1、 专题专题 23 23 与角相关的问题与角相关的问题 阅读与思考阅读与思考 角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射 线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 按角的大小可以分成锐角、 直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要， 所以处于不同位置， 但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做 互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证 明中都有十分重要的地位. 解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1.
2、 角的分类； 2. 角平分线的概念； 3. 互余、互补等数量关系角； 4. 用方程的观点来进行角的计算. 例题与求解例题与求解 【例 1】如图，在 33 的网格上标出了1 和2，则12 . 2 1 （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12 的值. 【例 2】如果与互补，且，则下列表示的余角的式子中：90； 90； 1 () 2 ； 1 () 2 . 其中正确的有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 （2013 年浙江省衢江市数学竞赛试题） 解题思路解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关. 【例 3】已
3、知80AOB，OC 是不在直线 OA，OB 上的任一条射线. OM，ON 分别平分AOC， BOC. 求MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角） B A O B A （湖北省武汉市武昌区调考试题） 解题思路解题思路：因 OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键. 【例 4】钟表在 12 点钟时三针重合，经过 x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求 x 的 值. （湖北省黄冈市竞赛试题） 解题思路解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用 x 的代数式表示，通过解方 程求出 x 的值. 【例 5】 （1）现有一个 19的“模板” （如图） ，请你设计一种办法，
4、只用这个“模板”和铅笔在纸 上画出 1的角来. 19 （2）现有一个 17的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1的角来？ （3）用一个 21的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个 1的角来？ 对（2） （3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由. （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个 19 （或 17 或 21 ）的整数倍的角，其实，解题的 关键是在于能否找到 19 （或 17 或 21 ）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差 1 . 【例 6】如图所示，O 是直线 AB 上的一点，COD 是直角，OE 平分BOC. （1）如图，
5、若30AOC，求DOE 的度数； （2）在图中，若AOC，直接写出DOE 的度数 （用含 的代数式表示） ； （3）将图中的DOC 绕顶点 O 顺时针旋转至图的位置. 探究AOC 和DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； 在AOC 的内部有一条射线 OF，满足42AOCAOFBOEAOF ，试确定AOF 与 DOE 的度数之间的关系，说明理由 ABO D C E E C D OBA 图 图 （湖北省武汉市模拟试题） 解题思路解题思路： （1）利用互余、互补关系易求出DOE 的度数； （2）先根据DOE 与COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用BOC 表示出COE，再根据 互补
6、角的关系用 表示出所求角的度数； （3）可设BOC 为一个未知数，分别表示出AOC 与DOE，可得相应关系；结合把所给 等式整理为只含所求角的关系式即可. 能力训练能力训练 A 级 1. 已知一个角的补角等于这个角余角的 6 倍，那么这个角等于 . （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 2. 如图，45BOD，90AOE，那么不大于 90的角有 个，它们的度数之和 是 . E C D O B A （ “希望杯”邀请赛试题） 3. 如图，150AOCBOD ，若3AODBOC ，则BOC等于 . AB O D C 4. 如图，O 是直线 AB 上一点，120AOD，90AOC，OE 平分BOD，则图中彼
7、此互补 的角有 对. E C D O BA （北京市“迎春杯”竞赛试题） 5. 一个角的补角的 1 17 是 6，则这个角是（ ） A. 68 B. 78 C. 88 D. 98 （ “希望杯”邀请赛试题） 6. 用一副三角板可以画出大于 0且小于 176的不同角度有（ ）种 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如图，若180AOB，1 是锐角，则1 的余角是（ ） 2 AB O 1 A. 1 21 2 B. 13 21 22 C. 1 ( 21) 2 D. 1 ( 21) 3 （甘肃省兰州市竞赛试题） 8. 如图，180AOB，OD 是COB 的平分线，OE 是AOC 的平分
8、线，设BOD，则与 的余角相等的角是（ ） AB O D C E A.COD B.COE C.DOA D.COA 9. 如图，已知2COBAOC ，OD 平分AOB，且19COD，求AOB 的度数. C D O B A （北京市“迎春杯”竞赛试题） 10. 如图，已知AOB 与BOC 互为补角，OD 是AOB 的平分线，OE 在BOC 内， 1 2 BOEEOC，72DOE. 求EOC 的度数. E C D O B A 11. 已知80AOB，OC 平分AOB，60COD，OE 平分COD. 求AOE 的大小. E C D O B A 12. 如图，已知 OB，OC，OD 为AOE 内三条射线
9、. （1）图中共有多少个角？ （2）若 OB，OC，OD 为AOE 四等分线，且图中所有锐角的和为 400，求AOE 的度数. （3）若89AOE，30BOD，求图中所有锐角的和. E C D O B A B 级 1. 已知一个角的补角比这个角余角的 3 倍大 10，则这个角的度数是 . （浙江省杭州市竞赛试题） 2. ， 中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 1 () 15 的值时，有三位同学 分别算出了 23，24，25这三个不同的结果. 其中只有一个是正确的答案，则 . （江苏省竞赛试题） 3. 如图，点 O 在直线 AB 上，OC，OD，OE，OF 是位于 AB 同一侧的射线
10、，那么在这个图形中， 不大于平角的角共有 个. F AB O D C E （五城市联赛试题） 4. 如图，射线 OC，OD，OE，OF 分别平分AOB，COB，AOC，EOC，若24FOD， 则AOB . F E C D O B A （2013 年“希望杯”数学邀请赛试题） 5. 4 点钟后，从时针到分针第二次成 90角，共经过（ ）分钟（答案四舍五入到整数） A. 60 B. 30 C. 40 D. 33 （ “五羊杯”竞赛试题） 6. 如图是一个 33 的正方形，则图中1239 的和等于（ ） 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A. 270 B. 315 C. 360 D. 405 （广
11、西省竞赛试题） 7. 已知，OM，ON，OP 分别是AOB，BOC，AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（ ） O C B A P M N A.AOPMON B.AOPMON C.AOPMON D.以上情况都有可能 8. 如图，AOC 是直角，21.5COD，且 OB，OD 分别是AOC，BOE 的平分线，则AOE 等于（ ） A B O D C E A. 111.5 B. 138 C. 134.5 D. 178 （五城市联赛试题） 9. 如图，在直线 AB 上取一点 O，在 AB 同侧引射线 OC，OD，OE，OF，使COE 和BOE 互余， 射线 OF 和 OD 分别平分COE 和BOE. 求证：3AOFBODDOF . F ABO D C E 10. 如图，A1OA11是一个平角， 322143325443 AOAA OAA OAAOAA OAA OA 1110109 2A OAA OA . 求 1110 A OA的度数. . A5 A4 A3 A2 A10 A11 A1 O （山东省竞赛试题） 11. 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的选择中心）. 若现在时间恰 好是 12 点整，问经过多少秒后，OAB 的面积第一次达到最大？ （ “CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）
