1、- 1 - 第四章第四章一次函数一次函数 （一）一次函数概念及其性质 一、知识梳理 要点一、函数的相关概念 （1）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个正确的值，y都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数 （2）y是x的函数，如果当ax 时by ，那么b叫做当自变量为a时的函数值 （3）函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法 要点二、一次函数的相关概念 一次函数的一般形式为bkxy， 其中k、b是常数，0k 特别地， 当0b时， 一次函数bkxy 即)0( kkxy是正比例函数 要点三、一次函数的图象及性质 1函数的图象 （1）如果把
2、自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组 成的图形，就是这个函数的图像 （2）直线bkxy可以看作由直线kxy 平移b个单位长度而得到（当0b时，向上平移；当0b 时，向下平移）说明通过平移，函数bkxy与函数kxy 的图像之间可以相互转化 2一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质） 要点四、用函数的观点看方程 方程（组） 、不等式问题 函数问题 从“数”的角度看从“形”的角度看 求关于x、y的一元一次方程 )0(0abax的解 x为何值时，函数bkxy的值 为0？ 确定直线bkxy与x轴（即 直线0y）交点的横坐标 解
3、析式y=kx+b(k 为常数，且 k0 ) 自变量取值范围全体实数 图 象 形状过（0，b）和（ k b ，0)点的直线 k、b 的取值 k0k0b0b0 示意图 位置 经过一、二、 三象限 经过一、三、 四象限 经过一、二、 四象限 经过二、三、 四象限 趋势从左向右上升从左向右下降 函数变化规律y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小 - 2 - 考点一函数定义 例 1下列关系式中，其中y是x的函数的是 13 yxxy 92 2 yx 考点二自变量取值范围 例 2函数 0 )3( 1 1 x x y的自变量的取值范围是 考点三正比例函数kxy （k是常数，0k）的图象及其性质 例
4、3下列函数的图象经过原点的是（） A25 xyB13 xyCxy3D 2 1 x y 例 4若正比例函数的图象经过点)2 , 1(，则这个图象必经过点（） A)2 , 1 (B)2, 1(C) 1, 2( D)2, 1 ( 例 5已知在正比例函数xky)2( 中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 考点四一次函数bkxy（k、b是常数，0k）的图象（一条直线）及性质 例 6 （1）已知一次函数bxy的图象经过第一、三、四象限，则b的取值范围是 （2）若一次函数1 kxy（k为常数，0k）的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 （3）已知点), 1 ( aM和点), 2(bN是一次函数12 x
5、y图象上的两点，则a与b的大小关系是 （4）已知一次函数2 kxy经过点)0 , 1 (，则k的值是 （5）一次函数32 xy的图象交x轴于点A，与y轴于点B，则点A的坐标是，则B的坐标 是，ABO的面积是 例 7在下列直角坐标系中，一次函数kkxy2的图象只可能是（） ABCD 例 8一次函数bkxy的图象如图所示，当0y时，x的取值范围是 例 9已知1y与z成正比，1z与x成正比，且1x时，5y；2x时，11y求y与x之间的函数 关是 - 3 - 课后作业课后作业 1下列图形中曲线不表示y是x的函数的是（） ABCD 2 在函数)0(2kkxy的图象上有), 1 ( 1 yA、), 3(
6、2 yB 、), 2( 3 yC 三个点， 则下列各式中正确的是 （） A 321 yyyB 231 yyyC 123 yyyD 132 yyy 3直线22 xy沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（） A)0 , 4(B)0 , 1(C)2 , 0(D)0 , 2( 4直线mxy 2与直线12 xy的交点在第四象限，则m的取值范围是（） A1mB1mC11mD11m 5若等腰三角形的周长是cm100，则能反映这个等腰三角形的腰长)(cmy与底边长)(cmx之间的函数关系 式的图象是（） ABCD 6若函数xmxmy) 12() 14( 22 （m为常数）是正比例函数，则m的值为 7当k
7、时，kxky k 2 ) 1(是一次函数 8在平面直角坐标系中，已知直线3 4 3 xy与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C是y轴上一点， 若点B关于直线AC的对称点 1 B刚好在x轴上，则满足条件的点 1 B的坐标为，点C的坐标 为 9若一次函数bkxy，当62x时，函数值得范围为911x，则此一次函数 的解析式为 10如图所示，已知函数baxy和dcxy的图象交于点)3, 2( P，根据图象可得方 程dcxbax的解为，满足dcxbax的x的取值范围 是 11直线nmxyl:（m、n是常数）的图象如图所示，化简：1 2 mnnm - 4 - （二）一次函数性质及其应用 考点一一次函数与不
8、等式 例 1如图，直线bkxy经过) 1 , 2(A，)2, 1(B两点，则不等式xbkx 2 1 的解集为 例 1 图变式训练 1 图 变式训练同一直角坐标系中，一次函数bxky 1 与正比例函数xky 2 的图象如图所示，则满足 xkbxk 21 的x取值范围是 考点二一次函数的运用（读图获取信息） 例 2如图是本地区一种产品30天的销售图象，图是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天） 的函数关系，图是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售 利润日销售量一件产品的销售利润，下列结论错误的是（） A第24天的销售量为 200 件 B第10天销售一件
9、产品的利润是15元 C第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D第30天的日销售利润是750元 考点三利用一次函数解决方案问题 例 3某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价 的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函 数关系如图所示当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元 （1）根据图象，求y与x之间的函数关系式； （2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价； （3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据 学生
10、需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具 盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多 少元？ - 5 - 变式训练某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利 润为3500元 （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设 购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元 求y关于x的函数关系式； 该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3
11、）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调)1000( mm元，且限定商店最多购进A型电脑70台， 若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润 最大的进货方案 考点四规律问题 例 4如图，在平面直角坐标系中，点 1 A、 2 A、 3 A、 4 A都在x轴上，点 1 B、 2 B、 3 B都在直线xy 上， 11B OA， 211 AAB， 212 ABB， 322 AAB， 323 ABB都是等腰直角三角形，且1 1 OA，则点 2016 B的 坐标为 例 4 图变式（1）图变式（2）图 变式训练（1）如图，已知直线2 2 1 xy与x轴交于点
12、B，与y轴交于点A过线段AB的中点 1 A做 xBA 11 轴于点 1 B，过线段BA1的中点 2 A作xBA 22 轴于点 2 B，过线段BA2的中点 3 A作xBA 33 轴于点 3 B，以此类推，则 1 nnn BBA的面积为 （2）如图放置的 1 OAB， 211 BAB， 322 BAB， 都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O、 1 B、 2 B、 3 B， 都在直线1上，则点 2016 A的坐标是 - 6 - 课后作业课后作业 1若点) 1 , 3(在一次函数)0(2kkxy的图象上，则k的值是（） A5B4C3D1 2如图所示，函数xy 1 和 3 4 3 1 2 xy的
13、图象相交于) 1 , 1(、)2 , 2(两点当 21 yy 时，x的取值范围是 （） A1xB21xC2xD1x或2x 3当b为时，直线bxy 2与直线43 xy的交点在x轴上 4新定义：cba,为函数cbxaxy 2 （a，b，c为实数）的“关联数” 若“关联数”为1 , 2 mm 的函数为一次函数，则m的值为 5在平面直角坐标系中，已知点)3 , 2(A、)7 , 4(B，直线)0( kkkxy与线段AB有交点，则k的取值范 围为 2 题图6 题图 6如图放置的 1 OAB、 211 BAB、 322 BAB都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点 1 B、 2 B、 3 B都在直线
14、xy 3 3 上，则 2014 A的坐标是 7 如图 1 所示， 某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到达丙地， 列车匀速行驶， 图 2 为列车离乙地路程y（千 米）与行驶时间x（小时）的函数关系图象 （1）填空：甲丙两地距离千米 （2）求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围 - 7 - 8在“五一”期间， “佳佳”网店购进A、B两种品牌的服装进行销售，已知B种品牌服装的进价比A种 品牌服装的进价每件高20元，2件A种品牌服装与3件B种品牌服装进价共560元 （1）求购进A、B两种品牌服装的单价； （2）该网站拟以不超过11200元的总价购进这种两品牌服装共100件
15、，并全部售出其中A种品牌服装的 售价为150元/件，B种品牌服装的售价为200元/件，该网站为了获取最大利润，应分别购进A、B两 种品牌服装各多少件？所获取的最大利润是多少？ 9为了迎接“五一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋其中甲、乙两 种运动鞋的进价和售价如表： （1） 要使购进的甲、 乙两种运动鞋共200双的总利润 （利润售价-进价） 不少于21700元， 且不超过22300 元，问该专卖店有几种进货方案？（不需要列举出来） （2）在（1）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠 )7050( aa元出售，乙种运动鞋价格不变 若
16、设购进甲种运动鞋x双，总利润为W元，请写出W与x的关系式； 该专卖店应如何进货才能获得最大利润？ 运动鞋价格甲乙 进价（元/双）8080 售价（元/双）240160 - 8 - （三）一次函数综合运用 考点一坐标与线段长 例 1 如图， 直线8 3 4 xy分别交x轴、y轴于A、B两点， 线段AB的垂直平分线交x轴于点C， 交AB 于点D，则点C的坐标为 例 1 图变式训练 1 图 变式训练 1如图， 在平面直角坐标系中， 直线1 xy与42 xy交于点A,两直线与x轴分别交于点B 和点C，D是线段AC上的一点，点E在直线AB上，且OADE /，OADE ，则点E的坐标是 考点二直角坐标系中的
17、三角形面积 例 2如图，直线1 2 1 xy经过点), 1 ( mA，), 4(nB，点C的坐标为)5 , 2(，则 ABC S 例 2 图变式训练 2 图 变式训练 2如图，直线1: xyAB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线2: kxyCD与x轴、y轴分 别交于点C、D,直线AB与直线CD交于点P若5 . 4 APD S，则k 考点三一次函数与等腰三角形 例 3如图，直线OB是一次函数xy2的图象，点A的坐标为)2 , 0(，在直线OB上找点C，使得ACO 为等腰三角形，求点C的坐标 - 9 - 变式训练 3如图，在平面直角坐标系中，直线42 xy与x轴、y轴分别交于A、B两点，现有一条
18、动直线mxy ，点M为直线mxy 上一点 （1）若ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m的值； （2）若ABM是等腰直角三角形，求m的值 考点四一次函数与几何定值 例 4如图，在平面直角坐标系中，），（ 02A，），（bB0，且a，b满足042 2 ）（ba （1）求直线AB的解析式； （2）过A点的直线kkxy2交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为1，过点N点的直线 22 k x k y交 AP于点M，试证明 AM PNPM 的值为定值 - 10 - 课后作业课后作业 1函数 3 1 x y中，自变量x的取值范围是（） A3xB3xC3xD3x 2已知一次函数bkxy，y随x的增大而减小，且
19、0kb，则在直角坐标系内它的大致图象是（） ABCD 3 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 3 2 3 2 xy与矩形ABCO的边OC，BC分别交于点E、F， 已知3OA， 4OC，则CEF的面积是（） A6B3 C12D 3 4 4如图所示，直线3 kxy与x轴、y轴分别交于A、B两点， 4 3 OA OB ,点）（yxC,是直线3 kxy上 与A、B不重合的动点 （1）求直线3 kxy的解析式； （2）当点C运动到什么位置时AOC的面积是6； （3）过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使BCD与AOB全等？若存在，请求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由 - 11 - 5 如图1， 已知直线22 xy与y轴、x轴分别交于A、B两点， 以B为直角顶点在第二象限作等腰ABCRt. 直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D，且ACAD . （1）求证：DEBE （2）如图 2，直线AC交x轴于M，），（kP 2 5 是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使 直线PN平分BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 图 1图 2
