1、2020 届高三数学（文） “小题速练”22 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.已知复数 z 满足(34i)z7i，则 z( ) A.1i B.1i C.1i D.1i 2.已知集合 Ax|x24|x|0，Bx|x0，则 AB( ) A.(0，4 B.0，4 C.0，2 D.(0，2 3.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a112，S590，则等差数列an的公差 d ( ) A.2 B.3 2 C.3 D.4 4.设向量 a(1，2)，b(0，1)，向
2、量 ab 与向量 a3b 垂直，则实数 ( ) A.1 2 B.1 C.1 D.1 2 5.已知 是第一象限角，sin 24 25，则 tan 2 ( ) A.4 3 B.4 3 C.3 4 D.3 4 6.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教 胜迹，古代圣哲老子曾在此著道德经五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作连 山易中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不 同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 5 D.2 5 7.已知函数 f(x)2sin x 4
3、在区间 0， 8 上单调递增，则 的最大值为( ) A.1 2 B.1 C.2 D.4 8.瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线 上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC， ABC 中， AB AC4，点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆(x3)2y2r2相切，则该圆 的直径为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2 9.函数 f(x)x2ln x 的最小值为( ) A.1ln 2 B.1ln 2 C.1ln 2 2 D.1ln 2 2 10.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已
4、知 a 3b，AB 2 ，则角 C ( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 11.在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，点 A 关于平面 BDC1的对称点为 M，则 M 到平面 A1B1C1D1的距离为( ) A.3 2 B.5 4 C.4 3 D.5 3 12.已知函数 f(x) x24xa，x1， ln x1，x1， 若方程 f(x)2 有两个解， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(，2) B.(，2 C.(，5) D.(，5 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0，则 AB
5、( ) A.(0，4 B.0，4 C.0，2 D.(0，2 解析： 选 A 由 x24|x|0 得 0|x|4， 所以4x4， 即 A4， 4， 因为 B(0， )，所以 AB(0，4.故选 A. 3.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a112，S590，则等差数列an的公差 d ( ) A.2 B.3 2 C.3 D.4 解析：选 C 法一：依题意，51254 2 d90，解得 d3.故选 C. 法二：因为等差数列an中，S590，所以 5a390，即 a318，因为 a112，所以 2d a3a118126，所以 d3.故选 C. 4.设向量 a(1，2)，b(0，1)，向量 a
6、b 与向量 a3b 垂直，则实数 ( ) A.1 2 B.1 C.1 D.1 2 解析：选 B 法一：因为 a a(1，2)，b b(0，1)，所以 a ab b(，21)，a a3b b (1，1)，由已知得(，21) (1，1)0，所以 210，解得 1.故选 B. 法二：因为向量 a ab b 与向量 a a3b b 垂直，所以(a ab b) (a a3b b)0， 所以 |a a|2(31)a a b b3|b b|20，因为 a a(1，2)，b b(0，1)，所以|a a|25，|b b|21， a a b b2，所以 52(31)310，解得 1.故选 B. 5.已知 是第一象
7、限角，sin 24 25，则 tan 2 ( ) A.4 3 B.4 3 C.3 4 D.3 4 解析： 选 D 因为 是第一象限角， sin 24 25， 所以 cos 1sin2 1 24 25 2 7 25， 所以 tan sin cos 24 7 ， tan 2tan 2 1tan2 2 24 7 ， 整理得 12tan2 2 7tan 2 120， 解得 tan 2 3 4或 tan 2 4 3(舍去).故选 D. 6.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教 胜迹，古代圣哲老子曾在此著道德经五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作连 山易中记载的
8、金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不 同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 5 D.2 5 解析：选 B 从五种不同属性的物质中任取两种，所有可能的取法共有 10 种，取出两 种物质恰好是相克关系的基本事件有 5 种， 则取出两种物质恰好是相克关系的概率 P 5 10 1 2.故选 B. 7.已知函数 f(x)2sin x 4 在区间 0， 8 上单调递增，则 的最大值为( ) A.1 2 B.1 C.2 D.4 解析：选 C 法一：因为 x 0， 8 ，所以 x 4 4 ， 8 4 ，因为 f(x)
9、 2sin x 4 在 0， 8 上单调递增，所以 8 4 2 ，所以 2，即 的最大值为 2. 故选 C. 法二：逐个选项代入函数 f(x)进行验证，选项 D 不满足条件，选项 A、B、C 满足条件 f(x)在 0， 8 上单调递增，所以 的最大值为 2.故选 C. 8.瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线 上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC， ABC 中， AB AC4，点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆(x3)2y2r2相切，则该圆 的直径为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2 解析
10、：选 D 依题意，ABC 的外心、重心、垂心均在边 BC 的高线上，又 BC 的中点 为 M 3 2， 1 2 ， 直线 BC 的斜率为 kBC23 41 1， 因此ABC 的“欧拉线”方程是 y1 2 x3 2，即 xy10.易知圆心(3，0)到直线 xy10 的距离等于 r 2 2 2，所以该圆 的直径为 2 2.故选 D. 9.函数 f(x)x2ln x 的最小值为( ) A.1ln 2 B.1ln 2 C.1ln 2 2 D.1ln 2 2 解析： 选C 因为f(x)x2ln x(x0)， 所以f(x)2x1 x， 令2x 1 x0得x 2 2 ， 令f(x)0， 则 x 2 2 ；
11、令 f(x)0，所以 f(log49)f(log23) 2log232log21 3 1 3. 答案：1 3 14.在平面直角坐标系 xOy 中，与双曲线x 2 3y 21 有相同渐近线，焦点位于 x 轴上，且 焦点到渐近线距离为 2 的双曲线的标准方程为_. 解析：与双曲线x 2 3y 21 有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为x 2 3y 2，因为双 曲线焦点在 x 轴上，故 0，其焦点为 F(2，0)，一条渐近线方程为 x 3y0，又焦 点到渐近线的距离为 2，所以 2 12（ 3）2 2，所以 4，所求方程为x 2 12 y2 41. 答案：x 2 12 y2 41 15.已知关于 x
12、，y 的不等式组 2xy10， xm0， y20 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x02y02，则 m 的取值范围是_. 解析：作出不等式组 2xy10， xm0， y20 表示的平面区域如图 中 阴 影 部 分 所 示 ， 由 2xy10， y2 可 得 x3 2， y2， 故 A 3 2，2 ，所以m 3 2，解得 m 3 2.作出直线 x2y2，由 2xy10， x2y20 可得 x 4 3， y5 3， 即 B 4 3， 5 3 ，因为存在点 P(x0，y0)，使得 x02y020，即直线 x2y2 0 与平面区域有交点，则需满足m4 3，所以 m 4 3，所以 m 的取值范围是 ，4 3 . 答案： ，4 3 16.如图，一边长为 30 cm 的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等 等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器， 要使这个容器的容积最大， 则等腰三角形的底边长 为_cm. 解析：设等腰三角形的底边长为 x(00，则 0x10 6. 所以 g(x)的单调递增区间为(0，10 6)，单调递减区间为(10 6，)， 所以 x10 6时，g(x)取得极大值(也是最大值). 所以要使正四棱锥的体积最大，等腰三角形的底边长为 10 6 cm. 答案：10 6
