1、17.1.2 等腰（边）三角形的判定 考点清单解读 重难题型突破考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理内容内容判定判定定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等其中，两个相等的角所对的边相等（简称（简称“等角对等边等角对等边”）符号符号语言语言如图，在如图，在ABC ABC 中，中，若若B=CB=C，则，则 AB=AC AB=AC 第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录续表续表其他其他方法方法定义法：有两边相等的三角形叫做等
2、腰三角形定义法：有两边相等的三角形叫做等腰三角形“三线合一三线合一”中的两线合一中的两线合一第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录归纳总结归纳总结未判定三角形是等腰三角形时，不能用未判定三角形是等腰三角形时，不能用“底角底角”“”“腰腰”等名词等名词.第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录典例典例 1 1 如图，在如图，在AOB AOB 中，点中，点 C C 在在 OA OA 上，点上，点 E E，D D 在在 OB OB 上，且上，且 AB=AD AB=AD，CDABCDAB，CEADCEAD，求证：，求证：CDE CDE 是等是等腰三角形腰三角形
3、.对点典例剖析第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录答案答案 证明：证明：CDABCDAB，CDE=BCDE=B，又，又 CEAD CEAD，CED=ADBCED=ADB，又，又 AB=AD AB=AD，B=ADBB=ADB，CDE=CDE=CEDCED，CDE CDE 是等腰三角形是等腰三角形第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录考点二考点二 等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理内容内容符号语言符号语言图示图示判定判定定理定理 1 1三个角都相三个角都相等的三角形等的三角形是等边三角是等边三角形形如图，在如图，在ABC ABC 中，若中，若 A
4、=A=B=CB=C，则则ABC ABC 是等边是等边三角形三角形第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录续表续表第二课时 等腰（边）三角形的判定内容内容符号语言符号语言图示图示判定判定定理定理 2 2有一个角等有一个角等于于 6060的的 等腰三角形等腰三角形是等边三角是等边三角形形如如图，在如如图，在ABC ABC 中，若中，若 AB=AC AB=AC，A=60A=60（或（或B=60B=60或或C=C=6060），则），则ABC ABC 是等边三角形是等边三角形定义法定义法三边都相等的三角形叫做等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形考点清单解读返回目录返回目录归纳总
5、结归纳总结第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录典例典例 2 2 如图，如图，ABO ABO 是等边三角形，是等边三角形，CDABCDAB，分别交，分别交 AOAO，BO BO 的延长线于点的延长线于点 C C，D.D.求证：求证：OCD OCD 是等边三角形是等边三角形.对点典例剖析第二课时 等腰（边）三角形的判定考点清单解读返回目录返回目录解解题思路题思路答案答案证明：证明：ABO ABO 是等边三角形，是等边三角形，A=BA=B=AOB=60=AOB=60，ABCDABCD，C=A=60C=A=60，D=B=60D=B=60，又又 COD=AOB=60 COD=AO
6、B=60，OCD OCD 是等边三角形是等边三角形第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录题型题型一一 等腰三角形性质与判定的综合应用等腰三角形性质与判定的综合应用例例 1 1 在在ABC ABC 中，中，ABACABAC，ABC ABC 与与ACB ACB 的平分线的平分线交于点交于点 O O，MN MN 经过点经过点 O O，与，与 AB AB，AC AC 相交于点相交于点 M M，N N，且，且 MNBCMNBC（1 1）如图）如图 1 1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：MNMN与与 BM BM，CN CN 之间有怎样的数量
7、关系；之间有怎样的数量关系；第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录（2 2）如图）如图 2 2，ABC ABC 中，中，ABC ABC 的平分线的平分线 BO BO 与三角与三角形外角平分线形外角平分线 CO CO 交于点交于点 O O，过点，过点 O O 作作 OMBC OMBC 交交 AB AB 于于点点 M M，交，交AC AC 于点于点 N N图中有等腰三角形吗？图中有等腰三角形吗？如果有，分如果有，分别指出它们，并直接写出别指出它们，并直接写出MN MN 与与 BM BM，CN CN 之间的数量关系之间的数量关系第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目
8、录返回目录答案答案 解：（解：（1 1）BO BO 平分平分ABCABC，CO CO 平分平分ACBACB，MBO=OBCMBO=OBC，NCO=OCBNCO=OCB，MNBCMNBC，MOB=OBCMOB=OBC，NOC=OCBNOC=OCB，MBO=MOBMBO=MOB，NOC=NCONOC=NCO，BM=OMBM=OM，CN=ONCN=ON，BMOBMO，CNO CNO 是等腰三角形，即图中等腰三角是等腰三角形，即图中等腰三角形有形有BMOBMO，CNOCNO；MN=OM+ONMN=OM+ON，MN=BM+CN.MN=BM+CN.即即 MN MN 与与 BMBM，CN CN 之间的数量关
9、系是之间的数量关系是 MN=BM+CN MN=BM+CN；第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录（2 2）BO BO 平分平分ABCABC，CO CO 平分平分ACHACH，MBO=CBOMBO=CBO，NCO=OCHNCO=OCH，OMBCOMBC，MOB=OBCMOB=OBC，NOC=OCHNOC=OCH，MBO=MOBMBO=MOB，NOC=NCONOC=NCO，BM=OMBM=OM，CN=ONCN=ON，BMOBMO，CNO CNO 是等腰三角形，即图中等腰三角形有是等腰三角形，即图中等腰三角形有BMOBMO，CNOCNO；MN MN 与与 BM BM，CN CN
10、 之间的关系是之间的关系是 MN=BM-CN MN=BM-CN第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录变式衍生变式衍生 1 1 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，DEBCDEBC，ABC ABC 和和ACB ACB 的平分线分别交的平分线分别交 ED ED 于点于点 G G，F F，若，若FG=2FG=2，ED=5ED=5，则，则 BE+DC BE+DC 的值为（的值为（）A A5 5 B B6 6 C C7 7 D D8 8C第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录思路点拨思路点拨 第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录题型
11、二题型二 等边三角形性质与判定的综合应用等边三角形性质与判定的综合应用例例 2 2 如图，如图，C C 为线段为线段 AB AB 上一点，上一点，ACMACM，CBN CBN 都是都是等边三角形，连接等边三角形，连接 AN AN 交交 MC MC 于点于点 E E，连接，连接 BM BM 交交 CN CN 于于点点 F F，连接，连接EFEF（1 1）求证：）求证：AN=BMAN=BM；（2 2）求证：）求证：CEF CEF 为等边三角形为等边三角形.第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录答案答案 证明：（证明：（1 1）ACMACM，CBN CBN 是等边三角形，是等边
12、三角形，AC=MCAC=MC，BC=NCBC=NC，ACM=NCB=60ACM=NCB=60，ACM+MCN=ACM+MCN=NCB+MCNNCB+MCN，即，即ACN=MCBACN=MCB，在，在ACN ACN 和和MCB MCB 中，中，AC=MCAC=MC，ACN=MCBACN=MCB，NC=BCNC=BCACNACNMCBMCB（SASSAS），），AN=BMAN=BM；第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录（2 2）ACNACNMCBMCB，CAN=CMBCAN=CMB，又，又 MCF=MCF=180180-ACM-NCB=180-ACM-NCB=180-60-
13、60-60-60=60=60，MCF=MCF=ACEACE，在，在CAE CAE 和和CMF CMF 中，中，CAE=CMFCAE=CMF，CA=CMCA=CM，ACE=MCFACE=MCF，CAECAECMFCMF（ASAASA），），CE=CFCE=CF，CEF CEF 为等腰三角形，又为等腰三角形，又 ECF=60 ECF=60，CEF CEF 为等为等边三角形边三角形第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录变式衍生变式衍生 2 2 如图，如图，ABC ABC 是等边三角形，是等边三角形，D D，E E，F F 分别是边分别是边ABAB，BCBC，CA CA 上的点，
14、且上的点，且 AD=BE=CF AD=BE=CF，求证：，求证：DEF DEF 是等边三角形是等边三角形第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录第二课时 等腰（边）三角形的判定 证明：ABC 是等边三角形，A=B=C=60，AB=BC=AC，AD=BE=CF，BD=CE=AF，在ADF 和BED 中，AD=BE，A=B，AF=BD，ADFBED（SAS），DF=DE，同理 DE=EF，DE=DF=EF，DEF 是等边三角形.重难题型突破返回目录返回目录解题通法解题通法 等边三角形三边相等，三角相等的性质常与等边三角形三边相等，三角相等的性质常与全等三角形结合证明边或角相等全
15、等三角形结合证明边或角相等.第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录题型三题型三 探究性问题探究性问题例例 3 3 如图如图 1 1，A A，D D，B B 三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，ADCADC，BDOBDO为等腰直角三角形为等腰直角三角形.第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录 （1 1）在图）在图 1 1 中，延长中，延长 AO AO 交交 BC BC 于点于点 E E，AO AO 与与 BC BC 有何关系？证明你的结论有何关系？证明你的结论.（2 2）当）当BDO BDO 绕顶点绕顶点 D D 旋转任意角度到如图旋转任意角度到如
16、图 2 2 所示所示的位置时，（的位置时，（1 1）中的结论是否仍然成立？）中的结论是否仍然成立？请说明理由请说明理由.第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录答案答案 解：解：AO AO 与与 BC BC 相等且互相垂直相等且互相垂直.证明如下：证明如下：ADCADC，BDO BDO 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AD=DCAD=DC，ADO=CDB=90ADO=CDB=90，DO=DBDO=DB，ADOADOCDBCDB（SASSAS），），AO=BCAO=BC，OAD=BCD.OAD=BCD.又又 BCD+CBD=90 BCD+CBD=90，OAD+CBD=90
17、OAD+CBD=90，在在ABE ABE 中，中，AEB=90AEB=90，AEBCAEBC，AO AO 与与 BC BC 相等且互相垂直；相等且互相垂直；第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录（2 2）（）（1 1）中的结论仍然成立）中的结论仍然成立.理由如下：理由如下：ADCADC，BDO BDO 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AD=DCAD=DC，DO=DBDO=DB，ADC=ADC=ODB=90ODB=90，ADC+CDO=ODB+CDOADC+CDO=ODB+CDO，即，即ADO=ADO=CDB.CDB.在在ADO ADO 和和CDB CDB 中，中，AD
18、=CDAD=CD，ADO=CDBADO=CDB，DO=DBDO=DB，ADOADOCDBCDB（SASSAS），），AO=CBAO=CB，AOD=CBDAOD=CBD，在在BDE BDE 中，中，DBE+BED=180DBE+BED=180-ODB=90-ODB=90，又，又 GEO=BEDGEO=BED，GEO+AOD=90 GEO+AOD=90，OGB OGB=180=180-（GEO+AODGEO+AOD）=90=90.AO.AO 与与 BC BC 相等且互相相等且互相垂直垂直.第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录变式衍生变式衍生 3 3 如图如图 1 1，等边三
19、角形，等边三角形 ABC ABC 中，点中，点 D D，E E，F F 分别为分别为 AB AB，BCBC，CA CA 上的点，且上的点，且 AD=BE=CF AD=BE=CF（1 1）如图）如图 1 1，M M 为线段为线段 BC BC 上一点，连接上一点，连接 FM FM，在，在 FM FM 的右侧作等边三角形的右侧作等边三角形 FMN FMN，连接，连接 DM DM，ENEN求证：求证：DM=ENDM=EN；（2 2）如图）如图 2 2，将上题中，将上题中“M“M 为线段为线段 BC BC 上一点上一点”改为改为“M“M 为为 CB CB 延长线上一点延长线上一点”，其余条件不变，求证：
20、，其余条件不变，求证：DM=ENDM=EN第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录第二课时 等腰（边）三角形的判定重难题型突破返回目录返回目录第二课时 等腰（边）三角形的判定 证明：（1）ABC 是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=C=60，又 AD=BE=CF，ADFBEDCFE（SAS），DE=EF=DF，DFE=60，FMN 为等边三角形,MF=MN=FN，MFN=60，DFM=EFM+60，EFN=EFM+60，DFM=EFN，DFMEFN（SAS），DM=EN（2）同理，DE=EF=DF，DFE=60，MF=MN=FN，MFN=60，又 MFD+MFE=60，MFE+EFN=60，MFD=EFN，MDFNEF（SAS），DM=EN
