1、16.3 角的平分线 考点清单解读 重难题型突破 易错易混分析 方法技巧点拨考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 角平分线的性质定理角平分线的性质定理内容内容 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等符号符号语言语言如图，如图，OC OC 是是AOB AOB 的平分线，的平分线，P P 为为 OC OC 上任意一点，上任意一点，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别为垂足分别为 D D，E E，PD=PE.PD=PE.16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录续表续表注意注意（1 1）角的平分线是射线，而角的对称轴是直线；）角的平分线是射线，
2、而角的对称轴是直线；（2 2）根据角平分线的性质定理可由三个条件（一条）根据角平分线的性质定理可由三个条件（一条角平分线，两个角平分线，两个“垂直垂直”）得到一个结论（垂线段）得到一个结论（垂线段相等），因此这个定理是证明两条线段相等的常用相等），因此这个定理是证明两条线段相等的常用方法之一；方法之一；（3 3）“距离距离”是指点到直线的垂线段的长，而不是是指点到直线的垂线段的长，而不是指任意线段的长；指任意线段的长；（4 4）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴的对称轴16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线归
3、纳总结归纳总结 已知角平分线及其上一点到角的一边的垂线段，常添加已知角平分线及其上一点到角的一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线的已知点向另一边作垂线段，即构造辅助线：由角平分线的已知点向另一边作垂线段，即构造“角平分线的性质定理角平分线的性质定理”的基本图形，得到相等的两条垂线的基本图形，得到相等的两条垂线段段.考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线典例典例 1 1 如图，如图，BP BP 是是ABC ABC 的外角平分线，点的外角平分线，点 P P 在在BAC BAC 的平分线上的平分线上.求证：点求证：点 P P 到到ABC ABC 的三边距离相等的三边距离相等.对点典例剖析
4、考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线解解题思路题思路答案答案 证明：如图，过点证明：如图，过点 P P 作作 PDAB PDAB 于点于点 D D，作，作 PEBC PEBC 于点于点 E E，作，作 PFAC PFAC 于点于点 F F，BP BP 是是ABC ABC 的外角的外角平分线，平分线，PD=PEPD=PE，点点 P P 在在BAC BAC 的平分线上，的平分线上，PD=PFPD=PF，PD=PE=PFPD=PE=PF，点点 P P 到到ABC ABC 的三边距离相等的三边距离相等.考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录考点二考点二
5、 角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理内容内容 到角的两边距离相等的点在角平分线上到角的两边距离相等的点在角平分线上符号符号语言语言如图，如图，PDOA PDOA 于点于点 D D，PEOB PEOB 于点于点 E E，且，且 PD=PE PD=PE，点点 P P 在在AOB AOB 的平分线的平分线上上注意注意应用逆定理的条件：找出这一点到角两边的垂线应用逆定理的条件：找出这一点到角两边的垂线段；证明两条垂线段相等段；证明两条垂线段相等.这一点与角的顶点的这一点与角的顶点的连线就是角平分线连线就是角平分线16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录续表续表注意注意角平分线的判
6、定有两种方法：角平分线性质定理角平分线的判定有两种方法：角平分线性质定理的逆定理；定义法的逆定理；定义法根据角平分线性质定理的逆定理可由三个条件（两根据角平分线性质定理的逆定理可由三个条件（两个个“垂直垂直”，一个，一个“垂线段相等垂线段相等”）得到一个结论）得到一个结论（点在角平分线上），因此这个定理是证明两个角（点在角平分线上），因此这个定理是证明两个角相等的常用方法之一相等的常用方法之一16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线归纳总结归纳总结（1 1）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等；三
7、条边的距离相等；（2 2）三角形的两个外角的平分线交于一点，这点到三角）三角形的两个外角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等；形三边的距离相等；（3 3）到一个三角形三边距离相等的点共有）到一个三角形三边距离相等的点共有 4 4 个个.考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线典例典例 2 2 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，DEABDEAB 于点于点 E E，DFACDFAC于于点点 F F，且，且BDE=CDFBDE=CDF，BE=CFBE=CF求证：求证：AD AD 平分平分BAC.BAC.对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线解解题思路题思路
8、考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线答案答案 证明：证明：DEAB,DFAC,BED=CFD=90DEAB,DFAC,BED=CFD=90，在在BED BED 和和CFD CFD 中，中，BDE=CDFBDE=CDF，BED=CFDBED=CFD，BE=CFBE=CF，BEDBEDCFDCFD（AASAAS），），DE=DF.DE=DF.又又 DEAB DEAB 于于点点 E E，DFAC DFAC 于点于点 F F，点点 D D 在在BAC BAC 的平分线上，的平分线上，AD AD 平分平分BACBAC考点清单解读返回目录返回目录考点三考点三 作角的平分线作角的平分线角的平分角
9、的平分线的作法线的作法折叠法折叠法将已知角折叠，使角的两边重合，折将已知角折叠，使角的两边重合，折痕即为角平分线所在的直线痕即为角平分线所在的直线角的平分角的平分线的作法线的作法度量法度量法用量角器度量已知角的度数，并除以用量角器度量已知角的度数，并除以 2 2，再用量角器画出这个角的平分线，再用量角器画出这个角的平分线16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录续表续表角的角的平分平分线的线的作法作法尺规尺规作图作图用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并指用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并指出结论出结论已知：已知：AOB.AOB.求作：求作：AOB AOB 的平分线的平分线.作法：（作法：（
10、1 1）以点）以点 O O为圆心，适当长为半为圆心，适当长为半径画弧，交径画弧，交 OA OA 于点于点 M M，交，交 OB OB 于点于点 N N；16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录续表续表角的角的平分平分线的线的作法作法尺规尺规作图作图16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录续表续表注注意意尺规作图时两弧的交点应在角的内部，因为要作的是尺规作图时两弧的交点应在角的内部，因为要作的是角的平分线角的平分线尺规作图作一个角的平分线的理论依据是尺规作图作一个角的平分线的理论依据是“SSS”“SSS”角的平分线是一条射线，三角形的内角平分线是一条角的平分线是一条射线，三角形的
11、内角平分线是一条线段线段16.3 角的平分线考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线归纳总结归纳总结 作法第一步中作法第一步中“适当长为半径适当长为半径”要求便于作图，不能太要求便于作图，不能太长或太短；第二步中的半径长要大于两个圆心连线长度的一长或太短；第二步中的半径长要大于两个圆心连线长度的一半，否则不能形成交点或交点不明显半，否则不能形成交点或交点不明显.考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线典例典例 3 3 用尺规作已知用尺规作已知ABC ABC 的平分线，步骤如下：的平分线，步骤如下：以点以点 B B 为圆心，以为圆心，以 m m 为半径画弧，分别交射线为半径画弧，
12、分别交射线 BA BA，BC BC 于点于点 D D，E E；分别以点分别以点 D D，E E 为圆心，以为圆心，以 n n 为半径画弧，两弧在为半径画弧，两弧在ABC ABC 内部交于点内部交于点 P P；画射线画射线BPBP射线射线 BP BP 即为所求即为所求对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线对点典例剖析考点清单解读返回目录返回目录16.3 角的平分线答案答案 C C重难题型突破返回目录返回目录题型题型 角平分线的性质定理与逆定理的综合应用角平分线的性质定理与逆定理的综合应用例例 如图，如图，MON=60MON=60，点，点 A A，B B 分别为射线分别为射线
13、 OMOM，ON ON 上的动点（上的动点（点点 A A，B B 不与点不与点 O O 重合重合)，在，在MON MON 的内部，的内部，AOB AOB 的外部有一点的外部有一点 P P，且，且 AP=BPAP=BP，APB=120APB=120.求证：求证：点点 P P 在在MON MON 的平分线上的平分线上.16.3 角的平分线重难题型突破返回目录返回目录16.3 角的平分线答案答案 解：如图，过点解：如图，过点 P P 分别作分别作 PSOM PSOM，PTONPTON，垂足分别为点垂足分别为点 S S，T T，OSP=OTP=90OSP=OTP=90.在四边形在四边形 OSPT OS
14、PT 中，中，SPT=360SPT=360-OSP-SOT-OTP=360-OSP-SOT-OTP=360-90-90-60-60-9090=120=120，APB=SPT=120APB=SPT=120，APS=BPT.APS=BPT.在在APS APS 和和BPT BPT 中，中，ASP=BTP=90ASP=BTP=90，APS=BPTAPS=BPT，AP=BPAP=BP，APSAPSBPT(AAS)BPT(AAS)，PS=PTPS=PT，点点 P P 在在MON MON 的平分线上的平分线上.重难题型突破返回目录返回目录16.3 角的平分线变式衍生变式衍生 如图，点如图，点 B B，C C
15、 分别在分别在A A 的两边上，的两边上，D D 是是A A 内一点，内一点，DE ABDE AB，DF ACDF AC，垂足分别为，垂足分别为 E E，F F，且，且AB=ACAB=AC，DE=DFDE=DF求证：求证：BD=CDBD=CD重难题型突破返回目录返回目录16.3 角的平分线 解：证明：如图，连接 AD，DEAB，DFAC，DE=DF，AD 是EAF 的平分线，BAD=CAD，在ABD 和ACD 中，AB=AC，BAD=CAD，AD=AD，ABDACD（SAS），BD=CD重难题型突破返回目录返回目录16.3 角的平分线解题通法解题通法 角平分线的性质定理与逆定理的关系：点在角平
16、分线的性质定理与逆定理的关系：点在角的平分线上角的平分线上 （角的内部的）点到角两边的距离（角的内部的）点到角两边的距离相等相等.角平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据，角角平分线的性质定理是证明两条线段相等的依据，角平分线的逆定理是证明两角相等的依据平分线的逆定理是证明两角相等的依据.性质定理性质定理逆定理逆定理易错易混分析返回目录返回目录忽略角平分线中的忽略角平分线中的“垂直垂直”条件条件例例 如图，如图，BM BM 平分平分ABCABC，D D 是是 BM BM 上一点，过点上一点，过点 D D 作作 DEAB DEAB，DFBCDFBC，分别交，分别交 AB AB 于点于点 E E
17、，交，交 BC BC 于点于点 F F，P P 是是 BM BM 上的另一点，连接上的另一点，连接 PE PE，PF.PF.求证：求证：PE=PFPE=PF16.3 角的平分线易错易混分析返回目录返回目录16.3 角的平分线答案答案 证明：证明：BM BM 平分平分ABCABC，DEABDEAB，DFBCDFBC，ED=FDED=FD，EBD=FBDEBD=FBD，BED=BFD=90BED=BFD=90，EDP=EDP=EBD+BEDEBD+BED，FDP=FBD+BFDFDP=FBD+BFD，EDP=FDPEDP=FDP，在，在EDP EDP 和和FDP FDP 中，中，ED=FDED=F
18、D，EDP=FDPEDP=FDP，DP=DPDP=DP，EDPEDPFDPFDP（SASSAS），），PE=PFPE=PF 易错易错BM BM 平分平分ABCABC，P P 是是 BM BM 上的一点，上的一点，PE=PE=PFPF错因错因 误把误把 PE PE，PF PF 当成点当成点 P P 到到ABC ABC 两边的距离两边的距离.易错易混分析返回目录返回目录16.3 角的平分线易错警示易错警示 误把角平分线上的点与角两边上任意点之间误把角平分线上的点与角两边上任意点之间的线段长当成点到直线的距离，距离指的是垂线段的长度，的线段长当成点到直线的距离，距离指的是垂线段的长度，而非任意线段长
19、度而非任意线段长度.领悟提能领悟提能 利用角平分线的性质证明线段相等时，若涉利用角平分线的性质证明线段相等时，若涉及的线段不是角平分线上的点到角的两边的垂线段，则可及的线段不是角平分线上的点到角的两边的垂线段，则可利用三角形全等求解利用三角形全等求解.方法技巧点拨返回目录返回目录方法：作垂线段解决与角平分线相关的面积问题方法：作垂线段解决与角平分线相关的面积问题三角形中的一条内角平分线将三角形分成两个以这个角三角形中的一条内角平分线将三角形分成两个以这个角两边为底，高相等的小三角形，过角平分线与一边相交的两边为底，高相等的小三角形，过角平分线与一边相交的点向另两边作垂线，所作垂线段就是两个小三
20、角形的高，点向另两边作垂线，所作垂线段就是两个小三角形的高，结合三角形面积公式即可解题结合三角形面积公式即可解题.16.3 角的平分线方法技巧点拨返回目录返回目录例例 如图，如图，BD BD 是是ABC ABC 的角平分线，的角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为 E EABC ABC 的面积为的面积为 70 70，AB=16AB=16，BC=12BC=12求求 DE DE 的长的长.16.3 角的平分线方法技巧点拨返回目录返回目录16.3 角的平分线解解析析过点过点 D D 作作 DFBC DFBC 于点于点 F F，根据角平分线上的，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到角的两边距离相等可得 DE=DF DE=DF，再利用，再利用ABC ABC 的面积列的面积列出方程求解即可出方程求解即可方法技巧点拨返回目录返回目录16.3 角的平分线
