1、 武功县武功县2021届高三第一届高三第一次质量检测次质量检测 理科数学试题参考答案 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1D 2A 3C 4B 5A 6B 7A 8C 9D 10A 11B 12D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 131 14240 15或 16 2 3 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） （一）必考题（共 60 分） 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）由 22 cossinBA 2 sin sinc
2、osABC，得 2 sinsin sinAAB 22 sinsinCB 由正弦定理，得 222 cbaab，即 222 abcab , 所以 222 cos 2 abc C ab 1 22 ab ab ，又0C，则 2 3 C （2）因为 6 A ，所以 6 B . 所以ABC为等腰三角形，且顶角 2 3 C . 因为 1 sin 2 ABC SabC 3 3 4 ab， 所以2a.在MAC中，2AC ，1CM ， 2 3 C ， 所以 222 AMACCM2cosAC CMC=4+1+2 2 1 1=7 2 ，解得 7AM . 18 （本小题满分 12 分） 解：（1） 证明： 长方形ABC
3、D中，2 2AB ，2AD，M为DC的中点， 2AMBM， 则AMBM. 平面ADM 平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，BM 平面ABCM， BM 平面ADM，AD 平面ADM，ADBM； （2）取AM中点O，连接DO，则DO 平面ABCM， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的 一个法向量为0,1,0m ， 设DEDB， MEMDDB1,2 ,1， 2,0,0AM . 设平面AME的一个法向量为, ,nx y z，则 20 210 n AMx n MEyz ，取1y ，得 2 0,1, 1 n .由cos,m n 2 5 5 m n m n ，解得 1 5 .E为B
4、D上靠近D点的 1 5 处. 19 （本小题满分 12 分） 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A) 111 235 3 10 1 4 C C C C . (2)X的所有可能值为 0，1，2，且P(X0) 3 8 3 10 7 15 C C ，P(X1) 12 28 3 10 7 15 C C C ， P(X2) 21 28 3 10 1 15 C C C . 综上可知，X的分布列为 X 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 故E(X)0 7 15 1 7 15 2 1 15 3 5 (个) 20（本小题满分 12 分） 解：(1)由椭圆
5、定义知|AF2|AB|BF2|4，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB| 4 3 . (2)l的方程为yxc，其中c 2 1 b. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 2 2 2 1 yxc y x b 化简，得(1b 2)x22cx12b20. 则 x1x2 2 2 1 c b ，x1x2 2 2 1 2 1 b b . 因为直线AB的斜率为 1，所以|AB|2|x2x1|. 即 4 3 2|x2x1|. 则 8 9 (x1x2) 24x 1x2 2 22 4(1) (1) b b 2 2 4(1 2) 1 b b 4 22 8 (1) b b ，解得b 2
6、 2 . 21 （本小题满分 12 分） 解： （1）当1a 时，( )fx ( sincos ) x xxxe，则 01 f ，又(0)1f ， 则 f x在0 x处的切线方程为：1yx ，即10 xy （2）( )fx ( sincos1) x axxxae， 又0 x e ，设 ( )sing xaxxcos 1xa， ( )0fx ，( )0g x ( )cossing xaxx2sin 4 xa ， 因 (0, )x ，故2sin 4 x ( 1,2， 又1a，故( )0g x 对(0, )x恒成立，即 g x在区间0,单调递增； 又(0)2ga，( )(1)0ga； 故当12a 时
7、，(0)20ga ，此时 fx 在区间0,内恰好有1个零点 当2a时，(0)20ga，此时 fx 在区间0,内没有零点； 综上结论得证 （二）选考题（共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 22选修 44：坐标系与参数方程(10 分) 解： （1）由6cos得 2 6 cos 1 C： 22 60 xyx； 2 C：0 xy. （2） 4 代入6cos得3 2，3 2AB . 23选修 45：不等式选讲(10 分) 解： （1）由( )|2|0g xxm ，可得2xm， 所以22xmm ， 由题意得 24 20 m m ， 所以m=2. （2）若( )( )f xg x恒成立，则有12xxm 恒成立， 因为12xx 123xx ， 当且仅当2)0(1)(xx时取等号，所以m3.
