1、 专题专题 0808 还原与对消还原与对消 方程的解与解方程方程的解与解方程 阅读与思考阅读与思考 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1、得 方程的解我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随 机应变(灵活打乱步骤)地解方程 方程的解是方程理论中的一个重要概念， 对于方程解的概念， 要学会从两个方面去运用： 1求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题 2代解：将方程的解代入原方程进行解题 当方程中的未知数是用字母表示时， 这样的方程叫含字母系数的方程， 含字母系数的一 元一次方程总可以化为 axb 的形式，其方程的解由 a
2、，b 的取值范围确定字母 a，b 的取 值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响， 其解法同数字系数的一次方程解法一 样；当字母 a，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是： (1)当 a0 时，原方程有唯一解 x b a ； (2)当 a0 且 b0 时，原方程有无数个解； (3)当 a0，b0 时，原方程无解； 例题与求解例题与求解 例例 1 已知关于 x 的方程 3x2(x 3 a )4x 和 3 12 xa 1 5 8 x 1 有相同的解，那么 这个解是_ (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路解题思路：建立关于 a 的方程，解方程 例例 2 已知 a 是任意有理数，
3、在下面各说法中 (1)方程 ax0 的解是 x1 (2)方程 axa 的解是 x1 (3)方程 ax1 的解是 x 1 a (4)方程|a|xa 的解是 x1 结论正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 (江苏省竞赛试题) 解题思路解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意 a 的任意性 例例 3 a 为何值时，方程 3 x a 2 x 1 6 (x12)有无数多个解？无解？ 解题思路解题思路： 化简原方程， 运用方程 axb 各种解的情况所应满足的条件建立 a 的关系式 例例 4 如果 a，b 为定值时，关于 x 的方程 2 3 kxa 2 6 xbk ，无论 k 为何值时，它 的根
4、总是 1，求 a，b 的值 (2013 年全国初中数学竞赛预赛试题) 解题思路解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解 例例 5 已知 p，q 都是质数，并且以 x 为未知数的一元一次方程 px5q97 的解是 1， 求代数式 p2q 的值 (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路解题思路：用代解法可得到 p，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析 例例 6 (1)在日历中(如图)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为 a，则 用含 a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是_ (2)现将连续自然数 1 至 2004 按图中的方式排成一个长方形阵列， 用一个正方形框
5、出 16 个数(如图) 图中框出的这 16 个数的和是_； 在右图中，要使一个正方形框出的 16 个数之和等于 2000，2004，是否可能？若不可 能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的 16 个数中的最小数和最大数 (湖北省黄冈市中考试题) 解题思路解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差 7(2)经观察不难发现，在这个方框里的每 两个关于中心对称的数之和都等于 44如 31 与 13，11 与 33，17 与 27 都成中心对称的于 是易算出这 16 个数之和设框出的 16 个数中最小的一个数为 a，用 a 表示出 16 个数之 和，若算出的 a 为自然数，则成立；不为自然数，则不
6、可能 能力训练能力训练 A 级 1若关于 x 的方程(k2)x |k1|5k0 是一元一次方程，则 k_；若关于 x 的方 程(k2)x24kx5k0 是一元一次方程，则方程的解 x_ 2方程 x 3 4 x 1 4 (x 3 7 ) 3 16 (x 3 7 )的解是_ (广西赛区选拔赛试题) 3若有理数 x，y 满足(xy2)2|x2y|0，则 x2y3_ (“希望杯”邀请赛试题) 4若关于 x 的方程 a(2xb)12x5 有无数个解，则 a_，b_ (“希望杯”邀请赛试题) 5已知关于 x 的方程 9x3kx14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k_ (“五羊杯”竞赛试题) 6下列判断
7、中正确的是( ) A方程 2x31 与方程 x(2x3)x 同解 B方程 2x31 与方程 x(2x3)x 没有相同的解 C方程 x(2x3)x 的解都是方程 2x31 的解 D方程 2x31 的解都是方程 x(2x3)x 的解 2003 2004 1997 1999 2000 2001 2002 36 37 38 39 40 41 42 1996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图 图 日 一 二 三 四 五 六 6 7 8 9 10
8、 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 7方程 1 2 x 2 3 x 1995 1996 x 1995 的解是( ) A1995 B1996 C1997 D1998 8若关于 x 的方程 2 1 xb x 0 的解是非负数，则 b 的取值范围是( ) Ab0 Bb0 Cb2 Db0 且 b2 (黑龙江省竞赛试题) 9关于 x 的方程 a(xa)b(xb)0 有无穷多个解，则( ) Aab0 Bab0 Cab0 D a b 0 10已知关于 x 的一次方程(3a8b)x70 无解，则 ab 是
9、( ) A正数 B非正数 C负数 D非负数 (“希望杯”邀请赛试题) 11若关于 x 的方程 kx123x3k 有整数解，且 k 为整数，求符合条件的 k 值 (北京市“迎春杯”训练题) 12已知关于 x 的方程 3 x a | 2 a x 1 6 (x6)，当 a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程 有无穷多解？ (重庆市竞赛试题) B 级 1已知方程 2(x1)3(x1)的解为 a2，则方程 22(x3)3(xa)3a 的解为 _ 2已知关于 x 的方程 2 ax 3 3 bx 的解是 x2，其中 a0 且 b0，则代数式 b a a b 的值是_ 3 若 k 为整数， 则使得方程(k1
10、999)x20012000 x 的解也是整数的 k 值有_个 (“希望杯”邀请赛试题) 4如果 1 2 1 6 1 12 1 (1)n n 2003 2004 ，那么 n_ (江苏省竞赛试题) 5用表示一种运算，它的含义是 AB 1 AB (1)(1) x AB ，如果 21 5 3 ， 那么 34_ (“希望杯”竞赛试题) 6如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等， 则一块巧克力的质量是_克 (河北省中考试题) 7有四个关于 x 的方程 x21 (x2)(x1)1(x1) 巧克力 果冻 50g 砝码 第 6 题图 x0 x2 1 1x 1 1 1x 其中同解
11、的两个方程是( ) A与 B与 C与 D与 8已知 a 是不为 0 的整数，并且关于 x 的方程 ax2a33a25a4 有整数解，则 a 的值共有( ) A1 个 B3 个 C6 个 D9 个 (“希望杯”邀请赛试题) 9(1)当 a 取符合 na30 的任意数时，式子 2 3 ma na 的值都是一个定值，其中 mn 6，求 m，n 的值 (北京市“迎春杯”竞赛试题) (2)已知无论 x 取什么值，式子 3 5 ax bx 必为同一定值，求 ab b 的值 (“华罗庚杯”香港中学竞赛试题) 10甲队原有 96 人，现调出 16 人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的 k(k 是不等 于 1 的正整数)倍还多 6 人，问乙队原有多少人？ (上海市竞赛试题) 11下图的数阵是由 77 个偶数排成： 用一平行四边形框出四个数(如图中示例) (1)小颖说四个数的和是 436，你能求出这四个数吗？ (2)小明说四个数的和是 326，你能求出这四个数吗？ 第 11 题图 142 144 146 148 150 152 154 30 32 34 36 38 40 42 16 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 14
