的一个交点为A(m,2), 与x轴交于点B,与y轴交于点C. (1)求点B的坐标及k的值; (2)若点P在x轴上,且APC的面积为16,求点P的坐标. k x 解析
27、解析 (1)令y=0, 则2x-6=0, 可得x=3, 直线y=2x-6与x轴交点B的坐标为(3,0).(1分) 将A(m,2)代入y=2x-6, 得m=4, 将A(4,2)代入y=, 得k=8.(3分) (2)过点A作AMx轴于点M, k x A(4,2),C(0,-6),(4分) OC=6,AM=2, SAPC=SAPB+SCPB=PB2+PB6=4PB,且SAPC=16,PB=4, 又B(3,0), P1(-1,0),P2(7,0).(6分) 1 2 1 2 7.(2019北京密云一模,23)已知直线y=kx+3k与函数y=(x0)的图象交于A(3,2). (1)求k,m的值; (2)若
28、直线y=kx+3k与x轴交于点P,与y轴交于点Q.点B是y轴上一点,且SABQ=2SPOQ.求点B的纵坐标. m x 解析解析 (1)直线y=kx+3k与函数y=(x0)的图象交于A(3,2), 3k+3k=2,2=. 解得k=,m=6.(2分) (2)由(1)知k=,故此直线表达式为y=x+1. 令x=0,则y=1; 令y=0,则x=-3. P(-3,0),Q(0,1).(4分) 过点A作ADy轴,垂足为D. SABQ=2SPOQ,BQAD=2OPOQ.即BQ3=231.BQ=2, m x 3 m 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 8.(2018北京怀柔一模,22)在平
29、面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k0)的图象与y轴交于点B(0,1),与 反比例函数y=(m0)的图象交于点A(3,-2). (1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式; (2)若点C是y轴上一点,且BC=BA,直接写出点C的坐标. m x 解析解析 (1)曲线y=(m0)过点A(3,-2), 将A(3,-2)代入y=(m0), 得-2=,解得m=-6. 所求反比例函数的表达式为y=-. 点A(3,-2),B(0,1)在直线y=kx+b(k0)上, 所求一次函数的表达式为y=-x+1. (2)C点坐标为(0,3+1)或(0,1-3). 提示:以点B为圆心,BA为半径画圆,与y轴有
30、两个交点,又BA=3, 所以点C的坐标为(0,3+1)或(0,1-3). m x m x 3 m 6 x 23, 1, kb b 1, 1, k b 22 2 22 考点二 一次函数的应用 (2019北京东城一模,7)弹簧原长(不挂重物)为15 cm,弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)的关系如下表所示: 弹簧总长L(cm) 16 17 18 19 20 重物质量x(kg) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物质量为5 kg(在弹性限度内)时,弹簧的总长L(cm)是( ) A.22.5 B.25 C.27.5 D.30 答案答案 B 通过观察表格可知重物每增加0.5 kg,弹簧总长
31、增加1 cm, 因为重物质量为5 kg,相对于2.5 kg增加了2.5 kg, 所以弹簧长相对于20 cm增加了5 cm,为25 cm. 故选B. 一题多解一题多解 通过表格可以发现L是关于x的一次函数,L=15+2x,所以当x=5时,L=15+25=25.故选B. 一、填空题(每小题2分,共4分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:40分 1.(2018北京东城一模,14)将直线y=x沿y轴向上平移2个单位长度后,所得直线的函数表达式为 , 这两条直线间的距离为 . 答案答案 y=x+2; 2 解析解析 直线y=x沿y轴向上平移2个单位长度得直线y=x+2.两平行线
32、间的距离为两直线间垂线段的长度, 过点O作直线y=x+2的垂线段OA,则OA与直线y=x+2及y轴围成一个等腰直角三角形.其中底边长为2,则 腰OA的长为,所以两条直线间的距离为. 22 2.(2019北京朝阳二模,15)世界上大部分国家都使用摄氏温度(),但美、英等国的天气预报仍然使用华 氏温度(),两种温度计量之间有如下的对应表: 摄氏温度() 0 10 20 30 40 50 华氏温度() 32 50 68 86 104 122 由上表可以推断出,0度对应的摄氏温度是 ,若某一温度时华氏温度的值与对应的摄氏温 度的值相等,则此温度为 . 华氏 答案答案 -;-40 160 9 解析解析
33、根据题意可以得到函数表达式,设摄氏温度为x,华氏温度为y,则有y=1.8x+32.所以当y=0时,x=- ;当x=1.8x+32时,x=-40. 160 9 二、解答题(共36分) 3.(2020北京西城一模,25)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=kx+2k(k0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,与 函数y=(x0)的图象的交点P位于第一象限. (1)若点P的坐标为(1,6), 求m的值及点A的坐标; = ; (2)直线l2:y=2kx-2与y轴交于点C,与直线l1交于点Q,若点P的横坐标为1, 写出点P的坐标(用含k的式子表示); 当PQPA时,求m的取值范围. m x PB PA
34、解析解析 (1)令y=0,则kx+2k=0. k0,解得x=-2.点A的坐标为(-2,0). 点P的坐标为(1,6),m=6. . 提示:如图,过点P作PMx轴于点M,过点B作BEPM于点E,由PBEPAM,得=. 1 3 PB PA BE AM 1 3 (2)P(1,3k). 令kx+2k=2kx-2,解得x=2+. 点Q的横坐标为2+, 2 k 2 k 2+1(k0), 点Q在点P的右侧. 如图,分别过点P,Q作PMx轴于M,QNx轴于N, 则点M,点N的横坐标分别为1,2+. 2 k 2 k 若PQ=PA,则=1. =1.MN=MA.2+-1=3,解得k=1. 当=1时,k1.m=3k3
35、.当PQPA时,m3. PQ PA PQ PA MN MA 2 k PQ PA MN MA 解题关键解题关键 借助解析式,用含有字母的式子表示主要的点的坐标,再根据点的坐标用含有字母的式子表 示线段的长度,根据题目中给出的条件找到相应的关系式求解. 4.(2020北京丰台二模,22)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y=(x0)的图 象交于点A(2,1)和点B,与y轴交于点C. (1)求k的值; (2)如果AC=2AB,求一次函数的表达式. k x 解析解析 (1)反比例函数y=的图象经过点A(2,1),k=2. (2)分别过点A,B作AD,BE垂直y轴于点D,E
36、. A(2,1),AD=2. 情况1:当点B在线段AC上时. AC=2AB,BE=AD=1.B(1,2). 一次函数y=mx+n过点A(2,1),B(1,2), k x 1 2 可得解得 一次函数的表达式为y=-x+3. 情况2:当点B在线段AC的反向延长线上时. AC=2AB,BE=AD=3.B. 一次函数y=mx+n过点A(2,1),B, 21, 2, mn mn 1, 3. m n 3 2 2 3, 3 2 3, 3 可得解得一次函数的表达式为y=-x+. 21, 2 3, 3 mn mn 1 , 3 5. 3 m n 1 3 5 3 5.(2020北京平谷一模,23)在平面直角坐标系x
37、Oy中,反比例函数y=(x0)的图象G与直线l:y=2x-4交于点 A(3,a). (1)求k的值; (2)已知点P(0,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,与图象G交于点B,与直线l交于点C.横、纵坐标都是整 数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段AC,BC围成的区域(不含边界)为W. 当n=5时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内的整点恰好为3个,结合函数图象,直接写出n的取值范围. k x 解析解析 (1)反比例函数y=(x0)的图象G与直线l:y=2x-4交于点A(3,a). a=23-4=2,A(3,2), 反比例函数y=(x0)的图象G经过A(3,2), k=
38、32=6. (2)当n=5时,则B,C, k x k x 6 ,5 5 9 ,5 2 在区域W内有3个整点:(2,4),(3,3),(3,4). 由上图可知,若区域W内的整点恰好为3个, 当P点在A点的上方时,4n5; 当P点在A点的下方时,0n1. 综上所述,若区域W内恰有3个整点,则n的取值范围为4n5或0n1. 6.(2019北京西城一模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+b与x轴交于点A(-2,0),与y轴交于点B.双曲 线y=与直线l交于P,Q两点,其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标. (1)求点B的坐标; (2)当点P的横坐标为2时,求k的值; (3)连接PO,记POB
39、的面积为S,若S1,直接写出k的取值范围. k x 1 2 解析解析 (1)直线l:y=x+b与x轴交于点A(-2,0), 0=-2+b,解得b=2.(1分) 直线l:y=x+2与y轴交于点B,令x=0,则y=2, 点B的坐标为(0,2).(2分) (2)点P在直线l:y=x+2上,且点P的横坐标为2, 点P的纵坐标为4. 点P在双曲线y=上,k=8.(3分) (3)-1k-或k3.(5分) 提示:点P在y轴右侧,当面积为时,设h是POB中BO边上的高,可列方程2 h=,所以点P的坐标 为,代入反比例函数表达式中可得k=.同理当面积为1时,可得k=3.因为S1,所以k3.同理 可求得点P在y轴
40、左侧时,-1k0)的图象交于点A(1,2). (1)求m的值; (2)过点A作x轴的平行线l,直线y=2x+b与直线l交于点B,与函数y=(x0)的图象交于点C,与x轴交于点D. 当点C是线段BD的中点时,求b的值; 当BCBD时,直接写出b的取值范围. m x m x 解析解析 (1)把A(1,2)代入函数y=(x0)中, 2=.m=2.(1分) (2)过点C作x轴的垂线,交直线l于点E,交x轴于点F. 当点C是线段BD的中点时,CE=CF=1. m x 1 m 点C的纵坐标为1.(2分) 把y=1代入函数y=中,得x=2. 点C的坐标为(2,1).(3分) 把C(2,1)代入函数y=2x+
41、b中,得b=-3.(4分) b3.(5分) 提示:当BC=BD时,点C的纵坐标为4,代入函数y=中,得x=0.5.点C的坐标为(0.5,4).把C(0.5,4)代入函 数y=2x+b中,得b=3.结合图象可知当b3时,BCBD. 2 x 2 x 思路分析思路分析 本题第二问需要关注点B纵坐标的特点. 解题关键解题关键 解决本题的关键是发现点B的纵坐标不变,进而根据点B的纵坐标求出点C的纵坐标. 8.(2018北京西城二模,23)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x0)的图象经过点A(-4,n),ABx轴于 点B,点C与点A关于原点O对称,CDx轴于点D,ABD的面积为8. (1)求m,
42、n的值; (2)若直线y=kx+b经过点C,且与x轴,y轴的交点分别为点E,F,当CF=2CE时,求点F的坐标. m x 解析解析 (1)点A的坐标为A(-4,n),点C与点A关于原点O对称,点C的坐标为C(4,-n). ABx轴于点B,CDx轴于点D, B,D两点的坐标分别为(-4,0),(4,0). ABD的面积为8,且SABD=ABBD=(-n)8=-4n,-4n=8,解得n=-2. 函数y=(x0)的图象经过点A(-4,n),m=-4n=8. (2)由(1)得点C的坐标为C(4,2).如图,当k0时,设直线y=kx+b与x轴,y轴的交点分别为E2,F2. 1 DC OF 1 3 同理可得,=. CF2=2CE2, E2为线段CF2的中点,E2C=E2F2. OF2=DC=2. 点F2的坐标为(0,-2). 综上,点F的坐标为(0,6)或(0,-2). 2 DC OF 2 22 E C E F
