1、第6讲 因式分解2（学生版）目标层级图课前检测1已知，则的值是A100B110C120D1252已知三角形的三边，满足，则是A等腰三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形3若实数满足，则的值为ABCD4分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）课中讲解一、十字相乘法（1）二次项系数为11定义：对于的因式分解则这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法2方法：特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝
2、对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同例1将下列各式分解因式：（1） （2）（3） （4）过关检测1将下列各式分解因式：（1） （2）（3） （4）例2分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3） （4）（2）二次项系数不为11定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，使得：，注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解2方法：它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解
3、为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式例3分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3） （4）例4分解因式（1） （2）过关检测1分解因式（1） （2）二、分组分解法1.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解2.方法：一
4、般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；如果多项式超过三项，应考虑分组分解；（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止例5分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3） （4）例6分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测
5、1分解因式（1） （2）（3） （4）例7分解因式（1） （2）（3） （4）过关检测1分解因式（1） （2）（3）三、综合应用例8（1）若，则代数式的值为 （2）已知，则的值为 过关检测1已知，则的值为2已知，（1）求的值（2）求的值（3）求的值例9（1）若实数满足，则 （2）已知，则 过关检测1如果，那么代数式的值为A6B8CD2已知，求的值例10（1）化简：，结果是 （2）运用因式分解简便计算 （3）过关检测1利用因式分解计算：（1） （2） （3）例11（1）已知，为的三边，且满足，试判定的形状（2）若的三边长分别为，满足条件，则判断的形状过关检测1已知，是的三边，且满足，则的形状是
6、2已知、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状例12（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因此的最小值是2，这时相应的的的值是-1尝试探究并解答：求代数式的最小值，并写出相应的值求代数式的最大值，并写出相应的的值（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值过关检测1（1）代数式的最小值是，这时相应的的值是；（2）代数式的最大值是，这时相应的的值是 （3）求多项式的最大值学习任务1分解因式（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）2已知，求代数式的值3已知，求：的值4利用因式分解进行简便计算：（1） （2）5已知，是三角形
7、三边长，且，试判断三角形形状6当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值第6讲 因式分解2（解析版）目标层级图课前检测1已知，则的值是A100B110C120D125【解答】解：，故选：2已知三角形的三边，满足，则是A等腰三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形【解答】解：，则或，则或，故是等腰三角形或直角三角形故选：3若实数满足，则的值为ABCD【解答】解：故选：4分解因式（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式；（4）【解答】解：原式；（5）【解答】解：原式（6）【解答】解：原式；课中讲解一、十字相乘法（1）二次项系数为11定义：对于的因
8、式分解则这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法2方法：特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同例1将下列各式分解因式：（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1将下列各式分解因式：（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例2分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：
9、原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式（2）二次项系数不为11定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成 的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，使得：，注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解2方法：它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因
10、数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式例3分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例4分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式二、分组分解法1
11、.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解2.方法：一般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；如果多项式超过三项，应考虑分组分解；（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止例5分解因式（1） 【解答】解：原式（
12、2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）；【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例6分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例7分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解： 原式（3）【解答】解： 原式三、综合应用例8（1）若，则代数
13、式的值为【解答】解：，故答案为：（2）已知，则的值为4【解答】解：，故答案为：4过关检测1已知，则的值为【解答】解：，故答案为：2已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式例9（1）若实数满足，则【解答】解：，故答案为：（2）已知，则2012【解答】解：，故答案是：2012过关检测1如果，那么代数式的值为A6B8CD【解答】解：由得，故选：2已知，求的值【解答】解：，例10（1）化简：，结果是【解答】解：原式（2）运用因式分解简便计算180000 【解答】解：原式故答案为：180000（3）【解答】解：原式答：原式过关检测1利用因式分解计算：（
14、1）（2）（3）【解答】解：（1） 原式（2）原式；（3）原式例11（1）已知，为的三边，且满足，试判定的形状【解答】解：，得：或，即为直角三角形或等腰三角形（2）若的三边长分别为，满足条件，则判断的形状【解答】解：，是直角三角形过关检测1已知，是的三边，且满足，则的形状是等腰三角形【解答】解：，因式分解得：，是的三边，是等腰三角形；故答案为：等腰三角形2已知、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状【解答】解：且即，故该三角形是等边三角形例12（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因此的最小值是2，这时相应的的的值是-1尝试探究并解答：求代数式
15、的最小值，并写出相应的值求代数式的最大值，并写出相应的的值【解答】解：，代数式的最小值是10，相应的的值是5；，的最大值是31，相应的的值是；（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值【解答】解：原式，过关检测1（1）代数式的最小值是，这时相应的的值是；（2）代数式的最大值是，这时相应的的值是 （3）求多项式的最大值【解答】解：（1）原式，是非负数，即，这个代数式的最小值是-7，这时相应的的值是2（2）原式是非负数，这个代数式的最大值是59，这时相应的的值是（3）原式，多项式的最大值是16学习任务1分解因式（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式；（4）【解答】解：原式（5）【解答】解：原式（6）；【解答】解：原式（7）；【解答】解：原式；（8）【解答】解：原式；2已知，求代数式的值【解答】解：而，3已知，求：的值【解答】解：，4利用因式分解进行简便计算：（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式5已知，是三角形三边长，且，试判断三角形形状【解答】解：，三角形为等腰三角形6当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值【解答】解：（3），当，时，多项式有最小值，这个最小值是535
