1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.42.4 圆的方程圆的方程 2.4.12.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标 准方程的特点(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程(重点、 难点) 3.能准确判断点与圆的位置关系(易错点) 通过对圆的标准方 程的学习，提升直观 想象、逻辑推理、数 学运算的数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 “南昌之星”摩天轮 2006 年建成时是世界上最高的摩天轮，它 位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园， 是南 昌市标志性建筑该摩天轮总高度为 160
2、米，转盘直径为 153 米 请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若 以摩天轮中心所在位置为原点， 建立平面直角坐标系， 游客在任一点 (x，y)的坐标满足什么关系？ 1圆的标准方程 (1)圆的定义： 平面上到_的距离等于_的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径 (2)确定圆的基本要素是_和_，如图所示 定点 定长 圆心 半径 (3)圆的标准方程：圆心为 A(a，b)，半径长为 r 的圆的标准方程 是_. 当 ab0 时，方程为 x2y2r2，表示以_为圆心、半径 为 r 的圆 (xa)2(yb)2r2 原点O 思考：平面内确定圆的要素是什么？ 提示 圆心坐标和半径
3、2点与圆的位置关系 (xa)2(yb)2r2(r0)， 其圆心为 C(a， b)， 半径为 r， 点 P(x0， y0)，设 d|PC| x0a2y0b2. 位置关系 d与r的大小 图示 点 P 的坐标的特点 点在圆外 d_r (x0a)2(y0b)2_r2 位置关系 d与r的大小 图示 点 P 的坐标的特点 点在圆上 _ (x0a)2(y0b)2_r2 点在圆内 d_r (x0a)2(y0b)2_r2 dr 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)方程(xa)2(yb)2m2表示圆 ( ) (2)若圆的标准方程是(xa)2(yb)2m2(m0)，则圆心为(a， b)，半径为 m. (
4、 ) (3)圆心是原点的圆的标准方程是 x2y2r2(r0) ( ) 提示 (1) (2) (3) 2圆(x2)2(y3)22 的圆心和半径分别是( ) A(2，3)，1 B(2，3)，3 C(2，3)， 2 D(2，3)， 2 D 由圆的标准方程可得圆心为(2，3)，半径为 2. 3以原点为圆心，2 为半径的圆的标准方程是( ) Ax2y22 Bx2y24 C(x2)2(y2)28 Dx2y2 2 B 以原点为圆心，2 为半径的圆，其标准方程为 x2y24. 4已知点 P(1，1)在圆(x2)2y2m 的内部，则实数 m 的取 值范围是_ m10 由条件知(12)2(1)2m，解得 m10.
5、 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 点与圆的位置关系 【例 1】 已知圆的圆心 M 是直线 2xy10 与直线 x2y 20 的交点， 且圆过点 P(5,6)， 求圆的标准方程， 并判断点 A(2,2)， B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 思路探究 先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径 并写出方程；求出 A，B，C 各点与圆心的距离，分别与半径比较， 判断出点与圆的位置关系 解 解方程组 2xy10， x2y20， 得 x0， y1， 圆心 M 的坐标为(0,1)， 半径 r|MP| 521625 2. 圆的标准方程为 x2(y1)250. |AM| 2
6、02212 5r， 点 A 在圆内 |BM| 102812 50r， 点 B 在圆上 |CM| 602512 52r， 点 C 在圆外圆的标准方程为 x2(y1)250，且点 A 在 圆内，点 B 在圆上，点 C 在圆外 1.判断点与圆的位置关系的方法 (1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作 出判断 2灵活运用 若已知点与圆的位置关系， 也可利用以上两种方法列出不等式或 方程，求解参数范围 跟进训练 1已知圆心为点 C(3，4)，且经过原点，求该圆的标准方 程，并判断点 P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圆
7、的位置关系 解 因为圆心是 C(3，4)，且经过原点， 所以圆的半径 r 3024025， 所以圆的标准方程是(x3)2(y4)225. 因为|P1C| 132042 4162 55， 所以 P3(3，4)在圆外. 求圆的标准方程 【例 2】 求过点 A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线 xy2 0 上的圆的标准方程 思路探究 法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件 建立关于参数方程组求解； 法二： 利用圆心在直线上， 设出圆心坐标， 根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借 助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程 解 法一：设所求圆的标准方程为 (xa)
8、2(yb)2r2， 由已知条件知 1a21b2r2， 1a21b2r2， ab20， 解此方程组，得 a1， b1， r24. 故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 法二：设点 C 为圆心，点 C 在直线 xy20 上， 可设点 C 的坐标为(a,2a) 又该圆经过 A，B 两点， |CA|CB|. a122a12 a122a12， 解得 a1. 圆心坐标为 C(1,1)，半径长 r|CA|2. 故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)， kAB11 11 1， 所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k1， 所以 AB 的垂直平分线
9、的方程为 y01 (x0)， 即 yx.则圆心是直线 yx 与 xy20 的交点， 由 yx， xy20， 得 x1， y1， 即圆心为(1,1)，圆的半径为 r 1121122， 故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. (1)几何法 它是利用图形的几何性质， 如圆的性质等， 直接求出圆的圆心和 半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程 (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程， 解方程组以得到圆的标准方程中 三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法， 一般步骤是： 设设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2； 列由已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； 解解
10、方程组，求出 a，b，r； 代将 a，b，r 代入所设方程，得所求圆的方程 确定圆的标准方程的方法 跟进训练 2已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的 标准方程为_ (x2)2y210 由圆的几何性质得，圆心在 AB 的垂直平分线 上，结合题意知，AB 的垂直平分线为 y2x4，令 y0，得 x2， 故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径 r 522102 10，故圆 的方程为(x2)2y210. 与圆有关的最值问题 探究问题 1怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？ 提示 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减 去圆的半径，即可得距离的最大值
11、和最小值 2若点 M 是C 内一点，那么过点 M 的弦中，弦长最长和最 短的弦分别是哪一条？ 提示 弦长最长的弦是 MC 所在的直径，弦长最短的弦是过 M 且与 MC 垂直的弦 【例 3】 已知 x 和 y 满足(x1)2y21 4，试求 x 2y2 的最值 思路探究 首先观察 x、 y 满足的条件， 其次观察所求式子的几 何意义，求出其最值 解 由题意知 x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显 然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时， 其平方也相应 取得最大值和最小值原点 O(0,0)到圆心 C(1,0)的距离 d1， 故圆 上的点到坐标原点的最大距离为 11 2 3 2，最小
12、距离为 1 1 2 1 2.因此 x2y2的最大值和最小值分别为9 4和 1 4. 1变条件把本例中圆的方程变为(x1)2y24，则过(0,0)的 弦中，最长弦长为_，最短弦长为_ 4 2 3 点(0,0)在圆内，最长的弦为过 O 的直径，所以最大弦 长为 2r4.最短弦是过 O 且与过 O 的直径垂直的弦，因为 O(0,0)与 圆的距离为 1，所以最短弦长为 2 412 3. 2变结论本例条件不变，试求y x的取值范围 解 设 ky x，变形为 k y0 x0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率， 由 ky x，可得 ykx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离 dr，
13、即 |k| k21 1 2， 解得 3 3 k 3 3 . 即y x的取值范围是 3 3 ， 3 3 . 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如 uyb xa形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的 动直线斜率的最值问题 (2)形如 laxby 形式的最值问题，可转化为动直线 ya b x l b截距的最值问题 (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到 定点(a, b)的距离的平方的最值问题 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组求 a，b，r 或直接求出圆心(a，b
14、)和半径 r.另依据题意适时 运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率 2 讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆 的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑， 其中利用 几何特征较为直观、简捷 3与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数 形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养 4几种特殊的对称 (1)圆 C 关于点 M 对称点 M 就是圆心 (2)圆 C 关于直线 l 对称直线 l 经过圆心 (3)圆 C1、C2关于点 M 对称 M是C1C2的中点， 圆C1、C2的半径相等. (4)圆 C1、C2关于直线 l 对称 圆心C1、C2关于直线l对
15、称， 圆C1、C2的半径相等. 1圆心为(1,1)，且过原点的圆的标准方程是( ) A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 D 由圆过原点知 r 102102 2，故所求圆的方程 为(x1)2(y1)22，选 D. 2两个点 M(2，4)，N(2,1)与圆 C：x2y22x4y40 的位置关系是( ) A点 M 在圆 C 外，点 N 在圆 C 外 B点 M 在圆 C 内，点 N 在圆 C 内 C点 M 在圆 C 外，点 N 在圆 C 内 D点 M 在圆 C 内，点 N 在圆 C 外 D 将点的坐标代入方程左边得 22(4)2224
16、(4) 440，M 点在圆内，(2)2122(2)41490， N 点在圆外故选 D. 3圆心为直线 xy20 与直线 2xy80 的交点，且过原 点的圆的标准方程是_ (x2)2(y4)220 由 xy20， 2xy80， 可得 x2， y4 ，即圆 心为(2,4)，从而 r 2024022 5，故圆的标准方程为(x 2)2(y4)220. 4点(5 a1， a)在圆(x1)2y226 的内部，则 a 的取值范 围是_ 0,1) 由于点在圆的内部，所以(5 a11)2( a)226，即 26a26，又 a0，解得 0a1. 5 已知某圆圆心在 x 轴上， 半径为 5， 且截 y 轴所得线段长为 8， 求该圆的标准方程 解 如图，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4. 在 RtAOC 中， |OC| |AC|2|AO|2 52423. 设点 C 坐标为(a,0)， 则|OC|a|3，a 3. 所求圆的标准方程为(x3)2y225 或(x3)2y225. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
