1、17.5 反 证 法 考点清单解读 重难题型突破考点清单解读返回目录返回目录考点考点 反反 证证 法法定义定义先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与事实相矛盾的结果，经过逐步推理论证，最后推出与事实相矛盾的结果，因此，假设错误，原结论正确，这种证明命题的方因此，假设错误，原结论正确，这种证明命题的方法叫做反证法法叫做反证法一般一般步骤步骤17.5 反 证 法考点清单解读返回目录返回目录续表续表注意注意在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么
2、否定一种就可以了，如的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定果有多种情况，则必须一一否定17.5 反 证 法考点清单解读返回目录返回目录 归纳总结归纳总结 适合反证法证明的命题的常见类型适合反证法证明的命题的常见类型17.5 反 证 法考点清单解读返回目录返回目录典例典例 1 1 用反证法证明用反证法证明“在在ABCABC 中，中，AA，B B 对边是对边是 a a，b b，若，若AABB，则，则 a ab”b”，第一步应假设（，第一步应假设（）A.aA.ab b B.a=bB.a=bC.ab C.ab D.abD.ab对点典例剖析17.5 反 证 法考点清单
3、解读返回目录返回目录解解题思路题思路答案答案 C C17.5 反 证 法考点清单解读返回目录返回目录典例典例 2 2 用反证法证明用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直三角形中最多有一个内角是直角角”应先假设这个三角形中应先假设这个三角形中 （）A.A.至少有两个内角是直角至少有两个内角是直角B.B.没有一个内角是直角没有一个内角是直角C.C.至少有一个内角是直角至少有一个内角是直角D.D.每一个内角都不是直角每一个内角都不是直角对点典例剖析17.5 反 证 法考点清单解读返回目录返回目录解解题思路题思路因为因为“最多有一个最多有一个”的反面是的反面是“至少有两至少有两个个”，所以应假设：在
4、三角形中，至少有两个内角是直角，所以应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.答案答案 A A17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录题型一题型一 用反证法证明几何问题用反证法证明几何问题例例 1 1 求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角.（画画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明）17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录解析解析根据反证法的证明方法作出假设，进而证明即可根据反证法的证明方法作出假设，进而证明即可.答案答案已知：已知：ABCABC（如图所示如图所示）求证：求证：AA，BB
5、，C C 中不能有两个角是钝角中不能有两个角是钝角证明：假设证明：假设AA，BB，C C 中有两个角是钝角，不妨设中有两个角是钝角，不妨设AA，B B 为钝角，为钝角，A+BA+B180180，这与三角形内角和，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即在一个三角形定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即在一个三角形中不能有两个角是钝角中不能有两个角是钝角17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录思路点拨思路点拨 作出假设作出假设推出矛盾推出矛盾否定假设否定假设结论成立结论成立.17.5 反 证 法解题通法解题通法 用反证法证明与平面几何有关的命题时，一般用反证法证明与平面
6、几何有关的命题时，一般先根据命题写出已知、求证，并画出相应的图形，再证明先根据命题写出已知、求证，并画出相应的图形，再证明.重难题型突破返回目录返回目录题型二题型二 用反证法证明代数问题用反证法证明代数问题例例 2 2 设设 a a，b b，c c 是不全相等的任意实数，若是不全相等的任意实数，若 x=b x=b2 2-ac-ac，y=cy=c2 2-ab-ab，z=az=a2 2-bc.-bc.求证：求证：x x，y y，z z 至少有一个大于零至少有一个大于零.17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录答案答案解：假设解：假设 x x，y y，z z 都小于或等于零，则都小于或等于零
7、，则 b b2 2-ac+cac+c2 2-ab+a-ab+a2 2-bc0-bc0，2b2b2 2-2ac+2c-2ac+2c2 2-2ab+2a-2ab+2a2 2-2bc0-2bc0，（，（a-ba-b）2 2+（a-ca-c）2 2+（b-cb-c）2 200，当（，当（a-ba-b）2 2+（a-ca-c）2 2+（b-cb-c）2 20 0 时，这与偶次方的非负性相矛盾，当（时，这与偶次方的非负性相矛盾，当（a-ba-b）2 2+（a-ca-c）2 2+（b-cb-c）2 2=0=0 时，时，a-b=0a-b=0，a-c=0a-c=0，b-c=0b-c=0，a=b=ca=b=c，这
8、与，这与“a“a，b b，c c 是不全相等的任意实数是不全相等的任意实数”相矛盾，相矛盾，假设不成立，假设不成立，xx，y y，z z 至少有一个大于零至少有一个大于零17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录变式衍生变式衍生 1 1 请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数那么这两个整数中至少有一个是偶数17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录 解：证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为 2p+1，（n，p 为整数），则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，因为无
9、论 n，p 取何值，2（2np+n+p）+1 都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立，所以这两个整数中至少有一个是偶数.17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录题型三题型三 反证法的实际应用反证法的实际应用例例 3 3 体育课上，老师组织体育课上，老师组织 54 54 名同学在操场上做射水名同学在操场上做射水枪游戏枪游戏.这些同学彼此之间的距离都不相等，每人手中有一这些同学彼此之间的距离都不相等，每人手中有一把水枪，并规定每名同学向离自己最近的同学开一枪，试把水枪，并规定每名同学向离自己最近的同学开一枪，试证明每名同学最多被击中证明每名同学最多被击中 5 5 枪
10、枪.17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录答案答案假设有一名同学至少被击中假设有一名同学至少被击中 6 6 枪，设此同学为枪，设此同学为 A A，其他六名同学，其他六名同学 B B，C C，D D，E E，F F，G G 各向各向 A A 开一枪开一枪.考虑考虑 B B，C C 对对 A A 开枪，三位同学相对位置如图所示，由题意可得开枪，三位同学相对位置如图所示，由题意可得 BABABC BC 且且 CA CABCBC，所以，所以 BC BC 边最长，则边最长，则BACBAC6060.不妨不妨设设 6 6 名同学名同学 B B，C C，D D，E E，F F，G G 在在 A A
11、的周围按逆时针方向的周围按逆时针方向排列排列.由上可知由上可知 CAD CAD 6060，DAE DAE 6060，EAFEAF6060，FAG FAG 6060，GABGAB6060，所以，所以BAC+CAD+BAC+CAD+DAE+EAF+FAG+GABDAE+EAF+FAG+GAB360360，这与周角为，这与周角为 360 360相矛相矛盾，所以每名同学最多被击中盾，所以每名同学最多被击中 5 5 枪枪.17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录17.5 反 证 法重难题型突破返回目录返回目录变式衍生变式衍生 2 2 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小明和小刚三个同学，其中有一个小球的小球分发给小雅、小明和小刚三个同学，其中有一个小球颜色是红色小雅说：颜色是红色小雅说：“红色球在我手上红色球在我手上”；小明说：；小明说：“红红色球不在我手上色球不在我手上”；小刚说：；小刚说：“红色球肯定不在小雅手上红色球肯定不在小雅手上”.”.三个同学只有一个说对了，则红色球在三个同学只有一个说对了，则红色球在 _ _ 的手上的手上.17.5 反 证 法小明
