1、24.4 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系第第2课时课时学习目标1.理解并掌握圆的切线的性质定理和判定定理,并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题;2.通过探究切线的性质定理和判定定理的过程,进一步领会“数形结合”的数学思想;3.解决与圆的切线有关的问题时,学会常用的添加辅助线的方法,培养学生运用已有知识解决数学问题的能力;4.体验几何学习中“说理”的无穷乐趣,感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.切线的性质与判定你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗?图形公共点个数2个1个0个位置关系相交相切相离圆心到直线的距离d与半径r的关系drd=rdr复习回顾切线的定义是什么?复习回顾 直线
2、和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.切线切点切线又有什么性质呢?如图,在 O中,如果直线l是 O的切线,切点为 A,那么半径OA与直线l有什么位置关系呢?思考OAl解:OAl证明如下:在直线l上任取一个不同于点A的点P,连接OP,因为点P在 O外,所以OPOA.这就是说,OA是点O到直线l上任一点的连线中最短的,故OAlP圆的切线垂直于经过切点的半径.垂线段最短归纳 文字语言符号语言 圆的切线垂直于经过切点的半径.直线l 是 O的切线,且A是切点,lOA.切线性质定理 如图,经过圆上一点P,作直线与已知圆相切,如何作?能够作几条?思考oPl作法
3、:(1)连接OP;(2)过点P作直线lOP,则直线l即为所作.为什么直线l即为所作呢?作直线垂直于经过切点的半径 如图,经过圆上一点P,作直线与已知圆相切,如何作?能够作几条?思考oPl 分析:由图可知,直线l与 O有一个公共点P,若取直线l上除点P之外任一点Q,连接OQ,则OQOP(斜线大于垂线),所以点Q在圆外.因此,直线l与 O只有一个公共点,故直线l为 O的切线.为什么直线l即为所作呢?Q 由垂线的唯一性可知,过点P作OP的垂线有且只有一条.过圆上的点作已知圆的切线有且只有一条.思考 如图,经过圆外一点P,作直线与已知圆相切,如何作?能够作几条?(画出切线即可)O.PB A 过圆外一点
4、作已知圆的切线有两条.文字语言符号语言经过 并且 的直线是圆的切线.OA是 O的半径,且lOA于A,l是 O的切线.半径外端点垂直于这条半径切线判定定理归纳 这个定理中包含了哪些要素?思考 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定定理12两个条件缺一不可.归纳圆的切线的判定方法odr1定义法:直线和圆只有一个公共点.2数量关系法:圆心到直线的距离等于半径,即d=r.3判定定理:经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么?做一做OlAOlABAOl(1)(2)(3)没有与半径垂直没有经过半径的外端点不是不是不是 经过半径外
5、端点12 垂直于这条半径缺一不可延伸 切线的性质定理和判定定理有什么区别和联系?联系 交换切线的性质定理的条件和结论,可得到切线的判定定理.区别 切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用.切线的性质定理在已知相切而要得出其它结论时使用;典型例题【例】如图,ABC=45,AB是 O的直径,AB=AC 求证:AC是 O的切线.OABC分析 经过半径外端点12 垂直于这条半径 圆的切线必须满足两个条件:只需证BAC=90即可典型例题【例】如图,ABC=45,AB是 O的直径,AB=AC 求证:AC是 O的切线.证明:AB=AC,ABC=45,ACB=ABC=45.BAC=180ABCACB=90.A
6、B是 O的直径,AC是 O的切线.OABC4545经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线随堂练习1.如图,AB与 O相切于点C,OA=OB,O的直径为8 cm,AB=6 cm,求OA的长.OABC解:连接OC.AB与 O相切于点C,OCAB.又 OA=OB,AB=6 cm,AC=CB=3 cm.又 O的直径为8 cm,即OC=4 cm,在RtACO中,OA=5(cm).2234见切线连半径随堂练习2.已知:如图,直线AB过 O上的点C,且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是 O的切线.OABC证明:连接OC,OA=OB,CA=CB,OCAB.又 点C在 O上,AB是 O的切线.已知公共点,连半径,证垂直随堂练习3.已知:如图,点P在BAC的平分线上,PDAB,垂足为D.求证:以点P为圆心、PD为半径的圆与BAC两边相切.证明:过点P作PEAC,垂足为E.点P在BAC的平分线上,且PDAB,PD=PE,即PD、PE为 P的半径.以点P为圆心、PD为半径的圆与BAC两边相切.不知公共点,作垂直,证半径PDABCE切线性质定理:切线性质定理:切线的性质与判定切线判定定理:切线判定定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.12缺一不可